\documentclass[a4paper,11pt]{article}
	

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\newcommand{\typedoc}{Correction du Devoir Surveillé 4}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	


\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Vecteurs.}	
\newcommand{\Cl}{2$^\text{nde}$ 8}	
\newcommand{\Annee}{2013-2014}	
\newcommand{\Profs}{ D.Zancanaro}
\newcommand{\LyMu}{Jean Durand}




\begin{document}
\DocPro

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}

\vfill

\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
Dans un repère on considère les points $A(-5;2)$, $B(-3;1)$, $C(0;5)$ et $D(2;4)$.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$. Que peut-on en déduire ?}
$$\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}(-3+5;1-2)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}(2;-1)$$
De même :
$$ \overrightarrow{CD}(2-0;4-5)\Longleftrightarrow \overrightarrow{CD}(2;-1)$$
Ainsi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ donc $ABDC$ est un parallélogramme.
\item {\footnotesize Déterminer les coordonnées du point $E$ tel que $ABEC$ soit un parallélogramme.}

$ABEC$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CE}$. Or, $\overrightarrow{AB}(2;-1)$ et $\overrightarrow{CE}(x_E-0;y_E-5)$ donc :
$$ x_E=2\qquad \text{et} \qquad y_E-5=-1\Longleftrightarrow y_E=4$$
$ABEC$ est un parallélogramme si et seulement si $E(2;4)$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\vfill
\begin{exoi}\begin{footnotesize}
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points :
$$A(-3;1) \quad , \quad B(1;-1) \quad , \quad C(3;3) \quad \text{et} \quad I \, \text{ milieu de } [AC]$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les coordonnées de $I$.}

Puisque $I$ est le milieu du segment $[AC]$ on a :
$$ I\left(\dfrac{-3+3}{2};\dfrac{1+3}{2}\right)\Longleftrightarrow I\left(0;2\right)$$
 \item {\footnotesize Donner les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$}
 
 $\overrightarrow{AB}(1-(-3);-1-1)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}\left(4;-2\right)$
 
 $\overrightarrow{AC}(3-(-3);3-1)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AC}(6;2)$ et enfin :
 
 $ \overrightarrow{BC}(3-1;3-(-1))\Longleftrightarrow \overrightarrow{BC}(2:4)$
\item {\footnotesize Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?}

A l'aide des coordonnées des vecteurs on déduit que :
$$ AB=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$$
puis :
$$ BC=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}$$
Par conséquent $AB=BC$ donc le triangle $ABC$ est isocèle en $B$.

De plus 
$$ AC=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}$$

Et $AC^2=40=BC^2+AB^2$ donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore on a $ABC$ est rectangle en $B$.
\item \begin{enumerate}
       \item {\footnotesize Déterminer les coordonnées du point $D$, image du point $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$.}
       
       Puisque $D$ est l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$ on a $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.
       
       Or, $\overrightarrow{AD}(x_D+3;y_D-1)$ et $\overrightarrow{BC}(2;4)$ d'où :
       
       $$x_D+3=2\qquad \text{et} \qquad y_D-1=4 $$
       ce qui donne :
       $$ x_D=-1\qquad \text{et} \qquad y_D=5$$
       Au final :
       $$ D(-1;5)$$ 
 \item {\footnotesize Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? \textit{Justifier}}
 
 D'après la question précédente $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ donc le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme. De plus on sait que le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $B$ donc le parallélogramme $ABCD$ est un carré.
      \end{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les coordonnées du point $J$, symétrique de $A$ par rapport à $B$.}

Puisque $J$ est le symétrique du pont $A$ par rapport au point $B$ on a :
$$ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BJ}$$
Or, $\overrightarrow{BJ}(x_J-1;y_J+1)$ et $\overrightarrow{AB}(4;-2)$, donc :

$$ x_J-1=4\qquad \text{et} \qquad y_J+1=-2$$
ce qui donne :

$$ x_J=5\qquad \text{et}\qquad y_J=-3$$
donc $J(5;-3)$.
 \item {\footnotesize Déterminer les coordonnées du point $K$ tel que $A$ soit le milieu de $[BK]$}
 
 Puisque $A$ est le milieu de $[BK]$ on a :
 
 $$ x_A=\dfrac{x_B+x_K}{2}\Longleftrightarrow -3=\dfrac{1+x_K}{2}\Longleftrightarrow -6=1+x_K\Longleftrightarrow x_K=-7$$
 de même pour les ordonnées :
 $$ y_A=\dfrac{y_B+y_K}{2}\Longleftrightarrow 1=\dfrac{-1+y_K}{2}\Longleftrightarrow -2=-1+y_K\Longleftrightarrow y_K=-1$$
\item {\footnotesize Soit $E(\alpha ; 2)$. Déterminer $\alpha$ tel que $A$, $B$ et $E$ soient alignés.}

$\overrightarrow{AE}(\alpha+3;2-1)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AE}(\alpha+3;1)$ et $\overrightarrow{AB}(4;-2)$.

  $A$, $B$ et $E$ soint alignés si et seulement si  les vecteurs $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaire donc si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles
$$ -2(\alpha+3)=4\times 1\Longleftrightarrow -2\alpha-6=4\Longleftrightarrow -2\alpha=10\Longleftrightarrow \alpha=-5$$
Pour que $A$, $B$ et $E$ soit alignés il faut que $\alpha=-5$.
 \item {\footnotesize Déterminer les coordonnées du point $F$ appartenant à l'axe des abscisses tel que $A$, $B$ et $F$ soient alignés.}
 
 Puisque $F$ est sur l'axe des abscisses son ordonnée vaut $0$ donc $F(x_F;0)$. 
 
  $A$, $B$ et $F$ soint alignés si et seulement si  les vecteurs $\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaire donc si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles
 
 Or, $\overrightarrow{AF}(x_F+3;-1)$ et $\overrightarrow{AB}(4;-2)$ ce qui donne :
$$ -2(x_F+3)=4\times (-1)\Longleftrightarrow -2x_F-6=-4\Longleftrightarrow -2x_F=2\Longleftrightarrow x_F=-1$$
Lorsque $F(-1;0)$ alors $F$ est sur l'axe des abscisses et $A$, $B$ et $F$ sont alignés.

 \item {\footnotesize Déterminer les coordonnées du point $G$ appartenant à l'axe des ordonnées tel que $(BG)$ et $(AI)$ soient parallèles.}
 
 $G$ appartient à l'axe des ordonnées si et seulement son abscisse vaut $0$, donc on cherche $y$ tel que $G(0;y)$ et $(BG)//(AI)$.
 
 Les droites $(BG)$ et $(AI)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{BG}(-1;y+1)$ et $\overrightarrow{AI}(3;1)$ sont colinéaires donc :
 $$ -1=3(y+1)\Longleftrightarrow 3y+3=-1\Longleftrightarrow 3y=-4\Longleftrightarrow y=-\dfrac{4}{3}$$
  
\end{enumerate}

\end{exoi}
\vfill

\begin{exoi}
{\footnotesize On considère un triangle $ABC$ rectangle et isocèle en $B$ avec $AB=2.5$ cm.}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Soit $F$ le point tel que $$ \overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{BC}$$
Placer $F$.
\end{footnotesize}
\item {\footnotesize Soit $M$ le point tel que $-2\overrightarrow{BM}+5\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que $$ \overrightarrow{BM}=\dfrac{5}{3}\overrightarrow{BC}$$}
$$ -2\overrightarrow{BM}+5\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0} \Longleftrightarrow -2\overrightarrow{BM}+5\overrightarrow{CB}+5\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0}$$
ce qui donne :
$$ 3\overrightarrow{BM}+5\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow 3\overrightarrow{BM}=5\overrightarrow{BC}\Longleftrightarrow \overrightarrow{BM}=\dfrac{5}{3}\overrightarrow{BC}$$
\item {\footnotesize Placer $M$ sur la figure précédente.}
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
{\footnotesize Montrer que $3\overrightarrow{BM}=5\overrightarrow{BC}$}
 \end{footnotesize}


Puisque $\overrightarrow{BM}=\dfrac{5}{3}\overrightarrow{BC}$ on a $3\overrightarrow{BM}=5\overrightarrow{BC}$
 \begin{footnotesize}
 puis en déduire que :
$$ \overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{AM}$$
 \end{footnotesize}
 
 $$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{AB}+5\overrightarrow{BC}$$
 Et puisque $3\overrightarrow{BM}=5\overrightarrow{BC}$ alors 
 $$\overrightarrow{AF}= 3\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BM}=3\overrightarrow{AM}$$
\item {\footnotesize Que peut-on en déduire pour les points $A$, $F$ et $M$ ?}

On vient de démontrer que $\overrightarrow{AF}= 3\overrightarrow{AM}$ donc les vecteurs $\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires donc les points $A$, $F$ et $M$ sont alignés.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.8,-26.53)(17.81,6.23)

\psline(5,0)(0,0)
\psline(5,-26.53)(5,6.23)
\pscircle(5,0){2.5}
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\psline{->}(0,0)(5,-5)
\psline{->}(5,0)(5,-5)
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\psline{->}(0,0)(15,-25)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](0.26,0.12){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5,0)
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\rput[bl](5.23,-8.2){$M$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\vfill
\textbf{Question Cactus (Bonus)} : \hfill \textbf{La corde autour de la terre.}

\begin{footnotesize}
Considérons une corde dont le périmètre est très exactement celui de la planète terre. On ajoute à cette corde, disons $4$ mètres. On suppose que la terre est une sphère et que son rayon vaut $6400$ km.

De combien s'élève la corde de la surface de la terre ?

\end{footnotesize}


Le périmètre de la première corde est $2\pi r= 6400$ donc $r=\dfrac{6400}{2\pi}$

Le périmètre de la deuxième corde est $2\pi R=6404$ donc $R=\dfrac{6404}{2\pi}$

La corde s'élève d'une hauteur $h$ donnée par :
$$ h=R-r=\dfrac{6404}{2\pi}-\dfrac{6400}{2\pi}=\dfrac{4}{2\pi}=\dfrac{2}{\pi}$$

\end{document}