\documentclass[a4paper,11pt]{article}
	

\input macrodwicky.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=3cm,lmargin=1cm,rmargin=1cm}

\newcommand{\typedoc}{Devoir Surveillé 3}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	


\newcommand{\ch}{Chapitre 1-5}
\newcommand{\Ch}{Suites-Espace-Fonctions}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S1 et S3}	
\newcommand{\Annee}{2013-2014}	
\newcommand{\Profs}{M.Rey-Cadours et D.Zancanaro}
\newcommand{\LyMu}{Jean Durand}




\begin{document}
\DocPro

\pagestyle{styleDav}

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}



 
\begin{exoi}\hfill (4 points)\\
\begin{footnotesize}
L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(O;\vec i, \vec j,\vec k\right)$. On considère les points :
$$ A(2;1;-1),\quad B(-1;2;4),\quad C(0;-2;3),\quad D(1;1;-2)$$
Pour chacune des affirmations suivantes, dire, en justifiant, si elle est vraie ou si elle est fausse.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize \textbf{Affirmation 1} : Les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.}
$$ \overrightarrow{AB}(-3;1;5)\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{AC}(-2;-3;4)$$
Pour passer de l'ordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ à l'ordonnée du vecteur $\overrightarrow{AC}$ on multiplie par $-3$ et $-3\times x_{\overrightarrow{AB}}\neq x_{\overrightarrow{AC}}$. On en déduit qu'il n'existe pas de réel $t$ tel que $\overrightarrow{AB}=t\overrightarrow{AC}$, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires, par conséquent les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés et définissent un plan.
\\
\textbf{Affirmation VRAIE}
\item \begin{footnotesize}
\textbf{Affirmation 2} : Une représentation paramétrique de la droite $(AC)$ est :
$$ \left\{ \begin{array}{l} x=2k \\y=2+3k\\ z=3-4k  \end{array} \right.\qquad k\in \R$$
\end{footnotesize}\\
On vérifie si les coordonnées du point $A$ vérifie les équations de cette réprésentation paramétrique :
$$ \left\{ \begin{array}{l} 2=2k \\1=2+3k\\ -1=3-4k  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k=1 \\k\neq 1\\ k=1  \end{array} \right.$$
Il n'existe aucune valeur du paramètre $k$ permettant de retrouver les coordonnées du point $A$, ce qui prouve que la représentation paramétrique donnée n'est pas une représentation paramétrique de $(AC)$.
\item \begin{footnotesize}
\textbf{Affirmation 3} : Une représentation paramétrique du plan $(ABD)$ est :
$$ \left\{ \begin{array}{l} x=1+3t-t'\\y=1-t\\ z=-2-5t-t'  \end{array} \right.\qquad t\in \R, t'\in \R $$
\end{footnotesize}
\\En notant $M(x;y;z)$ un point du plan proposé puis $\vec u(3;-1;-5)$ et $\vec{v}(-1;0;-1)$ un couple de vecteut directeur de ce plan.
$$  \left\{ \begin{array}{l} x=1+3t-t'\\y=1-t\\ z=-2-5t-t'  \end{array} \right.\Longleftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} x-1=+3t-t'\\y-1=-t\\ z+2=-5t-t'  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \overrightarrow{DM}=t\vec u+t'\vec v$$
Enfin $\vec{u}=-\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}(-1;0;-1)=\vec v$.\\
Par conséquent le plan proposé passe par le point $D$ et est dirigé par les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{AD}$. Nécessairement il s'agit du plan $(ABD)$.
\\
\textbf{Affirmation VRAIE.}
%\item \textbf{Affirmation 4} : La sphère $\mathscr S$ de centre $C$ et de rayon $5$ coupe la droite $(AD)$ en deux points.
\item \begin{footnotesize}
\textbf{Affirmation 4} : La droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est :
$$ \left\{ \begin{array}{l} x=1+2u \\y=-1+3u\\ z=1-4u  \end{array} \right.\qquad u\in \R$$
est sécante avec la droite $(AC)$.
\end{footnotesize}
Le vecteur  $\overrightarrow{d}(2;3;-4)$ dirige $\Delta$. De plus $\vec{d}=-\overrightarrow{AC}$. Par conséquent $\Delta$ est parallèle à $(AC)$.
\\
\textbf{Affirmation FAUSSE.}
\end{enumerate}
\end{exoi}




\begin{exoi}\hfill (7 points)\\
\partieBac{Etude d'une fonction auxiliaire}
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
$$ g(x)=x^3+12x+4$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$.}
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} x^3=-\infty\text{ et } \lim\limits_{x\to -\infty} 12x+4=-\infty\Longrightarrow  \lim\limits_{x\to -\infty} x^3+12x+4=-\infty$$
De même $\lim\limits_{x\to +\infty} x^3=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} 12x+4=+\infty$ et par addition :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$$
\item {\footnotesize Dresser le tableau de variation de la fonction $g$.}
\\
$g$ est une fonction polynôme de degré $3$, elle est donc dérivable sur $\R$ et on a pour tout réel $x$ :
$$ g'(x)=3x^2+12\geq 12>0$$
On en déduit son tableau de variation :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{g'(x)}&&\tx{+}&\cr
\tx{g(x)}&\txb{-\infty}&\fm&\txh{+\infty}\cr
}$$
\item {\footnotesize Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$. Donner $\alpha$ à $10^{-2}$ près ou proposer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.}
\\
$g$ est continue sur $\R$ (puisque dérivable sur $\R$), $g$ est strictement croissante sur $\R$ et a des limites aux infinies de signes opposés par conséquent d'après le corollaire du TVI l'équation $g(x)=0$ admet exactement une solution $\alpha\simeq 0,33$.
\item {\footnotesize Dresser le tableau de signe de la fonction $g$.}
\\
$g$ est strictement croissante sur $\R$ et s'annule en $\alpha$ d'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\alpha}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{g(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$
\end{enumerate}
\partieBac{Etude d'une fonction rationnelle}
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x^3-2}{x^2+4}$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.}
\\
Pour tout $x\neq 0$ on a :
$$ f(x)=\dfrac{x^3\left(1-\dfrac{2}{x^3}\right)}{x^2\left(1+\dfrac{4}{x^2}\right)}=x\dfrac{1-\dfrac{2}{x^3}}{1+\dfrac{4}{x^2}}$$
En $\pm \infty$ on a :
$$ \lim\limits_{\pm \infty}\dfrac{1-\dfrac{2}{x^3}}{1+\dfrac{4}{x^2}} =1$$
Puisque $\lim\limits_{+\infty} x=+\infty$ par produit on obtient :
$$ \lim\limits_{+ \infty} f(x)=+\infty$$
Puisque $\lim\limits_{-\infty} x=-\infty$ par produit on obtient :
$$ \lim\limits_{-\infty \infty}f(x)=-\infty$$
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que pour tout $x\in \R$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{xg(x)}{(x^2+4)^2}$$
\end{footnotesize}
Le quotient de fonction polynôme est une fonction dérivable sur son ensemble de définition ici $\R$ par conséquent pour tout nombre réel $x$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{3x^2(x^2+4)-2x(x^3-2)}{(x^2+4)^2}=\dfrac{3x^4+12x^2-2x^4+4x}{(x^2+4)^2}$$
$$f'(x)=\dfrac{x^4+12x^2+4x}{(x^2+4)^2}=\dfrac{x(x^3+12x+4))}{(x^2+4)^2}=\dfrac{xg(x)}{(x^2+4)^2}$$
\item {\footnotesize En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.}\\
Le dénominateur $(x^2+4)^2$ est strictement positif donc le signe de $f'(x)$ dépend de celui de $xg(x)$
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\alpha}&&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{g(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&&\tx{+}&&\cr
\tx{x}&&&\tx{-}&&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)}&\txb{-\infty}&\fm&\txh{f(\alpha)}&\fd&\txb{-\dfrac{1}{2}}&\fm&\txh{+\infty}\cr
}$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak

\thispagestyle{CadrePro}

\begin{exoi}\hfill (9 points)\\
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par :
$$ f(x)=\sqrt{3x+4}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.}
\\
On a $\lim\limits_{x\to +\infty} 3x+4=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty}\sqrt{X}=+\infty$ par conséquent $$ \lim\limits_{x\to +\infty} \sqrt{3x+4}=+\infty$$
\item {\footnotesize Dresser le tableau de variation complet de $f$.}\\
Lorsque $x\geq 0$, $3x+4\geq 4$ donc $f$ qui est la composée de la fonction racine carrée avec une fonction affine à valeurs dans $]0;+\infty[$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ et on a :
$$ f'(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{3x+4}}$$
Pour tout $x\geq 0$, on a $f'(x)>0$ d'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)}&\txb{2}&\fm&\txh{+\infty}\cr
}$$
\item {\footnotesize Justifier que la fonction $f$ est continue sur $[0;+\infty[$.}\\
On vient d'expliquer que $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ elle est donc continue sur $[0;+\infty[$.
\end{enumerate}
\item\begin{footnotesize}
 Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par :
$$ u_0=0\qquad \text{et} \qquad u_{n+1}=f(u_n)=\sqrt{3u_n+4}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer, par récurrence et en utilisant la fonction $f$, que $(u_n)$ est strictement croissante.}\\
Notons $\mathscr P(n) : (0\leq )u_n<u_{n+1}$ la propriété que nous souhaitons démontrer par récurrence.
\begin{itemize}
\item \textit{\textbf{Initialisaition}} : $u_1=\sqrt{3\times 0+4}=2$ ainsi on vérifie $(0\leq) u_0<u_1$, par conséquent $\mathscr P(0)$ est vraie.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que 
$$ (0\leq) u_n<u_{n+1}\Longrightarrow (0\leq) u_{n+1}<u_{n+2}$$
\end{itemize}
On a puisque $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$
$$  (0\leq) u_n<u_{n+1}\Longrightarrow f(0)<f(u_n)<f(u_{n+1})\Longrightarrow 2\leq u_{n+1}<u_{n+2}$$
\item \textbf{\textit{Conclusion :}} La propriété $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire, par conséquent pour tout entier naturel $n$ on a $ u_n<u_{n+1}$ ce qui signifie que la suite est strictement croissante.
\item {\footnotesize Montrer que, pour tout $n\in \N$, on a : $\qquad  u_n\leq 4$}\\
Notons $\mathscr Q(n) :u_n\leq 4$. Montrons cette propriété par récurrence.
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : $u_0=0<4$ donc $\mathscr Q(0)$ est vraie.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que $$ u_n\leq 4\Longrightarrow u_{n+1}\leq 4$$
On a puisque $f$ est strictement croissante sur $\R^+$ et comme $u$ est positive :
$$ u_n\leq 4\Longrightarrow f(u_n)\leq f(4)=4\Longrightarrow u_{n+1}\leq 4$$
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : La propriété $\mathscr Q$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire, par conséquent pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\leq 4$.
\end{itemize}
\item {\footnotesize En déduire que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.}\\
$u$ est une suite croissante et majorée par $4$ donc elle converge vers un réel $\ell\leq 4$. Comme $f$ est continue sur $\R^+$ de $u_{n+1}=f(u_n)$ on tire par passage à la limite :
$$ \ell=f(\ell)\Longleftrightarrow \ell=\sqrt{3\ell+4}\Longleftrightarrow \ell^2-3\ell-4=0$$
$\Delta=9+16=25$ le trinôme admet deux racines $-1$ et $4$. \\
Comme $u_0=0$ et que la suite $u$ est strictement croissante, sa limite ne peut pas être $-1$, par conséquent $u$ converge vers $4$
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ \\
\qquad  $u$  est un nombre réel.\\
\qquad  $n$ est un  entier naturel.\\
\qquad $\epsilon$ est un nombre réel strictement positif.\\
}
{
$n=0$. \\$u=0$.\\
  \While{$|u-4|\geq \epsilon$}
{$n:=n+1$.\\ $u:=\sqrt{3\times u +4}$  
}
\\Afficher $n$
}
}
\end{center}
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Afin de découvrir l'affichage de cet algorithme pour $\epsilon=0,1$. Recopier et compléter le tableau des valeurs prises par les variables $n$, $u$ et par $|u-4|$ (\textit{On se contentera de valeurs approchées}):}
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|}
\hline
$n$ & 0 & $1$& $2$& $3$&$4$ &$5$\\ \hline
$u$ & 0 & $2$ &$\simeq 3,16$ &$\simeq $  &$\simeq $  &$\simeq 3,95$\\ \hline
$|u-4|$ & 4 & $\dots$ & $\dots$ & $\dots$ & $\dots$&$0,5$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{footnotesize}
Qu'affiche cet algorithme ?
\end{footnotesize}\\
Cet algorithme affiche le premier à partir duquel on a $|u_n-4|<\epsilon$, en l'occurrence pour cet exemple il affiche $n=5$.
\item {\footnotesize Pourquoi est-on sûr qu'à partir d'un certain rang on aura $|u-4|< \epsilon$ ?}\\
$u$ est une suite qui converge vers $4$ donc il existe un rang à partir duquel $|u-4|<\epsilon$. L'algorithme ne boucle donc pas à l'infini.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize On souhaite montrer que pout tout entier naturel $n$ on a : $\qquad 4-u_{n+1}\leq \dfrac{1}{2}\left(4-u_n\right)$}\\
 \begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ 4-u_{n+1}=\dfrac{3(4-u_n)}{4+\sqrt{3u_n+4}}$$
\end{footnotesize}
\\
On a :
$$ 4-u_{n+1}=4-\sqrt{3u_n+4}=\dfrac{(4-\sqrt{3u_n+4})(4+\sqrt{3u_n+4})}{4+\sqrt{3u_n+4}}=\dfrac{16-(3u_n+4)}{4+\sqrt{3u_n+4}}=\dfrac{12-3u_n}{4+\sqrt{3u_n+4}}=\dfrac{3(4-u_n)}{4+\sqrt{3u_n+4}}$$
\item {\footnotesize En justifiant que $\sqrt{3u_n+4}\geq 2$ montrer que pour tout entier naturel $n$ on a $ \dfrac{3}{4+\sqrt{3u_n+4}}\leq \dfrac{1}{2}$.}\\
$f(0)=2$ et $f$ est strictement croissante sur $\R^+$ donc $\sqrt{3u_n+4}\geq 2$ d'où $$ 4+\sqrt{3u_n+4}\geq 6 \Longrightarrow \dfrac{1}{4+\sqrt{3u_n+4}}\leq \dfrac{1}{6}\Longrightarrow \dfrac{3}{4+\sqrt{3u_n+4}}\leq \dfrac{1}{2}$$
\item {\footnotesize Conclure.} $u_n\leq 4$ pour tout entier naturel $n$ donc $4-u_n\geq 0$ d'où :
$$ \dfrac{3}{4+\sqrt{3u_n+4}}\leq \dfrac{1}{2}\Longrightarrow \dfrac{3(4-u_n)}{4+\sqrt{3u_n+4}}\leq \dfrac{4-u_n}{2}\Longrightarrow 4-u_{n+1}\leq \dfrac{4-u_n}{2}$$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize En déduire que :  $\qquad 4-u_{10}\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^5(4-u_5) $}\\
En appliquant successivement le résultat précédent on a :
$$ 4-u_{10}\leq \dfrac{4-u_9}{2}\leq \dfrac{4-u_8}{2^2}\leq \dfrac{4-u_7}{2^3}\leq \dfrac{4-u_6}{2^4}\leq \dfrac{4-u_5}{2^5}$$
\item {\footnotesize En déduire que pour $\epsilon =0,01$, l'algorithme affichera une valeur de $n$ inférieure ou égale à $10$.}\\
On sait d'après $3(a)$ que $4-u_5<0,1$ donc d'après la question précédente $$ 4-u_{10}\leq 0,1\times \dfrac{1}{32}\Longrightarrow 2-u_{10}<0,01$$
Par conséquent l'algorithme affichera une valeur de $n$ inférieure ou égale à $6$ pour $\epsilon=0,01$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}








%\begin{exoi}
%\begin{enumerate}
%\item
%\begin{enumerate}
%\item On désigne par $g$ la fonction définie sur $[0;\pi]$ par :
%$$ g(x)=x\cos x-\sin x$$
%Etudier $g$ et dresser son tableau de variation.
%\item En déduire le sens signe de $g$ sur $[0;\pi]$.
%\end{enumerate}
%\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0;\pi]$ par :
%$$\left\{ \begin{array}{l} f(0)=1\qquad \text{si }x=0\\ f(x)=\dfrac{\sin x}{x} \qquad \text{sinon}  \end{array} \right.$$
%\textbf{On admet que} : $ \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$
%\begin{enumerate}
%\item Justifier que $f$ est continue sur $[0;\pi]$.
%\item Etudier les variations de $f$ sur $]0;\pi]$.
%\item \begin{enumerate}
%\item Prouver que, pour tout nombre réel $x\geq 0$ :
%$$ 0\leq x-\sin x\leq \dfrac{x^3}{6}$$
%Pour cela on introduira la fonction $\phi$ définie sur $[0;+\infty[$ par $\phi(x)=\sin x -x+\dfrac{x^3}{6}$ et on calculera $\phi'$, $\phi''$ et $\phi''$ afin de déduire le signe de $\phi$.
%\item Prouver que $f$ est dérivable en $0$ et calculer $f'(0)$.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%
%\end{enumerate}
%\end{exoi}
%
%\begin{exoi}
%Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par :
%$$ f(x)=\sqrt{\dfrac{x^3}{1-x}}$$
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer la limite de $f$ en $0$ ; puis la limite de $f$ en $1^-$. \\
%En déduire l'existence d'une asymptote.
%\item Montrer que pour tout $x\in ]0;1[$ on a :
%$$ f'(x)=\dfrac{x^2(-3+x)}{2(1-x)^2\sqrt{\dfrac{x^3}{1-x}}}$$
%\item Dresser le tableau de variation de $f$.
%\item Soit $\Gamma_1$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.\\
%Déterminer une équation cartésienne de la tangente $T$ au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$.
%\\
%Tracer $\Gamma_1$ et $T$.
%\item Sur le même graphique , tracer $\Gamma_2$, courbe symétrique de $\Gamma_1$ par rapport à l'axe des ordonnées.
%\item Soit $\Gamma=\Gamma_1\cup \Gamma_2$. Montrer que $\Gamma$ a pour équation :
%$$ x(x^2+y^2)-y^2=0$$
%$\Gamma$ est appelé cissoïde de Dioclès.
%\end{enumerate}
%\end{exoi}


\end{document}