\documentclass[a4paper,11pt]{article}
	

\input macrodwicky.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=3cm,lmargin=1cm,rmargin=1cm}

\newcommand{\typedoc}{Devoir Surveillé 2}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	


\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Arithm\'etique}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S2 et S3}	
\newcommand{\Annee}{2013-2014}	
\newcommand{\Profs}{D.Zancanaro}
\newcommand{\LyMu}{Jean Durand}




\begin{document}
\DocPro

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}

\medskip

\begin{exoi}\hfill (10 points)


\begin{footnotesize}
A chaque lettre de l'alphabet, on associe, gr\^ace au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre $0$ et $25$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A	&B&C &D&E &F&G  &H&I&J& K &L &M \\ \hline
0	&1 	&2	&3 	&4 	&5 	&6 	&7	&8 	&9 	&10 	&11 	&12\\ \hline \hline 
N	&O	&P	&Q	&R &S	& T	&U 	&V 	&W 	&X 		&Y		&Z\\ \hline 
13	&14	&15	&16	&17 &18 &19 &20	&21	&22	&23 	&24		&25\\ \hline
\end{tabularx}
\end{footnotesize}

\medskip 

\begin{footnotesize}
On définit un procédé de codage de la façon suivante :
 
\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{l p{15.5cm}}
\emph{Etape} 1 :& 	A la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau.\\ 
\emph{Etape} 2 :& 	On calcule le reste de la division euclidienne\index{division euclidienne} de $3m + 11$ par $26$ et on le note $p$.\\
\emph{Etape} 3 :& 	Au nombre $p$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.\\
\end{tabular}

\end{footnotesize}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Coder la lettre U. }\\
$3\times 20+11\equiv 19 [26]$ donc $U$ se code $T$.
\item {\footnotesize Trouver un nombre entier $x$ tel que $3x \equiv 1\quad [26]$. }\\
Pour $x=9$ on a $27\equiv 1[26]$.
\item {\footnotesize En déduire que pour tout entier $m$ on a $ 27m-5\equiv m-5 [26]$}
$$27\equiv 1[26]\Longrightarrow 27m\equiv m[26]\Longrightarrow 27m-5\equiv m-5[26]$$
\item \begin{footnotesize}
Démontrer alors l'équivalence : 
\[3m+11 \equiv  p\quad [26] \iff m \equiv  9p +5\quad  [26].\]
\end{footnotesize}
\begin{itemize}
\item $ \Longrightarrow)$ Si $3m+11\equiv p[26]$ alors $27m+99\equiv 9p[26]$. Or $27m\equiv m[26$ et $99\equiv -5[26]$ par conséquent on a $m-5\equiv 9p[26]\Longrightarrow m\equiv 9p+5 [26]$.
\item $\Longleftarrow)$ Si $m\equiv 9p+5$ alors $3m\equiv 27p+15 [26]$. Or puisque $27\equiv 1 [26]$ on a $27p\equiv p [26]$ d'où :
$$ 3m\equiv p+15[26]\Longrightarrow 3m-15\equiv p[26]\Longrightarrow 3m+11\equiv p[26]$$
\end{itemize}
\item {\footnotesize Décoder alors la phrase J GLWX L UKXLV.}\\
Pour $J$ : J correspond à $9$ et $9\times 9+5=8\equiv 0 [26]$ donc on décode J par I.\\
Pour G : G correspond à $6$ et $9\times 6+5=59\equiv 7[26]$ donc on décode G par H.
\\
Pour L : L correspond à $11$ et $9\times 11+5\equiv 0[26]$ donc on décode L par A.
\\
Pour W : W correspond à 22 et $9\times 22+5\equiv 21 [26]$ donc on décode W par V.
\\
Pour X : X correspond à 23 et $9\times 23+5\equiv 4[26]$ donc on décode X par E.
\\ Ainsi de suite au final la phrase J GLWX L UKXLV se décode par I Have a dream.
\end{enumerate}
 


\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (4 points)

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|}
\hline
Valeurs de $n$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ \\\hline
Congruence de $4^n$ mod $11$ &  1&4  &5  &9  &  3 &  1&  4&5 \\\hline
Congruence de $3^n$ mod $11$ &  1&3  &  9&  5&4  &  1&  3&9 \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item {\footnotesize Démontrer que  $4^{5n}-3^{5n}$ est divisible par $11$ pour tout entier naturel $n$.}\\
On a $4^5\equiv 1[11]$ donc $4^{5n}\equiv 1[11]$ et $3^5\equiv 1[11]$ donc $3^{5n}\equiv 1[11]$ par conséquent :
$$ 4^{5n}-3^{5n}\equiv 1-1[11]\Longleftrightarrow 4^{5n}-3^{5n}\equiv 0[11]\Longleftrightarrow 11|4^{5n}-3^{5n}$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (Question Cactus)

\begin{footnotesize}
On souhaite résoudre le problème suivant :
\end{footnotesize}
{\footnotesize \textit{Combien l'armée de Han Xing comporte-t-elle de soldats au minimum si, rangés par 3 colonnes, il reste deux soldats, rangés par 5 colonnes il reste trois soldats, et rangés par 7 colonnes, il reste deux soldats ?}}\\
Si on note $n$ le nombre de soldats de l'armée on a :
$$ n-2\equiv 0[3], \qquad n-3\equiv 0[5] \qquad \text{et} \qquad n-2\equiv 0[7]$$
On en déduit que $3|n-2$ et $7|n-2$ donc il existe un entier naturel $k$ tel que $n-2=3k$ et $7|3k$ donc d'après le lemme d'euclide $7|3$ ou $7|k$. Comme $7$ ne divise pas $3$ il divise $k$ et il existe un entier naturel $k'$ tel que $k=7k'$. Au final $n-2=3\times7k'=21k'$.\\
Pour $k'=0$ on obtient $n=2$ et on a pas $2\equiv 3[5]$.\\
Pour $k'=1$ on obtient $n=23$ et on a bien $23\equiv 3[5]$. Le nombre minimal de soldats de l'armée de Han Xing est donc de $23$.%
\end{exoi}

\end{document}