\documentclass[a4paper,11pt]{article}
	

\input macrodwicky.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=3cm,lmargin=1cm,rmargin=1cm}

\newcommand{\typedoc}{Correction du Devoir Surveillé 2}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	


\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Fonction et lecture graphique.}	
\newcommand{\Cl}{2$^\text{nde}$ 8}	
\newcommand{\Annee}{2013-2014}	
\newcommand{\Profs}{ D.Zancanaro}
\newcommand{\LyMu}{Jean Durand}




\begin{document}
\DocPro

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}





\begin{ExoF}\hfill \textbf{7 points}\\
\begin{footnotesize}
On donne la courbe repr\'esentative d'une fonction $f$ définie sur $[-4;6[$ pour r\'epondre \textbf{graphiquement} aux questions suivantes.
\end{footnotesize}\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
% \item Quel est l'ensemble de d\'efinition de $f$ ?
\item {\footnotesize D\'eterminer l'image de $-4$ par la fonction $f$.}\\
L'image de $-4$ est $4$.
\item {\footnotesize Que vaut  $f(5)$ ?}\\
$f(5)=-2$.
\item {\footnotesize D\'eterminer s'ils existent :}
\begin{enumerate}
 \item {\footnotesize les ant\'ec\'edents de $3$ par la fonction $f$.}\\
 $3$ admet deux antécédents qui valent approximativement $1$ et $-3,5$.
\item {\footnotesize les ant\'ec\'edents de $5$ par la fonction $f$.}\\
$5$ n'a pas d'antécédents.
\end{enumerate}
 \item {\footnotesize En laissant appara\^itre les traits de justification sur le graphique, r\'esoudre :}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize l'\'equation $f(x)=-1$}. Cet équation admet pour solution $x=4$.
\item {\footnotesize l'in\'equation $f(x) < 0$}. $f(x)<0$ dès lors que $x>3,5$.
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Etablir graphiquement le tableau de signes de la fonction $f$}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-4}&&\tx{-2}&&\tx{3,5}&&\tx{6}\cr
\tx{f}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\doubletraitmilieu\cr
}$$
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-5.1,-3.1)(7.1,6.1)
\def\xmin{-5} \def\xmax{7} \def\ymin{-3} \def\ymax{6}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-5.1,-3.1)(7.1,6.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-5,-3)(7,6)
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 17 604800 div x 8 exp mul sub 13 50400 div x 7 exp mul add 1 33600 div x 6 exp mul sub 109 25200 div x 5 exp mul sub 5669 201600 div x 4 exp mul add 5303 50400 div x 3 exp mul sub 57523 151200 div x 2 exp mul sub 1553 1400 div x mul add 352 105 div add 1 sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{6}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\psdot(-4,4)
\psline(6.2,-0.8)(6,-0.8)(6,-1.2)(6.2,-1.2)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill \textbf{6 points}\\
\begin{footnotesize}
Soit $f$ la fonction définie par :$$f(x)=(3x+5)(1-4x)$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
 \item {\footnotesize La fonction $f$ admet-elle des valeurs interdites ? Si oui, lesquelles ?}\\
 L'expression $f(x)$ ne comporte ni racine carrée ni quotient, elle n'admet donc pas de valeurs interdites.
 \item {\footnotesize En déduire son ensemble de définition $D_f$.}\\
 Puisque $f$ n'admet pas de valeurs interdites :
 $$ D_f=\R$$
\item {\footnotesize Déterminer l'image par $f$ de $-2$.}
$$ f(-2)=(-6+5)(1+8)=-1\times 9=-9$$
\item {\footnotesize Calculer $f\left(\dfrac13 \right)$.}
$$ f\left(\dfrac13 \right)=\left(3\times \dfrac{1}{3}+5\right)\left(1-\dfrac{4}{3}\right)=6\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)=-2$$
\item {\footnotesize Déterminer les antécédents de $0$ par la fonction $f$.}\\
On cherche $x$ tel que $f(x)=0$ c'est-à-dire tel que $(3x+5)(1-4x)=0$. Il s'agit d'une équation produit nul admettant deux solutions :
$$ 3x+5=0\qquad \text{ou}\qquad 1-4x=0$$
ce qui donne $$ 3x=-5\qquad \text{ou} \qquad -4x=-1$$
Et enfin :
$$ x=-\dfrac{5}{3}\qquad \text{ou}\qquad x=\dfrac{1}{4}$$
\item \begin{enumerate}
       \item {\footnotesize Développer $f(x)$.}\\
       On a pour tout réel $x$  :
       $$ f(x)=(3x+5)(1-4x)=3x-12x^2+5-20x=-12x^2-17x+5$$
       \item \begin{footnotesize}
       Utiliser cette dernière expression pour déterminer les antécédents de $5$ par 
       la fonction $f$.
       \end{footnotesize}
\\
On cherche $x$ tel que :
$$ -12x^2-17x+5=5\Longleftrightarrow -12x^2-17x=0 \Longleftrightarrow 12x^2+17x=0\Longleftrightarrow x(12x+17)=0$$
Encore une fois il s'agit d'une équation produit nul admettant deux solutions :
$$ x=0\qquad \text{ou}\qquad 12x+17=0$$
ce qui donne :
$$ x=0\qquad \text{ou}\qquad x=-\dfrac{17}{12}$$
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\pagebreak

\begin{ExoF} \hfill \textbf{7 points}\\
\begin{footnotesize}
Soit $f$ la fonction définie par $$h(x)=\dfrac{2x+1}{x+2}$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
 \item {\footnotesize La fonction $h$ admet-elle des valeurs interdites ? Si oui, lesquelles ?}\\
 La division par $0$ est une opération interdite, par conséquent si $x+2=0$ c'est-à-dire si $x=-2$ le calcul de l'image est impossible. Il existe donc une valeur interdite qui est $-2$.
 \item {\footnotesize En déduire son ensemble de définition $D_h$.}\\
 On en déduit immédiatement l'ensemble de définition :
 $$ D_h=\left]-\infty;-2\right[\cup \left]-2;+\infty\right[$$
 \item {\footnotesize Compléter le tableau de valeurs ci-dessous.\\}
\begin{tabular}{*{15}{|p{0.8cm}}|}\hline
 $x$ &$-7$ &$-5$& $-4$ & $-3$ & $-2.5$ & $-2$ & $-1.5$ & $-1$ & $\,0\,$& $\,1\,$ & $\,2\,$ & $3$ & $5$ & $7$\tabularnewline\hline
$h(x)$ &$\dfrac{13}{5}$& $ 3$&$ 3,5$&$ 5$&$8 $ &\cellcolor{gray}& $ -4$& $ -1$& $ 0,5$& $ 1$&$ 1,25$& $ 1,4$ & $ \dfrac{11}{7}$& $\dfrac{5}{3} $\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\item {\footnotesize Construire alors l'allure de la courbe représentative de la fonction $h$ sur le graphique ci-dessous}
\begin{center}
\definecolor{cqcqcq}{rgb}{0.75,0.75,0.75}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw [color=cqcqcq,dash pattern=on 4pt off 4pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-8.75,-6.33) grid (8.65,7.8);
\draw[->,color=black] (-8.75,0) -- (8.65,0);
\foreach \x in {-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,8}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0,-6.33) -- (0,7.8);
\foreach \y in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-8.75,-6.33) rectangle (8.65,7.8);
\draw[smooth,samples=100,domain=-8.749999999999993:8.650000000000013] plot(\x,{(2*(\x)+1)/((\x)+2)});
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item {\footnotesize Les points suivants appartiennent-ils à la courbe représentative de la fonciton $h$ ? \textit{\textbf{Justifier par un calcul !}}}
\begin{enumerate}
 \item $A(4.5 ;1.5 ) $
 $$h(4,5)=\dfrac{9+1}{6,5}=\dfrac{10}{\frac{13}{2}}=\dfrac{20}{13}\neq 1,5$$
 On en déduit que $A$ n'est pas sur la représentation graphique de $h$. 
 \item $B(-3.5 ;4 ) $
 $$ h(-3,5)=\dfrac{-7+1}{-1,5}=\dfrac{-6}{-\frac{3}{2}}=\dfrac{12}{3}=4$$
 $B$ est donc un point de la représentation graphique de $h$.
 \item $C(13 ;1.8) $
 $$ h(13)=\dfrac{27}{15}=\dfrac{9}{5}=1,8$$
 donc $C$ est un point de la représentation graphique de $h$.
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les éventuels antécédents de $1$ par la fonction $h$.}\\
On cherche $x$ tel que :
$$ h(x)=1\Longleftrightarrow \dfrac{2x+1}{x+2}=1\Longleftrightarrow 2x+1=x+2\Longleftrightarrow 2x-x=2-1\Longleftrightarrow x=1$$
\end{enumerate}
\end{ExoF}




\textbf{Question Cactus (Bonus)} : \begin{footnotesize}
Un libraire achète un livre de collection 70 $\euro$, le vend 80 $\euro$,
le rachète 90 $\euro$ et le revend 100 $\euro$. Quel est son bénéfice ? Justifier !
\end{footnotesize}
\\
Ce cher libraire dépense $70+90=160\euro$ et reçoit : $80+100=180\euro$. Son bénéfice est donc de $20\euro$.






\end{document}