\documentclass[a4paper,11pt]{article}
	

\input macrodwicky.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=3cm,lmargin=1cm,rmargin=1cm}

\newcommand{\typedoc}{Correction du Devoir Surveillé 1}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	


\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les suites}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S1 et S3}	
\newcommand{\Annee}{2013-2014}	
\newcommand{\Profs}{M.Rey-Cadours et D.Zancanaro}
\newcommand{\LyMu}{Jean Durand}




\begin{document}
\DocPro

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}
\Exoi{\hfill (10 points)\\}
\begin{footnotesize}
On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $$\left\{\begin{array}{l}
                                                        u_0=1 \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2+{u_n}^2}
                                                       \end{array}\right.$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Étudier sur $[0;1]$ les variations de la fonction $f$  définie  par $$f(x)= \dfrac{x}{2+x^2}$$}
Pour tout $x\in[0;1]$, on a :
$$ f'(x)=\dfrac{1(2+x^2)-x(2x)}{(2+x^2)^2}=\dfrac{2+x^2-2x^2}{(2+x^2)^2}=\dfrac{2-x^2}{(2+x^2)^2}$$
Le dénominateur étant strictement positif, $f'(x)$ est du signe du numérateur. De plus puisque $x\in[0;1]$, $2-x^2>0$, ainsi $$f'(x)>0,\quad \forall x\in[0;1]$$
Par conséquent la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0;1]$. 
\item On donne ci-dessous une partie de la courbe représentative $\mathscr C$ de la fonction $f$
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(16,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=gray](0,0)(-2,-2)(16,4)
\psset{xunit=10.0cm,yunit=10.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.1,Dy=0.1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(1.6,0.4)
\psplot[plotpoints=200]{-0.2}{1.6}{x/(2+x^2)}
\rput[tl](1.26,0.35){$C_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Sur l'axe des abscisses, placer $u_{0}$ puis construire $u_{1}, u_{2}$ et $u_{3}$  en laissant apparents les traits de construction. 
}  
 \begin{center}
 %%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=10cm , yunit=5cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(1.7,1.4)
\def\xmin{0} \def\xmax{1.2} \def\ymin{0} \def\ymax{0.8}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.5,-0.6)(1.7,1.4)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,0.33333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,0)(1,0.33333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0.33333)(0,0.33333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,0.33333)(0,0.33333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.33333)(0.33333,0.33333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,0.33333)(0.33333,0.33333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.33333,0.33333)(0.33333,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0.33333,0.33333)(0.33333,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.33333,0)(0.33333,0.15789)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0.33333,0)(0.33333,0.15789)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.33333,0.15789)(0,0.15789)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0.33333,0.15789)(0,0.15789)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.15789)(0.15789,0.15789)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,0.15789)(0.15789,0.15789)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.15789,0.15789)(0.15789,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0.15789,0.15789)(0.15789,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.15789,0)(0.15789,0.07797)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0.15789,0)(0.15789,0.07797)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.15789,0.07797)(0,0.07797)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0.15789,0.07797)(0,0.07797)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.07797)(0.07797,0.07797)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,0.07797)(0.07797,0.07797)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.07797,0.07797)(0.07797,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0.07797,0.07797)(0.07797,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.07797,0)(0.07797,0.03886)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0.07797,0)(0.07797,0.03886)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.07797,0.03886)(0,0.03886)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0.07797,0.03886)(0,0.03886)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.03886)(0.03886,0.03886)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,0.03886)(0.03886,0.03886)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.03886,0.03886)(0.03886,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0.03886,0.03886)(0.03886,0)
\def\F{x 2 x x mul add div}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{1.5}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{1.5}{\F}
\uput[0](3,6.5){$C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=2,Dy=2,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){ O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){ $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){ $\vec{\jmath}$}
\uput[-90](1,0){ $u_0$}
\uput[180](0,0.33333){ $u_1$}
\uput[-90](0.33333,0){ $u_1$}
\uput[180](0,0.15789){ $u_2$}
\uput[-90](0.15789,0){ $u_2$}
\uput[180](0,0.07797){ $u_3$}
\uput[-90](0.07797,0){ $u_3$}
\uput[180](0,0.03886){ $u_4$}
\uput[-90](0.03886,0){ $u_4$}
\end{pspicture*}
 \end{center}
\item \begin{footnotesize}
Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la 
convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
\end{footnotesize}
\\
Au regard du graphique précédent, cette suite semble décroissante (en effet $u_0>u_1>u_2>u_3>u_4$) et il semble qu'elle converge vers $0$.
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$, $$0\leq u_{n}\leq 1$$.}\\
Notons $\mathscr P$ la propriété définie au rang $n$ par :
$$ \mathscr P(n) : 0\leq u_n\leq 1$$
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} :\\ 
$u_0=1$, on vérifie bien que $0\leq u_0\leq 1$ ainsi $\mathscr P(0)$ est vraie.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Supposons qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $0\leq u_n\leq 1$ montrons alors que $0\leq u_{n+1}\leq 1$.\\
\begin{eqnarray*}
& & 0\leq u_n\leq 1\\
& \Longleftrightarrow & f(0)\leq f(u_n)\leq f(1) \qquad \text{puisque $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0;1]$}\\
& \Longleftrightarrow & 0\leq u_{n+1} \leq \dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\\
& \Longrightarrow & 0\leq u_{n+1} \leq 1\\
\end{eqnarray*} 
Ainsi dès lors que la propriété $\mathscr P$ est vraie au rang $n$, elle est vraie au rang $n+1$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
 \item  {\footnotesize Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a : $$u_{n+1}- u_{n}=\dfrac{-u_n\left(1+u_n^2\right)}{2+u_n^2}$$}
 $$ u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n}{2+u_n^2}-u_n=\dfrac{u_n-u_n(2+u_n^2)}{2+u_n^2}=\dfrac{-u_n-u_n^3}{2+u_n^2}=\dfrac{-u_n(1+u_n^2)}{2+u_n^2}$$
\item {\footnotesize En déduire le sens de variations de la suite $(u_n)$}
\\
Etudions le signe de $u_{n+1}-u_n=\dfrac{-u_n(1+u_n^2)}{2+u_n^2}$. Tout d'abord le dénominateur $2+u_n^2>0$, ce qui montre que $\dfrac{-u_n(1+u_n^2)}{2+u_n^2}$ a le même signe que $-u_n(1+u_n^2)$. De même $1+u_n^2>0$ donc $u_{n+1}-u_n$ a le même signe que $-u_n$. Puisqu'on a démontré que $u_n>0$ alors $-u_n<0$, par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_{n+1}-u_n<0\Longleftrightarrow u_{n+1}<u_n$$
La suite $u$ est donc strictement décroissante.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  {\footnotesize Justifier que la suite $(u_n)$ converge.}\\
Puisque pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$, la suite $u$ est minorée par $0$. De plus elle est strictement décroissante, or une suite décroissante et minorée converge, c'est donc le cas pour la suite $u$.
\item {\footnotesize Résoudre l'équation $$x=\dfrac{x}{2+x^2}$$}
\begin{eqnarray*}
& & x=\dfrac{x}{2+x^2} \\
& \Longleftrightarrow &  x(2+x^2)=x\qquad \text{puisque $2+x^2\neq 0$}\\
& \Longleftrightarrow & x(2+x^2)-x=0\\
& \Longleftrightarrow & x(2+x^2-1)=0\\
& \Longleftrightarrow & x=0 \quad \text{ou}\quad 1+x^2=0\\
& \Longleftrightarrow & x=0 \quad \text{ou}\quad x^2=-1\\
\end{eqnarray*}
$x^2=-1$ n'admet aucune solution réelle, par conséquent l'équation proposée admet une unique solution qui est $0$.
\item {\footnotesize En déduire la limite de la suite $(u_n)$}\\
On sait que la suite $u$ converge vers un réel que nous noterons $\ell$, on a donc :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty} u_n=\ell\Longrightarrow \lim\limits_{n\to+\infty} u_{n+1}=\ell \quad \text{et} \quad \lim\limits_{n\to+\infty} u_n^2=\ell^2$$
Puisque $ u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2+u_n^2}$, par passage à la limite on obtient :
$$ \ell=\dfrac{\ell}{2+\ell^2}$$
équation qui d'après la question précédente admet une unique solution : $0$, on conclut donc que :
$$ \ell =0 \Longleftrightarrow \lim\limits_{n\to+\infty} u_n=0$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%}
\pagebreak
\Exoi{\hfill (10 points)\\
\begin{footnotesize}
L'objet de cet exercice est l'étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $$ \left \{\begin{array}{l}
u_1 = \dfrac{3}{2} 
\\\text{pour tout entier }n\in \N^*,\quad u_{n+1}=\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}
\end{array}
\right.$$
\end{footnotesize}
\textbf{Partie A - Algorithmique et conjectures }\\
\parbox{6cm}{\begin{footnotesize}
Pour calculer et afficher le terme $u_{9}$ de la suite, un élève propose l'algorithme ci-contre.
\\
Il a oublié de compléter deux lignes.
\end{footnotesize}}\hfill
\parbox{8cm}{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\arraybackslash}X|}} \hline
Variables&$n$ est un entier naturel \\
&$u$ est un réel \\
\hline
Initialisation &Affecter à  $n$ la valeur 1\\
&Affecter à  $u$ la valeur 1,5 \\
\hline
Traitement &Tant que $n<9 $\\
&\hspace*{1cm} Affecter à  $u$ la valeur $ \dfrac{nu+1}{2(n+1)}$ \\ 
&\hspace*{1cm} Affecter à  $n$ la valeur $n+1$\\
%\hline
&Fin Tant que \\
\hline
Sortie& Afficher la variable $u$ \\
\hline
\end{tabularx}}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension. }\\ Cf ci-dessus.
\item {\footnotesize Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de $u_{2}$ jusqu'à  $u_{9}$ ?} 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\arraybackslash}X|}} \hline
Variables&$n$ est un entier naturel \\
&$u$ est un réel \\
\hline
Initialisation &Affecter à  $n$ la valeur 1\\
&Affecter à  $u$ la valeur 1,5 \\
\hline
Traitement &Tant que $n<9 $\\
&\hspace*{1cm} Affecter à  $u$ la valeur $ \dfrac{nu+1}{2(n+1)}$ \\ 
& \hspace*{1cm}  Afficher la variable $u$\\
&\hspace*{1cm} Affecter à  $n$ la valeur $n+1$\\
%\hline
&Fin Tant que \\
\hline
Sortie& \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item  {\footnotesize Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième: }
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
n &1&2 &3 &4 &5 &6 &\dots&99 &100 \\
\hline
$u_{n}$ &1,5 &0,625 &0,375 &0,2656 &{0,2063} &{0,1693}&\dots&\ {0,0102} &{0,0101} \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Vérifier, par le calcul, les valeurs de $u_2$ et $u_3$}
$$u_2=\dfrac{u_1+1}{2(1+1)}=\dfrac{1,5+1}{4}=\dfrac{2,5}{4}=\dfrac{5}{8}$$
$$ u_3=\dfrac{2\times \frac{5}{8}+1}{2(2+1)}=\dfrac{\frac{5}{4}+1}{6}=\dfrac{\frac{9}{4}}{6}=\dfrac{9}{24}=\dfrac{3}{8}$$
\item {\footnotesize Au vu des résultats du tableau, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$.}\\
Comme la précédente cette suite semble décroissante et convergente vers $0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B - Etude mathématique }
\\
{\footnotesize On définit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ par : $$\text{pour tout entier } n\geqslant 1, v _{n} = nu_{n} -1$$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. }\\
Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
$$ v_{n+1}=(n+1)u_{n+1}-1=(n+1)\dfrac{nu_n+1}{2(n+1)}-1=\dfrac{nu_n+1}{2}-1=\dfrac{nu_n+1-2}{2}=\dfrac{nu_n-1}{2}=\dfrac{v_n}{2}$$
La suite $v$ est donc géométrique, sa raison est $\dfrac{1}{2}$ et son premier terme $v_1=1u_1-1=\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2}$.
\item {\footnotesize En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $$u_{n}= \dfrac{1+(0,5)^{n}}{n}$$.}\\
Puisque $v$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_1=\dfrac{1}{2}$ on a :
$$ \forall n\in\N^*,\quad v_n=v_1\times \left(q\right)^{n-1}=\dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$
Ainsi donc :
$$ v_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \Longleftrightarrow nu_n-1=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n  \Longleftrightarrow nu_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n +1\Longleftrightarrow u_n=\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^n +1}{n}=\dfrac{1+(0,5)^n}{n}$$
\item {\footnotesize En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.}\\
On sait que $\lim\limits_{n\to+\infty} (0,5)^n=0$ (suite gémétrique de raison comprise entre $-1$ et $1$, et $\lim\limits_{n\to+\infty}  \dfrac{1}{n}=0$, par conséquent :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty}  u_n=0$$
\item 
\begin{footnotesize}
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
\\
Etudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{footnotesize}\\
$$ u_{n+1}-u_n=\dfrac{1+(0,5)^{n+1}}{n+1}-\dfrac{1+(0,5)^n}{n}=\dfrac{n+n(0,5)^{n+1}-(n+1)(1+0,5^n)}{n(n+1)}$$
Ce nombre est du signe du numérateur (le dénominateur étant strictement positif) et :
$$ n+n(0,5)^{n+1}-n-1-n0,5^n-0,5^n=n(0,5)^{n+1}-n0,5^n-1-0,5^n=n0,5^n(0,5-1)-1-0,5^n=-0,5n0,5^n-1-0,5^n<0$$
par conséquent :
$$ u_{n+1}-u_n<0\Longleftrightarrow u_{n+1}<u_n$$
La suite $u$ est donc strictement décroissante
\end{enumerate}
}
$$\quad$$
\fbox{\textbf{BONUS:}}
\\\begin{footnotesize}
Les pages d'un livre sont numérotées de $1$ à $n$. On additionne les numéros des pages mais une page a été comptée deux fois. On obtient donc un résultat faux égal à $2012$.
\\Quelle page a été comptée deux fois?
\\Quel est le nombre total de pages du livre?
\end{footnotesize}
\\
La somme des pages de ce livre est  d'une part strictement supérieure à $2012$ moins le numéro de la dernière page  et strictement inférieure à $2012$ i.e :
 $$ 2012-n<1+2+\dots+n<2012 \Longleftrightarrow 2012-n<\dfrac{n(n+1)}{2}<2012\Longleftrightarrow 4024-2n<n(n+1)<4024$$
Pour $n=61$ on a $4024-2\times 61=3902$ et $n(n+1)=3782$, pour $n=62$ on a $4024-2n=3900$ et $n(n+1)=3906$. Ainsi $62$ convient.
\\
Pour $n=63$ on a $n(n+1)=4032>4024$, par conséquent pour tout $n>62$ on aura $n(n+1)>4024$, de même pour tout $n$ entier naturel non nul  inférieur à $61$ on aura $4024-2n>n(n+1)$.\\
La seule solution possible est que le livre contenait initialement $62$ pages, puisque la somme des $62$ premiers nombres entiers vaut $3906/2=1953$, la page que l'on a compté deux fois était la numéro $2012-1953=59$.
\end{document}