\documentclass[a4paper,11pt]{article}
	

\input macrodwicky.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=3cm,lmargin=1cm,rmargin=1cm}

\newcommand{\typedoc}{Devoir Surveillé 1}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	


\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Arithm\'etique}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S2 et S3}	
\newcommand{\Annee}{2013-2014}	
\newcommand{\Profs}{D.Zancanaro}
\newcommand{\LyMu}{Jean Durand}




\begin{document}
\DocPro

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}

\medskip

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les entiers relatifs $n$ tels que $n-4$ divise $3n-17$.}\\
$n-4|n-4$ alors si $n-4|3n-17$ il divise toutes les combinaisons linéaires de $n-3$ et $3n-17$, en particulier on a :
$$ n-4|3n-17-3(n-4)\Longleftrightarrow n-4|-17+12\Longleftrightarrow n-4|-5$$
$n-4$ est donc un diviseur de $5$ ; la liste des diviseurs de $5$ étant :
$$ \mathscr D_{5}=\left\{-5;-1;1;5\right\}$$
$n-4=-5\Longleftrightarrow n=-1$ ; $n-4=-1\Longleftrightarrow n=3$ ; $n-4=1\Longleftrightarrow n=5$ et $n-4=5\Longleftrightarrow n=9$.\\
Les possibles entiers relatifs $n$ tels que $n-4$ divise $3n-17$ sont donc $-1$, $3$, $5$ ou $9$.\\
Vérifions le :
Si $n=-1$ alors $ n-4=-1-4=-5$ et $3n-17=-3-17=-20$ et effectivement $-5|-20$\\
Si $n=3$ alors $n-4=-1$ et $3n-17=-8$ et effectivement $-1|-8$.\\
Si $n=5$ alors $n-4=1$ et $3n-17=-2$ et $1|-2$.\\
Si $n=9$ alors $n-4=5$ et $3n-17=27-17=10$ et $5|10$.
\\
Chacunes des valeurs trouvées est donc bien solution, l'ensemble des entiers relatifs $n$ tels que $n-4$ divise $3n-17$ est donc :
$$ \left\{-1;3;5;9\right\}$$
\item {\footnotesize Déterminer les entiers relatifs $n$ tels que $\dfrac{3n-17}{n-4}$ soit un entier naturel.}\\
Il n'y a que $4$ candidats, en observant la question précédente on s'aperçoit que si $n=5$ alors $\dfrac{3n-17}{n-4}=-2\notin \N$. Les trois autres possibilités donnent bien un quotient entier naturel donc :
$$ \mathscr S=\{-1;3;9\}$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Donner la liste des diviseurs de $15$. En déduire tous les couples d'entiers relatifs $(a;b)$ tels que $15=ab$.}\\
La liste des diviseurs de $15$ est :
$$ \mathscr D_{15}=\{-15;-5;-3;-1;1;3;5;15\}$$
Ainsi $15=(-15)\times (-1)=(-5)\times (-3)=(-3)\times (-5)=(-1)\times (-5)=1\times 5=3\times 5=5\times 3=15\times 1$.
\\
Tous les couples d'entiers relatifs $(a;b)$ tels que $15=ab$ sont donc :
$$ \mathscr S=\{(-15;-1),(-5;-3),(-3;-5), (-1;-15), (1;15), (3;5), (5;3), (15;1)\}$$
\item {\footnotesize Dans cette question $x$ et $y$ désignent des entiers naturels.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Exprimer $4x^2-49y^2$ comme produit de deux nombres entiers relatifs $p$ et $q$ avec $p<q$.}\\
$$ 4x^2-49y^2=(2x-7x)(2x+7y)$$
Puisque $x$ et $y$ sont des entiers naturels $2x+7y>2x-7y$ donc on choisit $p=2x-7x$ et $q=2x+7y$, on a bien $p<q$.\\
\begin{footnotesize}
 Préciser $p$ et $q$ et justifier que $q\in \N$.
\end{footnotesize}\\
Puisque $x\geq 0$ et $y\geq 0$ alors $2x+7y\geq 0$ donc $q\in \N$.
\item {\footnotesize Déduire des deux premiers questions tous les couples d'entiers naturels $(x;y)$ solutions de l'équation $4x^2-49y^2=15$. }\\
On a $pq=15$ avec $q\in \N$ et $p<q$ donc $q=15\Longrightarrow p=1$ ou $q=5\Longrightarrow p=3$. On résout deux systèmes :
$$ \left\{\begin{array}{l}
            2x-7y=1\\2x+7y=15
            \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
            4x=16\\2x+7y=15
            \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
            x=4\\8+7y=15\Leftrightarrow 7y=7\Leftrightarrow y=1
            \end{array}\right.$$
Un premier couple solution est $(4;1)$.
$$ \left\{\begin{array}{l}
            2x-7y=3\\2x+7y=5
            \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
            4x=8\\2x+7y=5
            \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
            x=2\\4+7y=15\Leftrightarrow 7y=11\Leftrightarrow y=\dfrac{11}{7}
            \end{array}\right.$$
 $\dfrac{11}{7}\notin \N$ on en déduit qu'il n'y a qu'un couple d'entier naturel solution tel que $4x^2-49y^2=15$.
 $$ \mathscr S=\{(4;1)\}$$
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Donner tous les couples d'entiers relatifs $(x;y)$ solutions de  $4x^2-49y^2=15$. 
\\
\textit{On ne demande pas de calcul fastidieux.}
\end{footnotesize}
\\
Puisque $x^2=(-x)^2$ et $y^2=(-y)^2$ tous les couples de la forme $(\pm 4; \pm 1)$ sont solutions de $4x^2-49y^2=15$ d'où :
$$ \mathscr S=\{(-4;-1), (-4;1), (4;-1), (4,1)\}$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Soit $n$ un entier naturel.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer que pour tout nombre entier naturel $k$ on a $$ 2^{3k}\equiv 1[7]$$}
On a :
$$ 2^3=8\equiv 1[7]$$
Pour tout entier naturel $k$ on a donc :
$$ {2^3}^k\equiv 1^k[7]\Longleftrightarrow 2^{3k}\equiv 1[7]$$
\item {\footnotesize Quel est le reste dans la division euclidienne de $2^{2013}$ par $7$ ?}\\
La somme des chiffres de $2013$ est $6=3\times 2$ donc $2013$ est divisible par $3$, il existe un entier naturel $k$ tel que $2013=3k$, d'après la question précédente on en déduit que :
$$ 2^{2013}\equiv 1[7]$$
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Soit $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels inférieur ou égaux à $9$ avec $a\neq 0$.
\\
On considère $N=a00b$.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Vérifier que $10^3\equiv -1[7]$.}\\
$1000=7\times 342 +6$ par conséquent $10^3\equiv 6[7]$ et $6\equiv -1[7]$ d'où :
$$ 10^3\equiv -1[7]$$
\item {\footnotesize En déduire que $N\equiv -a+b[7]$.}\\
$N=a00b=a\times 10^3+b$\\
Puisque $10^3\equiv -1[7]$ on a :
$$ a10^3\equiv -a [7]\Longrightarrow a10^3+b\equiv -a+b[7]\Longrightarrow N\equiv -a+b [7]$$
\item {\footnotesize Déterminer parmi les nombres entiers naturels $N$ ceux qui sont divisibles par $7$.}\\
$7|N\Longleftrightarrow N\equiv 0 [7]\Longleftrightarrow -a+b\equiv 0[7]$
.\\
Puisque $a$ et $b$ sont des chiffres on a :
$$ 1\leq a \leq 9\Longleftrightarrow -9\leq -a\leq -1\qquad \text{et} \qquad 0\leq b\leq 9$$
d'où :
$$ -9\leq -a+b\leq 8$$
Par conséquent $-a+b\equiv 0[7]\Longleftrightarrow -a+b=-7\qquad \text{ou} \qquad -a+b=0\qquad \text{ou} \qquad -a+b=7$
\\
ce qui donne :
$$ -a+b\equiv 0 [7]\Longleftrightarrow  b=-7+a\qquad \text{ou} \qquad a=b\qquad \text{ou} \qquad b=7+a$$
\begin{itemize}
\item \textbf{Cas 1} : $b=-7+a$ et $a\neq 0$ et $b$ sont des chiffres donc les solutions sont :
$$ \mathscr S=\{8001; 9002\}$$
\item \textbf{Cas 2} : $a=b$ et $a\neq 0$ et $b$ sont des chiffres donc les solutions sont :
$$ \mathscr S=\{1001; 2002;3003;4004;5005;6006;7007;8008;9009\}$$
\item \textbf{Cas 3} : $b=7+a$ et $a\neq 0$ et $b$ sont des chiffres donc les solutions sont :
$$ \mathscr S=\{1008; 2009\}$$
\end{itemize}
L'ensemble des nombres $N=a00b$ divisible par $7$ est :
$$ \mathscr S=\{1001; 2002;3003;4004;5005;6006;7007;8008;9009; 8001;9002; 1008;2009\}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

%\begin{exoi}
%On souhaite déterminer le chiffre des unités de $2^n+3^n$ selon les valeurs de $n$.
%\begin{enumerate}
%\item Compléter le tableau suivant :
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
%\hline $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ \hline 
%Reste de $2^n$ modulo $5$ & &  &  &  &  &  &  & \\ \hline 
%Reste de $3^n$ modulo $5$ & &  &  &  &  &  &  &\\ \hline 
%Reste de $2^n+3^n$ modulo $5$ & &  &  &  &  &  &  & \\ \hline 
%\end{tabular}
%\end{center}
%\item Conjecturer les valeurs des restes de $2^n+3^n$ en fonction des valeurs de $n$.
%\item Pour tout $k$ et $n$ entiers naturels, montrer que $2^n+3^n$ et 
%$2^{n+4k}+3^{n+4k}$ ont même reste dans la division par $5$.
%\item En déduire l'ensemble des restes possibles de $2^n+3^n$ en fonction de $n$.
%\item Montrer que $2^n+3^n$ est impair. En déduire son chiffre des unités en fonction de $n$.
%\item En déduire le chiffre des unités de $2^{2013}+3^{2013}$.
%\end{enumerate}
%\end{exoi}

\begin{exoi}
A chaque lettre de l'alphabet, on associe, gr\^ace au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre $0$ et $25$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A	&B&C &D&E &F&G  &H&I&J& K &L &M \\ \hline
0	&1 	&2	&3 	&4 	&5 	&6 	&7	&8 	&9 	&10 	&11 	&12\\ \hline \hline 
N	&O	&P	&Q	&R &S	& T	&U 	&V 	&W 	&X 		&Y		&Z\\ \hline 
13	&14	&15	&16	&17 &18 &19 &20	&21	&22	&23 	&24		&25\\ \hline
\end{tabularx}

On définit un procédé de codage de la façon suivante :

\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{l p{15.5cm}}
\emph{Etape} 1 :& 	A la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau.\\ 
\emph{Etape} 2 :& 	On calcule le reste de la division euclidienne\index{division euclidienne} de $19m + 3$ par $26$ et on le note $p$.\\
\emph{Etape} 3 :& 	Au nombre $p$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.\\
\end{tabular}

\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Coder le mot EUX.}\\
$19\times 4+3=79$ et $79\equiv 1[26]$ donc $E$ est codé par $B$.\\
$19\times 20+3=383$ et $383\equiv 19[26]$ donc $U$ est codé par $T$.\\
$19\times 23+3=440$ et $440\equiv 24[26]$ donc $X$ est codé par $Y$.\\
EUX est codé par BTY.
\item 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Vérifier que $19\times 11\equiv 1[26]$.}\\
$26|19\times 11-1=208$ donc on a bien $19\times 11\equiv 1[26]$.
\item {\footnotesize En déduire que $209m +33\equiv m+7 [26]$.}\\
On a, pour tout nombre entier $m$ :
$$ 209\equiv 1 [26]\Longrightarrow 209m\equiv m [26]\Longrightarrow 209m+33\equiv m+33 [26]$$
Or $33\equiv 7[26]$ donc $m+33\equiv m+7[26]$ par conséquent :
$$ 209m +33\equiv m+7 [26]$$ 
\item {\footnotesize Montrer que si $19m+3\equiv p [26]$ alors $m\equiv 11p-7 [26]$ \\}
$$ 19m+3\equiv p [26]\Longrightarrow 209m+33\equiv 11p [26]\Longrightarrow m+7\equiv 11p [26]\Longrightarrow m\equiv 11p-7[26]$$
\begin{footnotesize}
\textbf{On admet que la réciproque est vraie i.e. on admet que si $m\equiv 11p-7[26]$ alors $19m+3\equiv p [26]$.}
\end{footnotesize}
\\
Prouvons le.
$$ m\equiv 11p-7[26]\Longrightarrow 19m \equiv 209p-133[26]$$
Or, $-133\equiv -3[26]$ et $209\equiv 1 [26]\Longrightarrow 209p\equiv p [26]$ donc $209p-33\equiv p-3 [26]$ d'où :
$$ 19m\equiv p-3 [26]\Longrightarrow 19m+3\equiv p [26]$$
On a donc montré que :
$$19m+3\equiv p [26]\Longleftrightarrow m\equiv 11p-7[26] $$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Décoder SB.}\\
D'après la question précédente la fonction $g$ de décodage est celle qui à l'entier $p$ associe le reste modulo $26$ de $11p-7$.\\
$11\times 18-7=191\equiv 9 [26]$ donc $S$ est décodé par $J$.\\
$11\times 1-7=4\equiv 4[26]$ donc $B$ est décodé par $E$.\\
SB est le mot qui code le mot JE. 
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}