\documentclass[a4paper,11pt]{article}
	

\input macrodwicky.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=3cm,lmargin=1cm,rmargin=1cm}

\newcommand{\typedoc}{Correction DS 1}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	


\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Tableau de signe - Distance Milieu}	
\newcommand{\Cl}{2$^\text{nde}$ 8}	
\newcommand{\Annee}{2013-2014}	
\newcommand{\Profs}{ D.Zancanaro}
\newcommand{\LyMu}{Jean Durand}




\begin{document}
\DocPro

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}


\Exoi{\textit{Les ensembles de nombres}\hfill (3 points)\\
{\footnotesize Donner pour chacun des $4$ ensembles précédents un exemple de nombre qui en fait partie et un exemple de nombre qui n'en fait pas partie.}
\begin{enumerate}
\item $\N$ désigne l'ensemble des \textbf{nombres entiers naturels.}\\
$53\in \N$, en revanche $-5\notin \N$.
\item $\R$ désigne l'ensemble des \textbf{nombres réels.}\\
N'importe quel nombre appartient à $\R$ ($1$ ou $-5$ ou $3,46$ ou $\sqrt{3}$ ou encore $\pi$ et $\dfrac{-1}{3}$ sont des nombres réels).
\item $\Q$ désigne l'ensemble des \textbf{nombres rationnels}.\\
Tous les nombres que l'on peut écrire sous forme de fraction sont rationnels. ($4=\dfrac{4}{1}$ ou $\dfrac{-1}{3}$ ou $-10,3=\dfrac{-103}{10}$ sont des nombres rationnels, $\sqrt{2}$ ou $\pi$ ne sont pas des nombres rationnels.)
\item $\Z$ désigne l'ensemble des \textbf{nombres entiers relatifs}.\\
$-5$ ou $36$ sont des entiers relatifs mais $5,3$ n'est pas un entier relatif.
\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (7 points)\\
\begin{footnotesize}
Dans un repère orthonormé on donne $A(-2;-2)$, $B(2;2)$, $C(3;-3)$.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Réaliser une figure que l'on complétera au fur et à mesure de l'exercice.}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.88,-7.38)(4.85,2.52)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.88,-7.38)(4.85,2.52)
\psline(-2,-2)(2,2)
\psline(2,2)(3,-3)
\psline(3,-3)(-2,-2)
\psline(-1,-7)(3,-3)
\psline(-2,-2)(-1,-7)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-2,-2)
\rput[bl](-1.87,-1.95){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2,2)
\rput[bl](2.12,2.07){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3,-3)
\rput[bl](3.11,-2.94){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](0.11,0.06){$I$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.5,-2.5)
\rput[bl](0.62,-2.43){$J$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.5,6.5)
\rput[bl](-6.76,4.5){$D'$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1,-7)
\rput[bl](-0.88,-6.93){$D$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $AB$, $AC$ et $BC$.}
$$ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(2-(-2))^2+(2-(-2))^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}$$
$$ AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}=\sqrt{(3-(-2))^2+(-3-(-2))^2}=\sqrt{5^2+(-1)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$$
Et enfin :
$$ BC=\sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2}=\sqrt{(3-2)^2+(-3-2)^2}=\sqrt{1^2+(-5)^2}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$$
\item {\footnotesize En déduire la nature du triangle $ABC$.}\\
On a $BC=AC$ donc le triangle $ABC$ est isocèle en $C$. \\
De plus $AB^2=32$ et $BC^2+AC^2=26+26=52$ donc d'après le théorème de Pythagore $ABC$ n'est pas un triangle rectangle.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$.}
$$ x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{-2+2}{2}=0\qquad \text{et}\qquad y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{-2+2}{2}=0$$
Le milieu du segment $[AB]$ a pour coordonnées :
$$I(0;0) $$
\item {\footnotesize Déterminer l'aire du triangle $ABC$.}\\
$\mathscr A(ABC)=\dfrac{\text{base}\times \text{hauteur}}{2}$.
On choisit comme base : $AB$, puisque le triangle $ABC$ est isocèle en $C$ la hauteur issue de $C$ coupe le segment $[AB]$ en son milieu $I$. On a alors :
$$ \mathscr A(ABC)=\dfrac{AB\times IC}{2}$$
De plus :
$$ IC=\sqrt{(x_C-x_I)^2+(y_C-y_I)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(-3-0)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}$$
Au finale l'aire du triangle $ABC$ vaut :
$$ \mathscr A(ABC)=\dfrac{\sqrt{32}\times \sqrt{18}}{2}=\dfrac{2\sqrt{8}\times \sqrt{18}}{2}=\sqrt{8}\times \sqrt{18}=2\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}=6\times 2=12 \text{unité d'aire}$$ 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize On considère le point $D$ tel que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme. Calculer les coordonnées de $D$.}
\\
Les diagonales d'un parallélogramme se coupe en leurs milieux. Par conséquent le milieu $J$ de la diagonale $[AC]$ est aussi le milieu de la diagonale $[BD]$.
$$ x_J=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{-2+3}{2}=0,5\qquad \text{et}\qquad \dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{-2+(-3)}{2}=-2,5$$
$J(0,5;-2,5)$ et $J$ est le milieu de $[BD]$ donc :
$$ 0,5=\dfrac{2+x_D}{2}\Longleftrightarrow 1=2+x_D\Longleftrightarrow x_D=-1$$
et 
$$ -2,5=\dfrac{2+y_D}{2}\Longleftrightarrow -5=2+y_D\Longleftrightarrow y_D=-7$$
$D$ a pour coordonnées $(-1;-7)$.
\item {\footnotesize Préciser la nature du parallélogramme $ABCD$. }
\\
Puisque $AB\neq AC$ le parallélogramme $ABCD$ n'est ni un losange ni un carré. Puisque $ABC$ n'est pas un triangle rectangle le parallélogramme $ABCD$ n'est pas un rectangle.\\
\textbf{Conclusion} : $ABCD$ est simplement un parallélogramme.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\Exoi{\textit{Intervalle}\hfill (4 points)\\
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize A quel intervalle de $\R$, $x$ appartient-il dans chacun des cas suivants :}
\begin{enumerate}
\item $3x-3<5-2x\Longleftrightarrow 5x<8\Longleftrightarrow x<\dfrac{8}{5}$. Au final on a :
$$ x\in \left]-\infty; \dfrac{8}{5}\right[$$
\item $ 3<-3x+1\leq 7\Longleftrightarrow 2<-3x\leq 6\Longleftrightarrow -\dfrac{2}{3}>x\geq -2\Longleftrightarrow -2\leq x< \dfrac{2}{3}$. Au final on a :
$$ x\in \left[-2;\dfrac{2}{3}\right[$$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize On considère deux nombres $x\in [1;7[$ et $y\in \left[ \dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{2}\right]$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Donner un intervalle auquel appartient le nombre $x+y$}\\
Au minimum la somme $x+y$ vaut $1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$ et cette somme ne dépassera jamais $7+\dfrac{3}{2}=8,5$ d'où :
$$ x+y\in \left[\dfrac{3}{2}; 8,5\right[$$
\item {\footnotesize Donner un intervalle auquel appartient le nombre $x-y$}\\
Au minimum la différence $x-y$ vaut $1-\dfrac{3}{2}=-0,5$ et cette différence ne dépassera jamais $7-\dfrac{1}{2}=6,5$, par conséquent :
$$ x-y\in \left[-0,5;6,5\right[$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\textit{Tableau de signe} \hfill (4 points)\\
\begin{footnotesize}
Etablir le tableau de signe des expressions suivantes \textit{(on justifiera)}:
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item $3x-1$.\\
$3x-1\geq 0\Longleftrightarrow 3x\geq 1\Longleftrightarrow x\geq \dfrac{1}{3}$ d'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\dfrac{1}{3}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{3x-1}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$
\item $1-2x$.\\
$1-2x\geq 0\Longleftrightarrow -2x\geq -1\Longleftrightarrow x\leq \dfrac{1}{2}$ d'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\dfrac{1}{2}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{1-2x}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\textit{Un problème} \hfill (2 points)\\
\begin{footnotesize}
Un père de trois enfants laisse en héritage 1600 couronnes. Le testament précise que l'aîné doit recevoir 200 
couronnes de plus que le deuxième, le deuxième 100 couronnes de plus que le dernier. De quelle somme hérite 
chacun des enfants ? 
\end{footnotesize}
\\
Notons $x$ la somme que reçoit le plus jeune des trois enfants. le deuxième reçoit alors $x+100$ couronnes et l'aîné reçoit alors $x+100+200=x+300$.\\
La somme doit faire $1600$ d'où :
$$ x+x+100+x+300=1600$$
c'est-à-dire :
$$ 3x+400=1600\Longleftrightarrow 3x=1200\Longleftrightarrow x=400$$
Le plus jeune reçoit $400$ couronnes, le deuxième $500$ couronnes et l'aîné $700$ couronnes.
}









\Exoi{\textit{Un vieux problème chinois}\hfill \textbf{(Bonus)}\\
Une ville carré de dimensions inconnues comprend une porte au milieu de chaque côté. A l'extérieur de la ville, vingt mètre après la sortie nord, se trouve un arbre. Si tu quittes la ville par la porte sud, marche quatorze mètres vers le sud puis 1775 vers l'ouest et tu commenceras tout juste à apercevoir l'arbre.\\
On cherche les dimensions de la ville.
\\
Voici un schéma de la situation :
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{chinois.eps}
\end{center}
D'après le théorème de Thales on a :
$$ \dfrac{BN}{BC}=\dfrac{DF}{AC}\Longleftrightarrow \dfrac{20}{34+x}=\dfrac{x/2}{1775}\Longleftrightarrow 35500=\dfrac{x}{2}(34+x)\Longleftrightarrow 35500=17x+\dfrac{x^2}{2}\Longleftrightarrow 71 000=34x+x^2 $$
On résout alors cette équation :
$$ x^2+34x=71000\Longleftrightarrow (x+17)^2-289=71000\Longleftrightarrow (x+17)^2=71289\Longleftrightarrow x+17=\sqrt{71289}\quad \text{ ou }x+17=-\sqrt{71289}$$
La solution négative n'a pas de sens car on cherche les dimensions d'une ville, ce qui donne donc :
$$ x= \sqrt{71289}-17=250$$
Par conséquent la ville est un carré de $250$ mètres de côtés.
\footnote{Ce problème est issu des Neuf Chapitres sur l'art du calcul, ouvrage choinois datant d'il y a a peu près 2000 ans.} }






\end{document}