\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 9}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{TVI et \'etude de fonctions.}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{Tout élève traitera  au moins un exercice.}

\Exoi{\hfill $ \spadesuit\spadesuit\spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
On se propose de déterminer le nombre de racine(s) du polynôme $P$ définie sur $\R$ par  :
$$ P(x)=4x^4-3x^3+2x^2-x+1$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer $P'$ puis $P''$.}\\
$P$ étant un polynôme, $P$ est dérivable sur $\R$ et on a pour tout $x\in \R$ :
 $$ P'(x)=16x^3-9x^2+4x-1$$
 $P'$ étant un polynôme, $P'$ est dérivable sur $\R$ et on a pour tout $x\in \R$ :
 $$ P''(x)=48x^2-18x+4$$
\item {\footnotesize Dresser le tableau de signe de $P''$, puis en déduire le tableau de variation de $P'$.}\\
Le discriminant  $\Delta=-444$ de $P''$ étant négatif on en déduit que :
$$ \forall x \in \R, P''(x)>0$$
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{2.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$P''(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$P'(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Les limites sont justifiées à la question suivante.
\item {\footnotesize Déterminer les limites de $P'$ en $+\infty$ et en $-\infty$, en déduire que l'équation $P'(x)=0$ admet exactement une solution $\alpha_1$ dans $\R$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.}\\
On a pour tout $x\neq 0$ :
$$ P'(x)=x^3\left(16-\dfrac{9}{x}+\dfrac{4}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}\right)$$
$\lim\limits_{x\to \pm \infty}16-\dfrac{9}{x}+\dfrac{4}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}=16$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} x^3=+\infty$, d'où par produit :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} P'(x)=+\infty$$
et de $\lim\limits_{x\to -\infty}x^3=-\infty$ on déduit, toujours par produit que :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} P'(x)=-\infty$$
$P'$ étant une fonction polynôme elle est continue sur $\R$, de plus elle est strictement croissante sur $\R$ et compte tenu du résultat des limites, l'équation $P'(x)=0$ admet d'après le corollaire du TVI exactement une solution dans $\R$ qui est approximativement :
$$ \alpha_1\simeq 0,4$$
\item {\footnotesize En déduire le tableau de signe de $P'$ puis le tableau de variation de $P$.}
\\
$P'$ est une fonction strictement croissante sur $\R$ telle que $P(\alpha_1)=0$ on a par conséquent :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$\alpha_1$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$P'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur, \lignef);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite, \lignef);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item {\footnotesize Calculer les limites de $P$ en $+\infty$ et en $-\infty$, en déduire que $P(x)>0, \qquad \forall x\in\R$.}\\
On a pour tout $x\neq 0$ :
$$ P(x)=x^4\left(4-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{x^4}\right)$$
Or, $\lim\limits_{x \to \pm \infty}4-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{x^4}=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to \pm\infty} x^4=+\infty$ d'où par produit :
$$ \lim\limits_{x\to \pm\infty}P(x)=+\infty $$
Ainsi on obtient le tableau de variation de $P$ :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$\alpha_1$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$P'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$P(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$P(\alpha_1)$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
$P$ est strictement décroissante sur $]-\infty;\alpha_1]$ puis strictement croissante sur $[\alpha_1;+\infty[$ elle admet donc un minimum en $\alpha_1$ et on a :
$$ \forall x\in \R, \qquad P(x)\geq P(\alpha_1)>0$$
\item {\footnotesize Conclure}.\\
On vient de démontrer que $\forall x\in \R, \quad P(x)>0$, par conséquent il n'existe aucun réel $x$ tel que $P(x)=0$. Le polynôme $P$ n'admet donc aucune racine dans $\R$.
\item \begin{footnotesize}
On considère le polynôme $Q$ définie sur $\R$ par :
$$ Q(x)=\dfrac{4}{5}x^5-\dfrac{3}{4}x^4+\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+x-1$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer que $Q'(x)=P(x)$.}
\\
$Q$ est une fonction polynôme donc $Q$ est dérivable sur $\R$ et on a pour tout réel $x$ :
$$ Q'(x)=5\times \dfrac{4}{5}x^4-4\times \dfrac{3}{4}x^3+3\times \dfrac{2}{3}x^2-2\times \dfrac{1}{2}x+1=4x^4-3x^3+2x^2-x+1=P(x)$$
\item {\footnotesize En déduire que l'équation $Q(x)=0$ admet exactement une solution dans $\R$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.}
\\
On connaît le signe de $Q'$, par conséquent on en déduit son tableau de variation :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{2.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$Q'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$Q(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Pour obtenir $\lim\limits_{x\to -\infty} Q(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} Q(x)=+\infty$ on procède comme précédemment en factorisant par $x^5$.
\\
$Q$ est une fonction polynôme donc continue sur $\R$ et strictement croissante sur $\R$, $0$ est compris dans l'intervalle $]-\infty;+\infty[$ on en déduit d'après le TVI que l'équation $Q(x)=0$ admet une unique solution dans $\R$ qui vaut approximativement :
$$ \alpha\simeq 0,9$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill $ \spadesuit \spadesuit \spadesuit \spadesuit$\\}
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
$f(x)=\dfrac{x^3-4}{x^2+1}$ et on note $\mathscr C$ sa courbe représentative
dans un repère orthonormé d'unité 1cm. 
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On pose
$g(x)=x^3+3x+8$.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
\'Etudiez le sens de variation de $g$
et montrez que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\R$ une unique
solution $\alpha$ dont vous donnerez un encadrement d'amplitude
$10^{-2}$. \footnote{emploi classique du corollaire du TVI.}
\end{footnotesize}
$g$ est une fonction polynôme donc $g$ est dérivable sur $\R$ et on a :
$$ g'(x)=3x^2+3x=x(3x+1)$$
$g'$ admet deux racines évidentes $0$ et $-\dfrac{1}{3}$ d'où :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{6.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$0$};
\node at (4*\Lrg,0) {$-\dfrac{1}{3}$};
\node at (6*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$g'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (5*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (6*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$g(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$8$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$7-\dfrac{1}{27}$};
\node (f4) at (6*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
\draw[fleche] (f3) -- (f4);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
En effet $g(0)=8$ et $g\left(-\dfrac{1}{3}\right)=7-\dfrac{1}{27}$.
\\
De plus pour $\lim\limits_{x\to -\infty}x^3=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty}3x+8=-\infty$ d'où par addition :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty}g(x)=-\infty$$
De même pour $\lim\limits_{x\to +\infty}x^3=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}3x+8=+\infty$ d'où par addition :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=+\infty$$
\item {\footnotesize Précisez le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.}\\
Premièrement $g$ est une fonction continue sur $\R$ en tant que fonction polynôme, deuxième elle est strictement monotone sur $\R^-$ et troisièmement $0<8$, d'après le corollaire du TVI l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution que nous nommerons $\alpha$ sur l'intervalle $\R^-$. \\
Sur $\R^+$, $g$ admet un minimum qui est strictement positif, donc $g(x)>0$ pour $x>0$ ce qui donne :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$\alpha$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$g(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
% Ligne de la fonction : f(x)
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur, \lignef);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite, \lignef);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  \begin{footnotesize}
\'Etudiez les limites de $f$ en $-\infty$ et
$+\infty$. 
\end{footnotesize}
\\
Pour tout $x\neq 0$ on a :
$$ f(x)=\dfrac{x^3\left(1\dfrac{4}{x^3}\right)}{x^2\left(1+\dfrac{1}{x^3}\right)}=x\dfrac{1-\frac{4}{x^3}}{1+\frac{1}{x^3}}$$
Puisque $\lim\limits_{x\to \pm \infty} dfrac{1-\frac{4}{x^3}}{1+\frac{1}{x^3}}=1$ $f$ admet les mêmes limites que $x$ en $\pm \infty$ i.e :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty\qquad \text{et}\qquad \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$$
\item \begin{footnotesize}
Montrez que pour tout $x\in \R$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{xg(x)}{(x^2+1)^2}$$
\end{footnotesize}
$f$ est une fonction rationnelle donc $f$ est dérivable sur son ensemble de définition, ici $\R$, par conséquent pour tout $x\in \R$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{3x^2(x^2+1)-2x(x^3-4)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{3x^4+3x^2-2x^4+8x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{x^4+3x^2+8x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{xg(x)}{(x^2+1)^2}$$
\item \begin{footnotesize}
Dressez le tableau de
variation de $f$.
\end{footnotesize}
\\
Pour tout $x\in \R$ $(x^2+1)^2>0$ donc $g'$ est du signe du numérateur d'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\alpha}&&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{x}&&&\tx{-}&&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{g(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&&\tx{+}&&\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)}&\txb{-\infty}&\fm&\txh{f(\alpha)}&\fd&\txb{-4}&\fm&\txh{+\infty}\cr
}$$
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Déterminez les abscisses des
point $B$ et $B'$ de $\mathscr C$ admettant une tangente parallèle à
$\Delta : y=x$.\footnote{deux droites parallèles ont le même coefficient
directeur...}\\
Le coefficient directeur de $\Delta$ est $1$, celui d'une tangente en un point de $\mathscr C$ d'abscisse $a$ est $f'(a)$. Par conséquent $\mathscr C$ admet une tangente parallèle à $\Delta$ si et seulement si $f'(a)=1$.
$$ f'(a)=1\Longleftrightarrow \dfrac{ag(a)}{(a^2+1)^2}=1\Longleftrightarrow ag(a)=(a^2+1)^2\Longleftrightarrow ag(a)=a^4+2a^2+1$$
Et puis $g(a)=a^3+3a+8$ on obtient :
$$ a^4+3a^2+8a=a^4+2a^2+1\Longleftrightarrow a^2+8a-1=0$$
$\Delta=64+4=68$ d'où deux racines :
$$ \beta=\dfrac{8-\sqrt{68}}{2}=-4-\sqrt{17}\qquad \text{et}\qquad \beta'=\dfrac{8+\sqrt{68}}{2}=-4+\sqrt{17}$$
L'abscisse de $B$ est $-4-\sqrt{17}$ et celle de $B'$ est $-4+\sqrt{17}$.
\end{footnotesize}
\item \begin{enumerate}
\item  \begin{footnotesize}
Vérifiez que $f(\alpha)=\dfrac{3\alpha}{2}$.
Déduisez en une valeur approchée de $f(\alpha)$.\footnote{utilisez le
fait que $g(\alpha)=0$.}
\end{footnotesize}
\\
Montrons que $f(\alpha)-\dfrac{3}{2}\alpha=0$ :
$$ f(\alpha)-\dfrac{3}{2}\alpha=\dfrac{\alpha^3}-4{\alpha^2+1}-\dfrac{3}{2}\alpha$$
Ce qui donne :
$$f(\alpha)-\dfrac{3}{2}\alpha=\dfrac{\alpha^3-4}{\alpha^2+1}-\dfrac{3\alpha}{2}=\dfrac{2\alpha^3-8-3\alpha(\alpha^2+1)}{2(\alpha^2+1)}=\dfrac{2\alpha^3-8-3\alpha^3-3\alpha}{2(\alpha^2+1)}=\dfrac{-\alpha^3-3\alpha-8}{2(\alpha^2+1)} $$
Or, $g(\alpha)=0$ par définition de $\alpha$ d'où :
$$ \alpha^3+3\alpha+8=0\Longleftrightarrow -\alpha^3=3\alpha+8$$
Ainsi :
$$ f(\alpha)-\dfrac{3}{2}\alpha=\dfrac{3\alpha+8-3\alpha-8}{2(\alpha^2+1)}$$
Ainsi on a bien :
$$ f\left(\alpha\right)=\dfrac{3\alpha}{2}$$
\item \begin{footnotesize}
Tracez $\Delta$, $\mathscr C$ ainsi que les
points $B$, $B'$ et $M$, $N$, $P$ d'abscisses respectives 1,
2 et $-1$, sans oublier les cinq tangentes en ces points.
\end{footnotesize}\\
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{dm9.eps}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}% }


\end{document}
