\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du devoir maison 8}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Continuit\'e et TVI.}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

\textbf{Tout élève en fera pour au moins deux $\spadesuit \spadesuit$ .}


\begin{exoi}\hfill $ \spadesuit $\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l}  x^2-a \qquad \qquad \text{si } x\leq 2\\ 5-x \qquad \qquad \text{si } x>2\end{array} \right.$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Justifier que la fonction $f$ est continue sur $\R\textbackslash \{2\}$}\\
Sur l'intervalle $]-\infty; 2[$, $f$ est une fonction polynôme donc $f$ y est continue.
\\
Sur l'intervalle $]2;+\infty[$ $f$ est une fonction affine donc $f$ y est continue.\\
Au final $f$ est continue sur $\R\textbackslash \{2\}$, subsiste un doute sur la continuité de $f$ en $2$.
\item {\footnotesize Déterminer $a$ pour que $f$ soit continue en $2$.}\\
$f$ est continue en $2$ si et seulement si :
$$ \lim\limits_{x\to 2} f(x)=f(2)$$
Or, $f(2)=4-a$. Pour calculer la limite en $2$ on doit distinguer deux cas :
\begin{itemize}
\item Si $x>2$ alors $\lim\limits_{x\to 2^+} f(x)=\lim\limits_{x\to 2^+}  5-x=1$.
\item Si $x\leq 2$ alors $\lim\limits_{x\to 2^-} f(x)=\lim\limits_{x\to 2^-}  x^2-a=4-a$.
\end{itemize}
$ \lim\limits_{x\to 2} f(x)$ existe si et seulement si $$ \lim\limits_{x\to 2^+} f(x)=\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) \Longleftrightarrow 1=4-a\Longleftrightarrow a=3$$
Dans ce cas on a bien $f(2)=4-3=1$ tout comme la limite de $f$ en $2$.\\
\textbf{Conclusion} : $f$ est continue en $2$ si et seulement si $a=3$.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
\noindent \textbf{Partie A : Une fonction auxiliaire}\hfill $ \spadesuit $\\
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
%$$g(x)=-3x^3+4x+8$$
$$g(x)=-14x^3+21x^2+8$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
 \item Calculer les limites de $g$ en $-\infty$ et $+\infty$
 \\
 En $-\infty$ on a une forme indéterminée, pour montrer que le terme au cube va \og gagner \fg on factorise par $x^3$ et pour $x\neq 0$ on a :
 $$ g(x)=x^3\left(-14+\dfrac{21}{x}+\dfrac{8}{x^3}\right)$$
 Au final $ \lim\limits_{x\to \pm \infty} -14+\dfrac{21}{x}+\dfrac{8}{x^3}=-14$ et $\lim\limits_{x\to -\infty}x^3=-\infty$.\\
 Par produit on obtient :
 $$ \lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=+\infty$$
 De même comme $\lim\limits_{x\to +\infty}x^3=+\infty$ on a par produit :
 $$ \lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$$
 \item {\footnotesize Etudier les variations de la fonction $g$.}\\
 On dérive $g$ et on a pour tout $x\in \R$ :
 $$ g'(x)=-42x^2+42x=x(-42x+42)$$
 Ce polynôme admet deux racines évidentes $0$ et $1$, inutile donc de caculer le discriminant et on obtient :
 %:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{6.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$0$};
\node at (4*\Lrg,0) {$1$};
\node at (6*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$g'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (5*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (6*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$g(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$8$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$15$};
\node (f4) at (6*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
\draw[fleche] (f3) -- (f4);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Remarquons que $g(0)=8$ et $g(1)=15$.
 \item {\footnotesize Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $g(\alpha)=0$.  Donner un encadrement de $\alpha$ à  $0.01$ près.}
 \\
 D'après le tableau de variation précédent, pour tout $x\in ]-\infty;1]$ on a :
 $$ g(x)\geq 8\Longrightarrow g(x)>0$$
 Autrement dit l'équation $g(x)=0$ n'admet pas de solution sur l'intervalle $]-\infty;1]$.\\
 Sur l'intervalle $[1;+\infty[$ :
 \begin{itemize}
 \item $g$ est une fonction polynôme donc continue.
 \item $g(1)=15$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$
 \item $g$ est strictement décroissante.
 \end{itemize}
 D'après le corollaire du TVI l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution dans l'intervalle $[1;+\infty[$.\\
 Enfin puisque $g(1,6)>0$ et $g(1,8)<0$ on a $\alpha \simeq 1,7$.
 \item {\footnotesize En déduire le signe de $g$ sur $\R$.\\}
 Sur l'intervalle $]-\infty;1]$ on a vu que $g(x)>0$.\\
 Sur l'intervalle $[1;\alpha]$ $g$ est strictement décroissante et $g(\alpha)=0$, donc pour tout $x\in ]-\infty;\alpha]$ on a $g(x)\leq 0$.\\
 Enfin puisque $g$ est décroissante sur $[1;+\infty[$ et $g(\alpha)=0$ on a pour $x>\alpha$ $g(x)<0$ ce qui donne :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{6.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$\alpha$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
\node at (6*\Lrg,0) {$ $};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$g(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$  $};
\node at (6*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur, \lignef);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite, \lignef);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Partie B : Etude d'une fonction}\hfill $  \spadesuit\spadesuit $\\
\begin{footnotesize}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$
%$\R^*$ 
par : 
%$$f(x)=\dfrac34x+1+\dfrac1x+\dfrac1{x^2}$$
$$f(x)=(x^3-1)(7-2x)^4$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Etudier les limites de $f$  en $-\infty$ et $+\infty$}\\
 %aux bornes de son ensemble de dÃ©finition.\\
 %En dÃ©duire la prÃ©sence d'une asymptote Ã  la courbe reprÃ©sentative de $f$, dont on prÃ©cisera l'Ã©quation.
 On a $ \lim\limits_{x\to -\infty} 7-2x=+\infty$, or $\lim\limits_{X\to +\infty } X^4=+\infty$, par conséquent :
 $$ \lim\limits_{x\to -\infty} (7-2x)^4=+\infty \qquad \text{et}\qquad \lim\limits_{x\to -\infty} x^3-1=-\infty$$
 Par produit il vient :
 $$ \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$$
 On a $ \lim\limits_{x\to +\infty} 7-2x=-\infty$, or $\lim\limits_{X\to -\infty } X^4=+\infty$, par conséquent :
 $$ \lim\limits_{x\to +\infty} (7-2x)^4=+\infty \qquad \text{et}\qquad \lim\limits_{x\to +\infty} x^3-1=+\infty$$
 Par produit il vient :
 $$ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$$
 \item \begin{footnotesize}
 Montrer que $f'(x)=(7-2x)^3\times g(x)$ pour tout $x\in\R$.
 %$f'(x)=-\dfrac{g(x)}{4x^3}$
 \end{footnotesize}\\
 Voici une question bien désagréable quand on ne connaît pas la dérivée de $u^n$. Il faut donc modifier l'expression de $f(x)$.
 $$f(x)=(x^3-1)(7-2x)^2(7-2x)^2=(x^3-1)(49-28x+4x^2)(49-28x+4x^2)$$
 Ainsi $$ f(x)=(x^3-1)(49^2-1372x+196x^2-1372x+784x^2-112x^3+196x^2-112x^3+16x^4)$$
Et enfin :
$$ f(x)=(x^3-1)(16x^4-224x^3+1176x^2-2744x+49^2)$$
Cette fonction est de la forme $uv$ avec $u(x)=x^3-1$ et $u'(x)=3x^2$ puis avec $v(x)= 16x^4-224x^3+1176x^2-2744x+49^2$ et $v'(x)=64x^3-672x^2+2352x-2744$. \\
On a alors pour tout $x\in \R$ :
$$ f'=u'v+uv'\Longleftrightarrow f'(x)=3x^2(16x^4-224x^3+1176x^2-2744x+49^2)+(x^3-1)(64x^3-672x^2+2352x-2744)$$
Fatigué de ces calculs peu enrichissant vérifions sur une calculatrice en lui demander de dévolopper l'expression que l'on doit trouver et celle que l'on a trouvé :
$$ (x^3-1)g(x)=112x^6-1344x^5+5880x^4-11040x^3+7875x^2-2352x+2744$$
Et on a trouvé (toujours avec une calculatrice) :
$$ f'(x)=112x^6-1344x^5+5880x^4-11040x^3+7875x^2-2352x+2744$$
C'est bon donc pour tout $x\in \R$ on a :
$$ f'(x)=(x^3-1)g(x)$$
 \item {\footnotesize Déterminer le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$ et dresser le tableau de variations de $f$ ?}\\
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
 Ce tableau de signe résume et la recherche de signe de $f'$ et les variations de $f$.
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{1}&&\tx{\alpha}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{x^3-1}&&\tx{-}&\tx{0}&&\tx{+}&&\cr
\tx{g(x)}&&&\tx{+}&&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)}&\txh{+\infty}&\fd&\txb{0}&\fm&\txh{f(\alpha)}&\fd&\txb{-\infty}\cr
}$$
 \item \begin{footnotesize}
 Combien l'équation $f(x)=12$ possède-t-elle de solutions sur $\R$ ?\\
 \textit{On ne demande pas de les déterminer}.\\
 Tout d'abord $f(\alpha)\simeq 650$. Une observation rapide du tableau de variation permet de déduire que cette équation admet exactement 3 solutions.\\
 \begin{itemize}
 \item $f$ est continue sur $\R$ puisqu'il sagit d'une fonction polynôme.
 \item $f$ est strictement monotone sur chacun des intervalles $I_1]-\infty; 1]$, $I_2=[1;\alpha]$ et $I_3=[\alpha ;+\infty[$.
 \item Enfin $12>0$ (pour le premier intervalle), $12$ est entre $0$ et $f(\alpha)$ pour le second et $12<f(\alpha)$ pour le troisième.
 \end{itemize}
 On en déduit d'après le corollaire du TVI que l'équation $f(x)=12$ admet exactement une solution sur chacun des trois intervalle $I_1$, $I_2$ et $I_3$. Par conséquent $f(x)=12$ admet exactement trois solutions.
 \end{footnotesize}
\end{enumerate}

\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill $ \spadesuit  \spadesuit  \spadesuit  \spadesuit$\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$\left\{ \begin{array}{l} f(x)=x^2(2-x)\qquad \text{si}\qquad x\in[0;2[ \\ f(2+x)=f(x)\qquad \forall x\in\R  \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Sur $[0;2[$ la fonction $f$ est une fonction polynôme, elle est donc continue. De plus pour $x=2$ on a :
$$ \limd{2} f(x)=f(0)=0$$
et 
$$ \limg{2} f(x)=f(2)=0$$
Par conséquent on a :
$$ \Lim{2} f(x)=f(2)=0$$
ce qui prouve que la fonction $f$ est continue en $2$.\\
Au final $f$ est continue sur $[0;2]$
\item Pour tout $x\in [0;2]$ on  a
$f'(x)=2x(2-x)-x^2=x(4-2x-x)=x(4-3x)$
$$f'(x)=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou} \qquad 4-3x=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{4}{3}$$
On en déduit le tableau de variation de $f$ :
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1,$fâ€™(x)$/1,$f$/2}{$0$,$ \dfrac{4}{3}$,$ 2$}% 
\tkzTabLine{ z, + , z , - , }% 
\tkzTabVar{-/ $ 0$ , +/ $ \dfrac{32}{27}$, -/$0 $ } 
\end{tikzpicture} 
\\
cf ci-dessous pour la courbe.
\item On peut en déduire la représentation graphique de $f$ sur l'intervalle $[2n;2n+2]$ où $n\in\Z$ par translation de vecteur $ 2n\vec{i}$ de la représentation graphique de $f$ sur $[0;2]$ 
\end{enumerate}
\item Si $x\in[2n;2n+2]$ alors $x-2n \in [0;2]$ et :
$$ f(x-2n)=(x-2n)^2(2-x+2n)=(x-2n)^2(2n+2-x)$$
Montrons que $f(x)=f(x-2n)$ pour tout $x\in\R$\\
Par récurrence notons $\mathscr P(n)$ : $f(x)=f(x-2n)$
\begin{itemize}
\item pour $n=0$ la propriété $\mathscr P$ est trivialement vraie.
\item Supposons que $\mathscr P$ soit vraie au rang $n$ et montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$\\
On a donc $f(x-2n)=f(x)$ pour tout $x\in\R$, or on a $f(x+2)=f(x)$ pour tout $x\in\R$, donc on a $f(x-2)=f(x)$ en appliquant la formule précédente pour $x-2$ donc :
$$ f(x-2n-2)=f(x-2n)=f(x)\Longleftrightarrow f(x-2(n+1))=f(x)$$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$, ainsi pour tout $x\in[2n;2n+2]$ avec $n\in\N$ on a $$ f(x)=(x-2n)^2(2-x+2n)$$
\end{itemize}
Si $n\leq 0$ alors posons $m=-n\in\N$ et montrons, par récurrence la propriété $\mathscr P'(n)$ :
$$ f(x+2m)=f(x)$$
\begin{itemize}
\item pour $m=0$ la propriété $\mathscr P'$ est trivialement vraie.
\item Supposons que $\mathscr P'$ soit vraie au rang $m$ et montrons que $\mathscr P'$ est vraie au rang $m+1$\\
$$ f(x+2m+2)=f(x+2m)=f(x)$$
La propriété $\mathscr P'$ est donc vraie au rang $m+1$\\
Par conséquent on a, pour tout $x\in\R$ et pour tout $n\leq 0$ :
$$ f(x-2n)=f(x+2m)=f(x)$$
\end{itemize}
 Pour résumé si $x\in[2n;2n+2]$, alors $$ f(x)=(x-2n)^2(2n+2-x)$$
\item En raisonnant comme en $1.a$, puisque $f$ est une fonction polynôme $f$ est continue sur tout intervalle de la forme $[2n;2n+2[$, de plus pour $x=2n$
$$ \limd{2n} f(x)=0$$
et 
$$ \limg{2n} f(x)=0$$
Par conséquent on a :
$$ \Lim{2n} f(x)=0=f(2n)$$
Ainsi $f$ est continue sur $\R$
\end{enumerate}
\end{exoi}



\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=3cm , yunit=3cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(2.1,2.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{2} \def\ymin{-1} \def\ymax{2}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-1.1,-1.1)(2.1,2.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psset{xunit=3cm,yunit=3cm}
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}
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\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{document}