\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du devoir maison 6}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{A la conqu\^ete de l'espace}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les trois suivants.}




%\begin{exoi}\textbf{}\hfill$ \spadesuit\spadesuit$
%\begin{multicols}{2}
%$ABCD$ est un tétraèdre. \\
%$E$ est le symétrique de $A$ par rapport à $C$,\\ 
%$F$ est le point tel que $BCFE$ est un 
%parallélogramme, \\
%$G$ est le point tel que $ADFG$ est un parallélogramme. \\
%On se place dans le repère $\left(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{AD} \right)$.
%\begin{enumerate}
%  \item Pourquoi $\left(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{AD} \right)$ est-il un repère de l'espace ? 
% \item Donner les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $D$.
%  \item Déterminer les coordonnées des points $E$, $F$ et $G$.\\
%\textbf{ \textit{Justifier un minimum}.}
% \item Démontrer que $B$, $G$, $C$ et $D$ sont coplanaires.
% \item En déduire la position relative de $G$ et du plan $(BCD)$.
%\end{enumerate}
%\begin{center}
% \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
%\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.8cm}
%\begin{pspicture*}(-0.5,-5.5)(6.5,4.5)
%\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](2,4)(0,1)(2,0)(6,1)
%\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,1)(2,0)(4,-5)(2,-4)
%\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](2,4)(6,1)(4,-5)(0,-2)
%\psline[linecolor=zzttqq](2,4)(0,1)
%\psline[linecolor=zzttqq](0,1)(2,0)
%\psline[linecolor=zzttqq](2,0)(6,1)
%\psline[linecolor=zzttqq](6,1)(2,4)
%\psline(2,4)(2,0)
%\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0,1)(6,1)
%\psline[linecolor=zzttqq](0,1)(2,0)
%\psline[linecolor=zzttqq](2,0)(4,-5)
%\psline[linecolor=zzttqq](4,-5)(2,-4)
%\psline[linecolor=zzttqq](2,-4)(0,1)
%\psline[linecolor=zzttqq](2,4)(6,1)
%\psline[linecolor=zzttqq](6,1)(4,-5)
%\psline[linecolor=zzttqq](4,-5)(0,-2)
%\psline[linecolor=zzttqq](0,-2)(2,4)
%\psline(2,0)(2,-4)
%\begin{scriptsize}
%\rput[bl](2.04,4.1){\blue{$A$}}
%\rput[bl](-0.25,1.03){\blue{$B$}}
%\rput[bl](2.2,-0.35){\blue{$C$}}
%\rput[bl](6.05,1.07){\blue{$D$}}
%\rput[bl](1.7,-4.25){\blue{$E$}}
%\rput[bl](4.15,-5.17){\blue{$F$}}
%\rput[bl](-0.3,-2.11){\blue{$G$}}
%\end{scriptsize}
%\end{pspicture*}
%\end{center} 
%\end{multicols}
%\end{exoi}


\begin{exoi} \hfill $ \spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
Dans un repère de l'espace, on donne des représentations paramétriques des droites suivantes :
$$d_1:\left\{\begin{array}{l}
             x=-1+3t \\y=1-3t \\ z=2t 
            \end{array}\right. , t\in\R \qquad \text{ et } \qquad d_2:\left\{\begin{array}{l}
             x=-4-3t \\y=9-2t \\ z=-5+t 
            \end{array}\right. , t\in\R$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
 %\item \begin{enumerate}
 %       \item Donner deux vecteurs directeurs de $d_1$.
 %       \item  Donner deux points $A$ et $B$ de la droite $d_1$.
 %        \item \textbf{Bonus : }A votre avis, que faut-il changer dans la représentation paramétrique de la droite $(AB)$ (ie $d_1$) pour décrire le 
 %        segment $[AB]$ ?
 %      \end{enumerate}
  \item {\footnotesize Le point $A(17;23;-12)$ appartient-il à $d_1$ ? appartient-il à $d_2$ ?}\\
  Déterminons la valeur du paramètre $t$ de $d_1$ qui donne une abscisse égale à $17$ :
  $$ 17=-1+3t\Longleftrightarrow 3t=18\Longleftrightarrow t=6$$
  Pour $t=6$, on obtient :
  $$ y=1-3\times 6=-17\qquad \text{et} \qquad z=-12$$
  L'ordonnée de $A$ n'est pas égale à $-17$ donc $A\notin d_1$.\\
    Déterminons la valeur du paramètre $t$ de $d_2$ qui donne une abscisse égale à $17$ :
$$ 17=-4-3t\Longleftrightarrow 21=-3t\Longleftrightarrow t=-7$$
Pour $t=-7$ on obtient :
$$ y=9+2\times 7=9+14=23\qquad \text{et} \qquad z=-5-7=-12$$
Les coordonnées du point $A$ sont obtenues en choisissant $t=-7$, par conséquent $A\in d_2$.
  \item {\footnotesize Donner une représentation paramétrique de la droite $d_3$ passant par $B(1;-2;3)$ et parallèle à $d_1$.}\\
  Puisque $d_3$ est parallèle à $d_1$ tout vecteur directeur de $d_1$ est aussi un vecteur directeur de $d_3$, par conséquent $d_3$ est dirigée par le vecteur $\vec u(3;-3;2)$.
  $$ M(x;y;z)\in d_3\Longleftrightarrow \exists t\in \R, \overrightarrow{BM}=t\vec u\Longleftrightarrow \exists t\in \R, \left\{\begin{array}{l}
             x-1=3t \\y+2=-3t \\ z-3=2t 
            \end{array}\right.$$
   Une représentation paramétrique de $d_3$ est alors :
   $$ \left\{\begin{array}{l}
             x=3t+1 \\y=-3t-2 \\ z=2t+3 
            \end{array}\right.,\qquad t\in\R$$
  \item {\footnotesize Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.\\}
  $\overrightarrow{AB}(-16;-25;15)$ dirige $(AB)$, par conséquent :
  $$ M(x;y;z)\in (AB)\Longleftrightarrow \exists t \in \R, \overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}\Longleftrightarrow \exists t\in \R \left\{\begin{array}{l}
             x-17=-16t \\y-23=-25t \\ z+12=15t 
            \end{array}\right.$$
            Une représentation paramétrique de $(AB)$ est :
            $$ \left\{\begin{array}{l}
             x=-16t+17 \\y=-25t+23 \\ z=15t-12 
            \end{array}\right.,\qquad t\in\R$$
 {\footnotesize A votre avis, que faut-il changer dans la représentation paramétrique de la droite $(AB)$ pour décrire le segment $[AB]$ ?}\\
 Reprenons la démonstration précédente :
 $$ M(x;y;z)\in (AB)\Longleftrightarrow \exists t\in \R, \overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$$
 Si on veut décrire le segment $[AB]$ cela devient :
 $$ M(x;y;z)\in [AB]\Longleftrightarrow \exists t\in [0;1], \overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$$
 Les points du segment $[AB]$ sont donc obtenus pour une valeur de $t$ comprise entre $0$ et $1$.
       %  \item Donner un troisième point $C$ de la droite $(AB)$.
      \item {\footnotesize Déterminer la position relative de $d_1$ et $d_2$.\\}
    \begin{footnotesize}
    \textbf{\textit{On précisera les coordonnées de leur point d'intersection 
    s'il existe}.}
    \end{footnotesize}\\
    $d_1$ est dirigée par le vecteur $\vec{u_1}(3;-3;2)$ et $d_2$ est dirigée par le vecteur $\vec{u_2}(-3;-2;1)$. Pour passer de $x_{\vec{u_1}}$ à $x_{\vec{u_2}}$ on multiplie par $-1$ et pour passer de $z_{\vec{u_1}}$ à $z_{\vec{u_2}}$ on multiplie par $0,5$, autrement dit il n'existe pas de réel $t$ tel que :
    $$ \vec{u_2}=t\overrightarrow{u_1}$$
    Les vecteurs $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{u_2}$ ne sont pas colinéaires donc les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.\\
    $$ M(x;y;z)\in d_1\cap d_2 \Longleftrightarrow \exists t\in \R \text{ et } t'\in \R, \left\{\begin{array}{l}
             x=-1+3t =-4-3t'\\y=1-3t=9-2t' \\ z=2t=-5+t' 
            \end{array}\right. 
    $$ 
    Nous sommes conduits à résoudre un système linéaire à trois équation et deux inconnues. \\
    Résolvons les deux premières équations :
    $$\left\{\begin{array}{l}
             -1+3t =-4-3t'\\1-3t=9-2t' 
            \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
             3t+3t' =-3\\-3t+2t'=8
            \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
             3t+3t' =-3\\5t'= 5
            \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
             t+t' =-1\Rightarrow t=-2\\t'= 1\end{array}\right.$$
            %   \item Donner une représentation paramétrique de la droite $(MN)$.
            Enfin testons la troisième égalité avec $t=-2$ et $t'=1$ :\\
            $2\times (-2)=-4$ et $-5+1=-4$.\\
            La troisième égalité est satisfaite, par conséquent$d_1$ et $d_2$ sont sécantes en un point $S$ qui a pour coordonnées :
            $$ S(-1-6;1+6;-4)\Longleftrightarrow S(-7;7;-4)$$
\end{enumerate}
\end{exoi}
\pagebreak
\begin{exoi} \textbf{} \hfill $ \spadesuit \spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
Dans un repère de l'espace, on considère les points suivants :
$$A(-2;2;-1) \quad\quad B(2;0;3) \quad\quad C(-2;0;0) \quad\quad D(0;-4;1) \quad\quad E(-2;-1;-2)$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Vérifier que $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.}\\
 $A$, $B$ et $C$ définissent un plan si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont non colinéaires.\\
 $\overrightarrow{AB}(4;-2;4)$ et $\overrightarrow{AC}(0;-2;1)$.
 \\
 Pour passer de $x_{\overrightarrow{AB}}$ à $x_{\overrightarrow{AC}}$ on multiple par $0$, en revanche on a $y_{\overrightarrow{AB}}=y_{\overrightarrow{AC}}$, par conséquent il n'existe aucun réel $t$ tel que $\overrightarrow{AB}=t\overrightarrow{AC}$. On en déduit que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires. \\
 $(ABC)$ est un plan.
 \item \begin{enumerate}
  \item  {\footnotesize Montrer que $\overrightarrow{DE}$ est colinéaire au vecteur $-\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}$.}\\
  $\overrightarrow{DE}(-2;3;-3)$ et $-\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}(-4+2\times 0;2+2\times 2;-4-2\times 1)$ i.e $-\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}(-4;6;-6)$.\\
  Au final on a :
  $$ \overrightarrow{DE}=\dfrac{1}{2}\left(-\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\right)$$
  On vient de démontrer que $\overrightarrow{DE}$ et $-\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
  \item {\footnotesize Que peut-on en déduire pour les vecteurs $\overrightarrow{DE}$, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ?}\\
  D'après la question précédente :
  $$ \overrightarrow{DE}=\dfrac{1}{2}\left(-\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\right)=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$$
  On vient de démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{DE}$, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$  sont coplanaires.
 \item {\footnotesize Que peut-on en déduire sur la droite $(DE)$ et le plan $(ABC)$ ?}\\
 Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ forment un couple de vecteurs directeurs du plan $(ABC)$ et $\overrightarrow{DE}$ est un vecteur coplanaire à ce couple de vecteurs, on en déduit donc que :
 $$ (DE)//(ABC)$$
 \end{enumerate} 
  \item \begin{enumerate}
         \item {\footnotesize Le point $E$ appartient-il au plan $(ABC)$ ?\\}
         {\footnotesize \textit{On pourra regarder si les points $A$, $B$, $C$ et $E$ sont coplanaires}}\\
         Les points $A$, $B$, $C$ et $E$ sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels $t$ et $t'$ tels que :
         $$ \overrightarrow{AE}=t\overrightarrow{AB}+t'\overrightarrow{AC}$$
         On doit donc résoudre le système suivant (on rappelle que $\overrightarrow{AB}(4;-2;4)$,  $\overrightarrow{AC}(0;-2;1)$ et $\overrightarrow{AE}(0;-3;-1)$) :
         $$ \left\{\begin{array}{l}
            0 =4t+0t'\\-3=-2t-2t'\\-1=4t+t'
            \end{array}\right.\Longleftrightarrow  \left\{\begin{array}{l}
            0 =4t\\-3=-2t-2t'\\-1=4t+t'
            \end{array}\right. \Longleftrightarrow  \left\{\begin{array}{l}
            t=0\\-3=-2t'\\-1=t'
            \end{array}\right.\Longleftrightarrow  \left\{\begin{array}{l}
            t=0\\t'=1,5\\t'=-1
            \end{array}\right.$$
            Le système n'admet aucun couple solution puisqu'il est impossible d'avoir en même temps $t'=-1$ et $t'=1,5$, par conséquent il n'existe aucun couple de réels $t$ et $t'$ tels que $ \overrightarrow{AE}=t\overrightarrow{AB}+t'\overrightarrow{AC}$, ainsi les points $A$, $B$, $C$ et $E$ ne sont pas coplanaires.\\
 Par conséquent $E$ n'est pas un point du plan $(ABC)$.
  \item {\footnotesize Préciser alors votre réponse de la question \textbf{2.c)}}\\
  $(DE)$ est  strictement parallèle au plan $(ABC)$ puisque $E\notin (ABC)$.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak
\begin{exoi}\textbf{}\hfill $\spadesuit \spadesuit \spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
On donne les représentations paramétriques de droites suivantes :
$$d_1:\left\{\begin{array}{l}
             x=1+4t \\y=2-2t \\ z=1+t 
            \end{array}\right. , t\in\R  \quad \quad
            d_2:\left\{\begin{array}{l}
             x=3-6t \\y=2t \\ z=2-t 
            \end{array}\right. , t\in\R \quad \quad
            d_3:\left\{\begin{array}{l}
             x=2-t \\y=-3-5t \\ z=10
            \end{array}\right. , t\in\R
             \quad \quad
            d_4:\left\{\begin{array}{l}
             x=-3-2t \\y=4+t \\ z=-\dfrac12t 
            \end{array}\right. , t\in\R
            $$
 Simone a utilisé le logiciel Xcasfr pour faire ses derniers exercices de géométrie dans l'espace.
\end{footnotesize}
 \begin{center}
   \includegraphics[scale=0.8]{Xcas.eps}
 \end{center}

\begin{footnotesize}
  Pour chaque commande entrée sur le logiciel :
 \end{footnotesize} \begin{itemize}
  \item \begin{footnotesize}
  Rédiger la question que Simone pouvait vouloir résoudre, \\
 \textbf{ \textit{Il peut y avoir plusieurs questions possibles, en donner une seule suffit.}}
   \item Répondre à cette question grâce aux résultats donnés par le logiciel.
  \end{footnotesize}\\
   \end{itemize}
  \textbf{Question 1} : \textit{Le point $A(3;1;1.5)$ appartient-il à $d_1$ ?\\}
  \textbf{Réponse 1} : En choisissant $t=\dfrac{1}{2}$ dans la représentation paramétrique de $d_1$ on obtient $x=1+2=3$, $y=2-1=1$ et $z=1+0,5=1,5$. Effectivement on en déduit que $A\in d_1$.\\
  \textbf{Question 2} : \textit{Le point $B(0;5;3$ appartient-il à $d_1$ ?\\}
  \textbf{Réponse 2} : Si tel était le cas on aurait $0=1+4t\Longleftrightarrow t=-\dfrac{1}{4}$. En remplaçant $t$ par $-\dfrac{1}{4}$ dans l'équation paramétrique de $d_1$ concernant les ordonnées on trouve $$ y=2+2\times \dfrac{1}{4}=2,5$$
  Or, $B$ n'a pas pour ordonnées $2,5$, on en déduit que $B\notin d_1$.
  \\
  \textbf{Question 3} : \textit{Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles sécantes ?\\}
  \textbf{Réponse 3} : Si un point $M(x;y;z)\in d_1\cap d_2$ alors ses coordonnées vérifient :
  $$\left\{\begin{array}{l}x=1+4t =3-6u\\y=2-2t=2u \\ z=1+t =2-u
            \end{array}\right.  $$
            Résolvons les deux premières équations de ce système :
            $$\left\{\begin{array}{l}x=1+4t =3-6u\\y=2-2t=2u 
            \end{array}\right. \Longleftrightarrow  \left\{\begin{array}{l}4t+6u=2 \\-2t-2u=-2 
            \end{array}\right.  \Longleftrightarrow  \left\{\begin{array}{l}2t+3u=1 \\-2t-2u=-2 
            \end{array}\right.  $$
            i.e
            $$  \left\{\begin{array}{l}2t+3u=1 \\u=-1 
            \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2t-3=1\Rightarrow 2t=4\Rightarrow t=2 \\u=-1             \end{array}\right.$$
            Vérifions si $t=2$ et $u=-1$ satisfont la troisième équation du système initial :
        \\
        D'une part, $1+2=3$ et d'autre part $2-(-1)=3$, ainsi $t=2$ et $u=-1$ est l'unique couple solution du système.\\
        On en déduit que les droites $d_1$ et $d_2$ sont sécantes en un point $C$ qui a pour coordonnées :
        $$ C(1+8=9; 2-4=-2;1+2=3)\Longleftrightarrow C(9;-2;3)$$
        \textbf{Question 4} : \textit{Démontrer que $d_1$ et $d_3$ ne sont pas sécantes.}\\
        \textbf{Réponse} : Si un point $M(x;y;z)\in d_1\cap d_2$ alors ses coordonnées vérifient :
  $$\left\{\begin{array}{l}x=1+4t =2-u\\y=2-2t=-3-5u \\ z=1+t =10
            \end{array}\right.  $$ 
                        Résolvons la première et la troisième  équation de ce système :
$$\left\{\begin{array}{l}4t+u =1\\ 1+t =10\Rightarrow t=9
            \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}36+u =1\Longrightarrow u=1-36=-35\\ t=9
            \end{array}\right.$$ 
     Vérifions si $u=-35$ et $t=9$ satisfont la deuxième équation du système initial   :\\
     D'une part $2-2\times 9=2-18=-16$,\\
     D'autre part $-3-5\times (-35)=-3+150+25=172$\\
     On trouve ici des résultats différents ce qui prouve que le système n'admet aucune solution, par conséquent $d_1\cap d_3=\emptyset$.\\
     \textbf{Question 5} : \textit{Montrer que $d_1=d_4$}\\
     \textbf{Réponse} : Le vecteur $\overrightarrow{u_1}(4;-2;1)$ dirige $d_1$ et le vecteur $\overrightarrow{u_4}(-2;1;-0,5)$ dirige $d_4$ ; de plus on a :
     $$ \overrightarrow{u_1} =-2\overrightarrow{u_4}$$
     $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{u_4}$ sont colinéaires, on en déduit que $d_1//d_4$.\\
     On sait d'après la question 1 que $A(3;1;1.5)\in d_1$. Vérifions que $A\in d_4$ :\\
     $3=-3-2t\Longleftrightarrow -2t=6\Longleftrightarrow t=-3$.\\
     Remplaçons $t$ par $-3$ dans les deux dernières équations de $d_4$ en espérant retrouver les coordonnées de $A$ :
     $$ y=4-3=1\qquad \text{et}\qquad z=-\dfrac{1}{2}\times (-3)=\dfrac{3}{2}$$
     On a vérifié que $A\in d_4$.\\
     Au final $d_1//d_4$ et $A$ est commun au deux droites, on en déduit que :
     $$ d_1=d_4$$
\end{exoi}


\end{document}