\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du devoir maison 5}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Repr\'esentation param\'etrique de droite}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macrodwicky.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

%\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les six suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.}

\Exoi{\hfill $\spadesuit \spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
Dans un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j ,\vec k)$ on considère les points :
$$ A(2;3;1)\quad B(4;1;0)\qquad \text{et}\qquad C(-1;1;3)$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer une équation de la sphère $\mathscr S$ de centre $A$ et de rayon $r=3$.}
$$ M(x;y;z)\in\mathscr S \Longleftrightarrow AM=r\Longleftrightarrow AM^2=9\Longleftrightarrow (x-2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=9$$
\item {\footnotesize Déterminer une représentation paramétrique du segment $[AB]$.}\\
$\overrightarrow{AB}\left(2;-2;-1\right)$ dirige le segment $[AB]$, par conséquent :
$$ M(x;y;z)\in [AB]\Longleftrightarrow \exists t \in [0;1], \overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}\Longleftrightarrow \exists t \in [0;1],  \left\{ \begin{array}{l} x-2=2t \\ y-3=-2t\\ z-1=-t  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \exists t \in [0;1],  \left\{ \begin{array}{l} x=2t+2 \\ y=-2t+3\\ z=-t+1  \end{array} \right.$$
\item 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Soit $d$ la droite parallèle à $(AB)$ qui passe par $C$. Donner un vecteur directeur de $d$ puis une représentation paramétrique de $d$.}\\
Puisque $d//(AB)$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ dirige $d$.
$$ M(x;y;z)\in d\Longleftrightarrow \exists t \in \R, \overrightarrow{CM}=t\overrightarrow{AB}\Longleftrightarrow \exists t\in\R, \left\{ \begin{array}{l} x+1=2t \\ y-1=-2t\\ z-3=-t  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \exists t \in \R,  \left\{ \begin{array}{l} x=2t-1 \\ y=-2t+1\\ z=-t+3  \end{array} \right.$$
\item {\footnotesize Déterminer les coordonnées du point $E$ de la droite $d$ qui a pour abscisse $2$.}\\
On utilise la représentation paramétrique précédente, puisque $x_E=2$ on a :
$$ 2=2t-1\Longleftrightarrow 2t=3\Longleftrightarrow t\dfrac{3}{2}$$
$E$ est obtenue pour $t=\dfrac{3}{2}$ on trouve son ordonnée et sa côte :
$$ y_E=-2\times \dfrac{3}{2}+1=-3+1=-2\qquad \text{et}\qquad z_E=-\dfrac{3}{2}+3=\dfrac{3}{2}$$
$$ E\left(2;-2;\dfrac{3}{2}\right)$$
\item {\footnotesize Déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection entre $d$ et $\mathscr S$.}
$$ M(x;y;z)\in d\cap \mathscr S\Longleftrightarrow (2t-1-2)^2+(-2t+1-3)^2+(-t+3-1)^2=9\Longleftrightarrow (2t-3)^3+(-2t-2)^2+(-t+2)^2=9$$
Au final :
$$ 4t^2-12t+9+4t^2+8t+4+t^2-4t+4=9\Longleftrightarrow 9t^2-8t+8=0$$
$\Delta=64-4\times 9\times 8<0$ cette équation n'admet pas de solution. On peut conclure que :
$$ d\cap \mathscr S=\emptyset$$
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AC)$.}
\\
La droite $(AC)$ admet $\overrightarrow{AC}\left(-3;-2;2\right)$ comme vecteur directeur.
$$ M(x;y;z)\in (AC)\Longleftrightarrow \exists t \in \R, \overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AC}\Longleftrightarrow \exists t\in\R, \left\{ \begin{array}{l} x-2=-3t \\ y-3=-2t\\ z-1=2t  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \exists t \in \R,  \left\{ \begin{array}{l} x=-3t+2 \\ y=-2t+3\\ z=2t+1  \end{array} \right.$$
\item {\footnotesize Déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection entre $(AC)$ et $\mathscr S$.}
$$ M(x;y;z)\in (AC)\cap \mathscr S\Longleftrightarrow (-3t+2-2)^2+(-2t+3-3)^2+(2t+1-1)^2=9\Longleftrightarrow 9t^2+4t^2+4t^2=9\Longleftrightarrow 17t^2=9\Longleftrightarrow t=\pm \dfrac{3}{\sqrt{17}}=\pm \dfrac{3\sqrt{17}}{17}$$
Puisque cette équation admet deux solutions il existe deux points d'intersection entre $(AC)$ et $\mathscr S$, on obtient leurs coordonnées en remplaçant $t$ par les valeurs trouvées dans la représentation paramétrique de $(AC)$. Notons $G$ et $H$ ces deux points :
$$ G\left(-3\times \dfrac{3\sqrt{17}}{17}+2;-2\times \dfrac{3\sqrt{17}}{17}+3;2\times \dfrac{3\sqrt{17}}{17}+1\right)\qquad \text{et}\qquad H\left(3\times \dfrac{3\sqrt{17}}{17}+2;2\times \dfrac{3\sqrt{17}}{17}+3;-2\times \dfrac{3\sqrt{17}}{17}+1\right)$$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On considère la droite $\Delta$ qui admet pour représentation paramétrique :
$$ \left\{ \begin{array}{l} x=3+2t \\ y=2+3t\\ z=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}t  \end{array} \right.\qquad t\in\R$$
Démontrer que le milieu $ I$ du segment $[AB]$ est un point de $\Delta$.
\end{footnotesize}
$$ I\left(\dfrac{2+4}{2};\dfrac{3+1}{2};\dfrac{1+0}{2}\right)\Longleftrightarrow I\left(3;2;\dfrac{1}{2}\right)$$
Déterminons la valeur de $t$ dans l'équation paramétrique de $\Delta$ qui donne $3$ pour abscisse :
$$ 3+2t=3\Longleftrightarrow t=0$$
En remplaçant $t$ par $0$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ on trouve :
$$x=3\quad y=2\quad \text{et}\quad z=\dfrac{1}{2}$$
Ce sont les coordonnées du point $I$ donc $I\in \Delta$.
\item {\footnotesize Déterminer l'éventuel point d'intersection entre $\Delta$ et $d$.}
\\
Le vecteur $\vec u \left(2;3;-\dfrac{3}{2}\right)$ dirige $\Delta$ et le vecteur $\overrightarrow{AB}\left(2;-2;-1\right)$ dirige $d$. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires par conséquent les droites $\Delta$ et $d$ sont non coplanaires ou sécantes.
\\
Pour le savoir on cherche les solutions du système suivant :
$$ \left\{ \begin{array}{l} 2t-1=3+2t' \\ -2t+1=2+3t'\\ -t+3=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}t'  \end{array} \right.\Longleftrightarrow   \left\{ \begin{array}{l} 2t-2t'=4 \\ -2t-3t'=1\\ -t+\dfrac{3}{2}t'=-\dfrac{5}{2}  \end{array} \right.\Longleftrightarrow   \left\{ \begin{array}{l} t-t'=2 \\ -2t-3t'=1\\ -t+\dfrac{3}{2}t'=-\dfrac{5}{2}  \end{array} \right.$$
Déterminer la solution des deux premières équations :
$$ \left\{ \begin{array}{l} t-t'=2 \\ -2t-3t'=1  \end{array} \right.  \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=2+t' \\ -2(2+t')-3t'=1  \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=2+t' \\ -4-5t'=1  \Longrightarrow -5t'=5\Longrightarrow t'=-1\end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=2-1=1 \\ t'=-1  \end{array} \right. $$
Vérifions que $t=1$ et $t'=-1$ satisfont la troisième égalité.
$$-t+\dfrac{3}{2}t'=-1-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{5}{2} $$
La troisième égalité est satisfaite. \\
Ainsi $d$ et $\Delta$ sont sécantes en un point $S$ dont les coordonnées sont :
$$ S\left(2-1;-2+1;-1+3\right)\Longleftrightarrow S(1;-1;2)$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\end{document}