\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du devoir maison 5}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Congruence}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macrodwicky.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\Cr{\decofourleft~ \typedoc ~\decofourright \\ \Ch}

\vspace{1cm}




\Exoi{\hfill $\spadesuit\spadesuit\spadesuit $\\
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer, suivant les valeurs de $n\in\N$, le reste de la division euclidienne de $2^n$ par $5$.}
\\
On constate que $2^0\equiv 1[5]$ puis $2^1\equiv 2[5]$ puis $2^2\equiv 4[5]$ puis $2^3\equiv 3[5]$ puis $2^4\equiv 1[5]$ puis $2^5\equiv 2[5]$  puis encore $2^6\equiv 4[5]$.
Par conséquent pour $k\in \N$ de $2^4\equiv 1[5]$ on tire :
$$ {2^4}^k\equiv 1^k[5]\Longleftrightarrow 2^{4k}\equiv 1[5]$$
On en déduit que :
$$ 2^{4k+1}\equiv 1\times 2\equiv 2[5]$$
On en déduit que :
$$ 2^{4k+2}\equiv 4[5]$$
Et enfin que :
$$ 2^{4k+3}\equiv 8\equiv 3[5]$$
\item {\footnotesize Quel est le reste de la division de $1357^{2013}$ par $5$ ?}\\
Le reste de la division euclidienne de $1357$ par $5$ vaut $2$ donc :
$$ 1357\equiv 2[5]\Longrightarrow 1357^{2013}\equiv 2^{2013}[5]$$
Or, $2013=4\times 503+1$ donc d'après la question précédente :
$$ 2^{2013}\equiv 2[5]$$
Par conséquent 
$$1357^{2013}\equiv 2[5] $$
\item {\footnotesize Montrer que pour tout $n$ de $\N$, $5^{2n}-(-23)^n$ est divisible par $24$.}
\\
On a $$25\equiv 1[24] \Longleftrightarrow 5^2\equiv 1[24]\Longleftrightarrow 5^{2n}\equiv 1^n [24]\Longleftrightarrow 5^{2n}\equiv 1[24]$$
De même $$ -23\equiv 1[24]\Longleftrightarrow (-23)^n\equiv 1^n[24] \Longleftrightarrow (-23)^n\equiv 1[24]$$
Par conséquent $$ 5^{2n}\equiv (-23)^n[24]\Longleftrightarrow 24| 5^{2n}-(-23)^n$$
\item {\footnotesize Pour quelle valeurs de $n$, $2n^2-10n+8$ est-il divisible par $5$ ?}\\
Remarquons que $-10n\equiv 0[5]\Rightarrow -10n+8\equiv 3[5]$.
\\
Le reste de la division euclidienne de $n$ par $5$ peut-être égal à $0$, $1$, $2$, $3$ ou $4$. Analysons séparément chacun des cas.
\begin{itemize}
\item \textbf{Cas 1} : $n\equiv 0[5]\Rightarrow n^2\equiv 0[5] \Rightarrow 2n^2\equiv 0[5] \Rightarrow 2n^2-10n+8\equiv 3 [5]$\\
Si $n$ est un multiple de $5$ alors le reste de la division euclidienne de $2n^2-10n+8$ est $3$, par conséquent $5$ ne divise pas $2n^2-10n+8$.
\item \textbf{Cas 2} : Si $n\equiv 1[5]\Rightarrow n^2\equiv 1[5] \Rightarrow 2n^2\equiv 2[5] \Rightarrow 2n^2-10n+8\equiv 5 [5]\Rightarrow 2n^2-10n+8\equiv 0[5]$.\\
S'il existe $k \in \Z$ tel que $n=5k+1$ alors le reste de la division euclidienne de $2n^2-10n+8$ est $0$, par conséquent $5$  divise  $2n^2-10n+8$.
\item \textbf{Cas 3} : Si $n\equiv 2[5]\Rightarrow n^2\equiv 4[5] \Rightarrow 2n^2\equiv 8[5] \Rightarrow 2n^2-10n+8\equiv 11 [5]\Rightarrow 2n^2-10n+8\equiv 1 [5]$.\\
S'il existe $k \in \Z$ tel que $n=5k+2$ alors le reste de la division euclidienne de $2n^2-10n+8$ est $1$, par conséquent $5$  ne divise  pas $2n^2-10n+8$.
\item \textbf{Cas 4} : Si $n\equiv 3[5]\Rightarrow n^2\equiv 9[5] \Rightarrow 2n^2\equiv 18[5] \Rightarrow 2n^2-10n+8\equiv 21 [5]\Rightarrow 2n^2-10n+8\equiv 1 [5]$.\\
S'il existe $k \in \Z$ tel que $n=5k+3$ alors le reste de la division euclidienne de $2n^2-10n+8$ est $1$, par conséquent $5$  ne divise  pas $2n^2-10n+8$.
\item \textbf{Cas 5} : Si $n\equiv 4[5]\Longleftrightarrow n\equiv -1[5]\Rightarrow n^2\equiv 1[5] \Rightarrow 2n^2\equiv 2[5] \Rightarrow 2n^2-10n+8\equiv 5 [5]\Rightarrow 2n^2-10n+8\equiv 0 [5]$.\\
S'il existe $k \in \Z$ tel que $n=5k+4$ alors le reste de la division euclidienne de $2n^2-10n+8$ est $0$, par conséquent $5$   divise  $2n^2-10n+8$.
\end{itemize}
\textbf{Conclusion} : Si $n+1$ ou $n-1$ est un multiple de $5$ alors $2n^2-10n+8$ est divisible par $5$.
\end{enumerate}
}



  
\end{document}