\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du devoir maison 4}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Suites monotones et limites}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les six suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.}

\Exoi{\textbf{Théorème de convergence monotone.}\hfill $ \spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$, 
$$ u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{1+2u_n}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $u_1$ et $u_2$.}\\
$$ u_1=\dfrac{3u_0}{1+2u_0}=\dfrac{\frac{3}{2}}{1+1}=\dfrac{\frac{3}{2}}{2}=\dfrac{3}{4}$$
et 
$$ u_2=\dfrac{3u_1}{1+2u_1}=\dfrac{\frac{9}{4}}{1+\frac{3}{2}}=\dfrac{\frac{9}{4}}{\frac{5}{2}}=\dfrac{9}{10}$$
\item {\footnotesize Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0<u_n$.}
\\
On considère la propriété $\mathscr P$ définie au rang $n$ par :
$$ \mathscr P(n) : 0<u_n$$
Nous allons démontrer cette propriété par récurrence sur $n$ :
\begin{itemize}
\item \textit{\textbf{Initialisation}} : pour $n=0$ on a $u_0=\dfrac{1}{2}$ ce qui bien strictement supérieur à $0$. Ainsi $\mathscr P(0)$ est vraie. \\
En observant la question précédent on constate que $\mathscr P(1)$ et $\mathscr P(2)$ aussi sont vraies.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Supposons qu'il existe un entier $n\in\N$ tel que $0<u_n$ et montrons que :
$$ 0<u_{n+1}$$
 $u_n>0$ d'après notre hypothèse et  $ u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{1+2u_n}$ par définition de la suite. $3u_n>0$ et $1+2u_n>1$ par conséquent, assez trivialement :
 $$ u_{n+1}>0$$
 Ainsi dès que $\mathscr P(n)$ est vraie, $\mathscr P(n+1)$ est vraie. La propriété $\mathscr P$ est donc héréditaire.
 \item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est donc héréditaire et initialisée à partir de $n=0$, par conséquent :
 $$ \forall n\in \N,\quad u_n>0$$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item {\footnotesize On \textbf{admet} que pour tout entier naturel $n$, $u_n<1$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.}\\
$\forall n\in\N$ :
$$ u_{n+1}-u_n= u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{1+2u_n}-u_n= u_{n+1}=\dfrac{3u_n-u_n(1+2u_n)}{1+2u_n}=\dfrac{3u_n-u_n-2u_n^2}{1+2u_n}=\dfrac{2u_n-2u_n^2}{1+2u_n}=\dfrac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n}$$
Le dénominateur de quotient est strictement positif puisque $u_n>0$, donc $u_{n+1}-u_n$ est du signe de $2u_n(1-u_n)$ qui est lui même du signe de $1-u_n$. Enfin comme $u_n<1$ on a :
$$ 1-u_n>0\Longleftrightarrow \dfrac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n} >0\Longleftrightarrow u_{n+1}-u_n>0\Longleftrightarrow u_{n+1}>u_n$$
La suite $u$ est donc strictement croissante.
\item {\footnotesize En déduire que la suite $(u_n)$ converge.}\\
$u$ est une suite majorée par $1$ (on l'a admis) et strictement croissante (c'est le résultat de la question précédente) par conséquent d'après un fameux résultat du cours la suite $u$ est convergente.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill $ \spadesuit\spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$, 
$$ u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{1+2u_n}$$
On admet que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n>0$\\
Démontrer par récurrence que :
$$ \forall n\in\N,\qquad u_n<1$$
\textit{Indication : Pour montrer que $\mathscr P$ est héréditaire, on introduira la fonction $f$ définie sur $]0;1[$ par $f(x)=\dfrac{3x}{1+2x}$ et on étudiera ses variations.}
\end{footnotesize}
\\
Sur l'intervalle $]0;1[$ la fonction $f$ est dérivable et sa dérivée vaut :
$$ f'(x)=\dfrac{3(1+2x)-3x\times 2}{(1+2x)^2}=\dfrac{3}{(1+2x)^2}>0\qquad \forall 0<x<1$$
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l'intervalle $]0;1[$.
\\
Démontrons alors la propriété que nous baptiserons cette fois-ci $\mathscr Z$ définie par :
$$ \mathscr Z(n) : u_n<1$$
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$.\\
$u_0=\dfrac{1}{2}<1$ donc $\mathscr P(0)$ est vraie.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Supposons qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $u_n<1$ et montrons dans ce cas que $u_{n+1}<1$.
\\
On a la suite d'équivalence suivante :
\begin{eqnarray*}
 & & u_n<1\qquad \text{notons que d'après l'exo 1 $u_n>0$}\\
 &\Longleftrightarrow & f(u_n)<f(1) \qquad \text{car la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;1[$}\\
&\Longleftrightarrow & u_{n+1}<\dfrac{3}{1+2}\\
&\Longleftrightarrow & u_{n+1}<1\\
\end{eqnarray*}
Ainsi dès que $\mathscr P(n)$ est vraie $\mathscr P(n+1)$ est vraie, ce qui montre que $\mathscr P$ est héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : La propriété $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc vraie quelque soit l'entier $n$ i.e :
$$ \forall n\in\N, \qquad u_n<1$$
\end{itemize}
}

\Exoi{\textbf{Théorème de convergence monotone.}\hfill $ \spadesuit\spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
Soit $(u_n)$ une suite décroissante et strictement positive.
\\
Montrer que la suite $(v_n)$, définie sur $\N$ par $v_n=\dfrac{1}{1+u_n}$ est convergente. \footnote{On montrera que $v$ est strictement croissante et majorée.}
\end{footnotesize}
\begin{itemize}
\item Montrons que $v$ est strictement croissante.\\
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{1+u_{n+1}}-\dfrac{1}{1+u_n}=\dfrac{1+u_n-(1+u_{n+1}}{(1+u_n)(1+u_{n+1})}=\dfrac{u_n-u_{n+1}}{(1+u_n)(1+u_{n+1})}$$
Le dénominateur de ce quotient est strictement positif puisque $u$ est strictement positive, ainsi $v_{n+1}-v_n$ est du signe de $u_n-u_{n+1}$. Puisque $u$ est strictement décroissante $u_n-u_{n+1}>0$, par conséquent :
$$ v_{n+1}-v_n>0\Longleftrightarrow v_{n+1}>v_n$$
La suite $v$ est donc strictement croissante.
\item Montrons que $v$ est majorée.\\
Puisque $u$ est strictement positive on a, pour tout entier naturel $n$ :
$$ 1+u_n>1\Longleftrightarrow \dfrac{1}{1+u_n}<1\Longleftrightarrow v_n<1$$
La suite $v$ est donc majorée par $1$.
\item Concluons.\\
$v$ est strictement croissante et majorée par $1$, d'après un théorème fameux du cours $v$ converge.
\end{itemize}
}



\Exoi{\textbf{Théorème de comparaison.}\hfill $\spadesuit\spadesuit $\\
\begin{footnotesize}
Soit $a\in\R$, on considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par :
$$ u_0=a\qquad \text{et}\qquad u_{n+1}=u_n+u_n^2+1$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.}
\\
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_{n+1}=u_n+u_n^2+1\Longleftrightarrow u_{n+1}-u_n=u_n^2+1\geq 1$$
Ainsi $u_{n+1}-u_n>0\Longleftrightarrow u_{n+1}>u_n, \quad \forall n\in\N$ donc la suite $u$ est croissante.
\item {\footnotesize Ecrire et programmer un algorithme qui demande de saisir deux réels $M$ et $a$ et qui affiche le premier rang $p$ pour lequel $u_p>M$.} 
\item {\footnotesize Soit $n\in\N$ et $\mathscr P(n) : u_n\geq a+n$. Montrer par récurrence que $\mathscr P(n)$ est vraie pour tout $n\in\N$.}\\
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$, $u_0=a$ et $a+0\times n=a$, et $a\geq a\Longrightarrow \mathscr P(0)$ est vraie.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Supposons qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $u_n\geq a+n$ et montrons que :
$$ u_{n+1}\geq a+n+1$$
On a :
\begin{eqnarray*}
& & u_{n+1}=u_n+u_n^2+1\\
& \Longrightarrow & u_{n+1}\geq 	a+n+u_n^2+1\\
& \Longrightarrow & u_{n+1}\geq 	a+n+1 \qquad \text{puisqu'un carré est positif ou nul}\\
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
Ainsi dès que $\mathscr P(n)$ $\mathscr P(n+1)$ l'est. La propriété $\mathscr P$ est héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ étant initialisée à partir de $n=0$ et héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel $n$.
\item {\footnotesize En déduire que $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.}\\
D'après la question qui précède on a :
$$ \forall n\in\N u_n\geq a+n$$
Or :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty} a+n=+\infty$$
donc par comparaison on déduit que :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$$
\end{enumerate}}

\pagebreak
\Exoi{\hfill $ \spadesuit\spadesuit\spadesuit\spadesuit $\\
\begin{footnotesize}
On considère la suite $$u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que $ \dfrac{1}{k^2}\leq \dfrac{1}{k(k-1)}\leq \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}, \forall k\geq 2$.}\\
Pour tout $k\geq 2$ :
$$ k-1\leq k \Longrightarrow k(k-1)\leq k^2 \Longrightarrow \dfrac{1}{k(k-1)}\geq \dfrac{1}{k^2}$$
De plus pour tout $k\geq 2$ :
$$ \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}=\dfrac{k-(k-1)}{k(k-1)}=\dfrac{1}{k(k-1)}$$
En résumé on a :
$$ \forall k\geq 2, \qquad \dfrac{1}{k^2}\leq \dfrac{1}{k(k-1)}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$$
\item {\footnotesize Montrer que $$ \sum_{k=2}^n \left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right)=1-\dfrac{1}{n}$$}
On a :
$$ \sum_{k=2}^n \left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right)=\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\dots+\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\right)=1-\dfrac{1}{n}$$
\item {\footnotesize Montrer que $$\sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2}\leq 1$$.}\\
En combinant les résultats des questions $1$ et $2$ on a :
$$ \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2}\leq  \sum_{k=2}^n \left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right)=1-\dfrac{1}{n}\leq 1$$
\item {\footnotesize Déterminer un réel $M$ qui majore $u_n$ pour tout entier $n\in\N^*$.}\\
En utilisant le résultat de la question précédente on obtient :
$$ u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}=1+ \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2}\leq 1+1=2$$
Ainsi $u$ est majorée par $2$.
\item {\footnotesize Montrer que $u$ converge.}\\
Pour tout $n\in\N$ on a :
$$ u_{n+1}-u_n=\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{1}{k^2}-\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{1}{(n+1)^2}>0\Longrightarrow u_{n+1}>u_n$$
La suite $u$ est donc strictement croissante. \\
 $u$ est une suite strictement croissante et majorée par $2$ donc $u$ est convergente.
\end{enumerate} 
}

\Exoi{\hfill $ \spadesuit\spadesuit\spadesuit\spadesuit\spadesuit\spadesuit $\\
\begin{footnotesize}
On considère la suite définie pour tout entier $n\in\N^*$ par :
$$u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}$$
On considère pour $A\in\N$ la propriété $\mathscr P$ définie par :
$$ \mathscr P(A) : \exists n_0\in \N, u_{n_0}>A$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize L'objectif de cette question est de démontrer la propriété $\mathscr P$ par récurrence.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que $ \mathscr P(0)$ est vraie.}\\
Pour $A=0$, on cherche $n_0$ tel que $u_{n_0}>0$. Or $u_1=1>0$ donc en choisissant $n_0=1$ on a bien $u_{n_0}>A$, ainsi $\mathscr P(0)$ est vraie.
\item {\footnotesize Montrer que $\mathscr P(1)$ est vraie.}\\
Pour $A=1$, on cherche $n_0$ tel que $u_{n_0}>1$. Or $u_2=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}>1$ donc en choisissant $n_0=2$ on a bien $u_{n_0}>A$, ainsi $\mathscr P(1)$ est vraie.
\item {\footnotesize Supposons que $\mathscr P(A)$ soit vraie.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Traduire, par une phrase en français, la supposition que l'on a effectué.}\\
On suppose que pour un entier naturel $A$, il existe un entier naturel $n_0$ tel que $u_{n_0}$ est strictement supérieur à $A$.
\item {\footnotesize Montrer que $u_{2n_0}> u_{n_0}+\dfrac{1}{2}$. En déduire que $u_{4{n_0}}> u_{n_0}+1$}\\
$$ u_{2n_0}=\sum_{k=1}^{2n_0}\dfrac{1}{k}=\sum_{k=1}^{n_0}\dfrac{1}{k}+\sum_{k=n_0+1}^{2n_0}\dfrac{1}{k}$$
or si $k<2n_0$ alors $\dfrac{1}{k}> \dfrac{1}{2n_0}$, par conséquent :
$$ u_{2n_0}> u_{n_0}+n_0\times \dfrac{1}{2n_0}=u_{n_0}+\dfrac{1}{2}$$
En appliquant deux fois cette propriété nouvellement démontré on déduit que :
$$ u_{4{n_0}} > u_{2n_0}+\dfrac{1}{2}\geq u_{n_0}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=u_{n_0}+1$$
\item {\footnotesize En déduire que $\mathscr P(A+1)$ est vraie.}
\\
Si $\mathscr P(A)$ est vraie alors il existe un entier naturel $n_0$ tel que :
$$ u_{n_0}>A$$
D'après la question précédente on a :
$$ u_{4n_0}>u_{n_0}+1>A+1$$
Ainsi il existe un entier naturel (l'entier $4n_0$) tel que $u_{n_0}>A+1$, la propriété $\mathscr P(A+1)$ est donc vraie dès que la propriété $\mathscr P(A)$ l'est.
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Conclure.}\\
La propriété $\mathscr P$ est initialisée à partir de $A=0$ et est héréditaire, par conséquent pour tout entier $A\in\N$ on a l'existe d'un entier naturel $n_0$ tel que $u_{n_0}>A$.
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Utiliser la question $1$ pour déterminer la limite de la suite $u$.}\\
Considérons un intervalle de la forme $]a;+\infty[$ où $a$ est un nombre réel strictement positif. Nommons $A$ l'entier immédiatement supérieur à $a$, alors d'après la question $1$ il existe un entier $n_0$ tel que $u_{n_0}>A\geq a$. Le nombre $u_{n_0}$ est donc dans l'intervalle $]a;+\infty[$.\\
Enfin, de manière triviale la suite $u$ est strictement croissante, en effet :
$$ u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{n+1}\Longrightarrow u_{n+1}>u_n$$
On en déduit que pour tout $n\geq n_0$, $u_n>u_{n_0}\geq a$.\\
On vient de montrer qu'à partir de l'entier $n_0$ tous les termes de la suite $u$ sont dans l'intervalle $]a;+\infty[$. \\
Ce raisonnement est valable quelque soit l'intervalle $]a;+\infty[$ choisit au départ, par conséquent et par définition :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}=+\infty$$
\end{enumerate}
}

\end{document}