\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du devoir maison 4}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Divisibilit\'e et division euclidienne}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\Cr{\decofourleft~ \typedoc ~\decofourright \\ \Ch}

\vspace{1cm}

\textbf{\textbf{Vous traiterez au moins un exercice parmi les deux suivants.}
}



\Exoi{\hfill $\spadesuit\spadesuit $\\ 
  {\footnotesize Dans la division euclidienne de $a$ par $b$ avec $a\in\N$ et $b\in\N^*$, on note $q$ le quotient et $r$ le reste.}
\begin{enumerate}
  \item {\footnotesize Déterminer $q$ sachant que $q$ et $r$ ne changent pas lorsqu'on augmente $a$ de $20$ et $b$ de $10$.}\\
  On a donc $a=bq+r\Longleftrightarrow a-bq-r=0$ avec $0\leq r<b$ mais aussi :
  $$ a+20=(b+10)q+r \qquad \text{avec }0\leq r<b+10$$
  Par suite :
   $$a+20=bq+10q+r\Longleftrightarrow a-bq-r=10q-20\Longleftrightarrow 10q-20=0\Longleftrightarrow q=2$$
  \item {\footnotesize Soit $a\in\Z$ tel qu'il existe $b\in\Z$ tel que $a=204b+350$. Déterminer le quotient $q$ et le reste $r$ de la division euclidienne de $a$ par $204$.}\\
  On a :
  $$ a=204b+204+146\Longleftrightarrow a =204(b+1)+146$$
  Puisque $0<146<204$, d'après l'unicité du reste et du quotient dans la division euclidienne, on en déduit que $q=b+1$ et $r=146$.
  \item {\footnotesize Déterminer le quotient $q$ et le reste $r$ de la division euclidienne de $2^{2013}+562$ par $4$.}\\
  $2^{2013}=2^{2011+2}=2^{2011}\times 2^2=4\times 2^{2011}$ puis :
  $$ 562=4\times 140+2$$
  Ainsi :
  $$ 2^{2013}+562=4\times 2^{2011}+4\times 140+2=4\left(2^{2011}+140\right)+2$$
  Comme $0<2<4$, d'après l'unicité du quotient et du reste on en déduit que le quotient et le reste de la division euclidienne de $2^{2013}+562$ par $4$ valent :
  $$ q= 2^{2011}+140 \qquad \text{et} \qquad r=2$$
  \end{enumerate}  
  }
  
  \pagebreak
  \Exoi{\hfill $\spadesuit\spadesuit $
  \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Effectuer la div euclidienne de 3217 par 19, de -1273 par 17, de 228 par -15 et de -329 par -30.}
\\
Dès lors que l'on a trouve un couple $(q,r)$ vérifiant $a=bq+r$ avec $0\leq r<|b|$ alors on est sûr qu'il s'agit du quotient et du reste.\\
En utilisant le programme fait lors du DM précédent que voici :
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{capture.eps}
\end{center}
on trouve $3217=19\times 169+6$ donc le quotient vaut $169$ et le reste $6$.\\
on trouve encore :
$$ -1273=17\times (-75)+2$$
puis :
$$ 228=-15\times (-15)+3$$
et enfin :
$$ -329=-30\times (11)+1$$
\item {\footnotesize Déterminer des entiers naturels a et b tels que leur somme soit égale à 283 et que dans la division de a par b, le quotient soit 5 et le reste 13.}
\\
On a $a+b=283\Longleftrightarrow a=283-b$ puis :
$$ a=5b+13$$
On en déduit que :
$$ 283-b=5b+13\Longleftrightarrow 270=6b\Longleftrightarrow b=\dfrac{270}{6}=45$$
Et par conséquent :
$$ b=283-45=238$$
\item {\footnotesize $n$ désigne un entier naturel.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Réaliser la division de $n^2+2n+2$ par  $n+3$ pour montrer que $n^2+2n+2=(n+3)(n-1)+5$.}
\[
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\renewcommand{\arraycolsep}{1.2pt}
\begin{array}{rcrcr|c}
n^2 & + & 2n & + & 2 & n + 3                \\\cline{6-6}
-n^2 & - & 3n &   &           &   n -1\\\cline{1-3}
0            & - & n   & + & 2  &                            \\
              &  & n   & + & 3  &                            \\\cline{3-5}
             &  &   &  & 5  &                            \\
\end{array}
\]
On a ainsi :
$$ n^2+2n+2=(n+3)(n-1)+5$$
\item {\footnotesize Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $ \dfrac{n^2+2n+2}{n+3}\in\N$}
$$\dfrac{n^2+2n+2}{n+3}\in\N\Longleftrightarrow n-1+\dfrac{5}{n+3}\in\N\Longleftrightarrow \dfrac{5}{n+3} \in\N$$
$5$ admet deux diviseurs positifs  $1$ et $5$, par conséquent $\dfrac{5}{n+3}$  est un entier naturel si et seulement si, $n+3=1\Longleftrightarrow n=-2$ ou $n+3=5\Longleftrightarrow n=2$.\\
Il n'existe qu'un seul entier naturel $n$ tel que $\dfrac{n^2+2n+2}{n+3}\in\N$, il s'agit de $n=2$.
 \end{enumerate}
\item {\footnotesize Soit $ n$ un entier naturel non nul. Effectuer la division euclidienne de :}
\begin{enumerate}
\item $2n^2 + n$ par $n + 1$ ;\\
En procédant comme au début de ce même exercice on a :
$2n^2+n=(n+1) (2n-1)+1$ est la division euclidienne des nombres $2n^2+n$ et $n+1$ si et seulement $0\leq 1< n+1$. $n$ étant non nul, le reste est bien strictement inférieur au quotient.
\item {\footnotesize $n^2 +2n+3$ par  $n+2$ }\\
On a :
$$ n^2+2n+3=(n+2)n+3$$
Le reste vaut $3$ si et seulement si $n+2>3\Longleftrightarrow n>1$.\\
Pour $n=1$ on a :
$$ n^2+2n+3=6 \qquad \text{et}\qquad n+2=3$$
et $6=3\times 2+0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}




  
\end{document}