  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2013-2014}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Vecteurs}
\newcommand{\Cl}{$2^\text{nde}$}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 5}
\rhead{Vecteurs}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Maison 4: Les vecteurs}

\vspace{1cm}

\textbf{Ce devoir maison de révisions, de préparation au DS4 comporte deux pages. Vous traiterez au choix au moins la première ou la deuxième page.}





\begin{exoi}\begin{footnotesize}
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points :
$$A(-3;1) \quad , \quad B(1;-1) \quad , \quad C(3;3) \quad \text{et} \quad I \, \text{ milieu de } [AC]$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les coordonnées de $I$.}

Puisque $I$ est le milieu du segment $[AC]$ on a :
$$ I\left(\dfrac{-3+3}{2};\dfrac{1+3}{2}\right)\Longleftrightarrow I\left(0;2\right)$$
 \item {\footnotesize Donner les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$}
 
 $\overrightarrow{AB}(1-(-3);-1-1)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}\left(4;-2\right)$
 
 $\overrightarrow{AC}(3-(-3);3-1)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AC}(6;2)$ et enfin :
 
 $ \overrightarrow{BC}(3-1;3-(-1))\Longleftrightarrow \overrightarrow{BC}(2:4)$
\item {\footnotesize Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?}

A l'aide des coordonnées des vecteurs on déduit que :
$$ AB=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$$
puis :
$$ BC=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}$$
Par conséquent $AB=BC$ donc le triangle $ABC$ est isocèle en $B$.

De plus 
$$ AC=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}$$

Et $AC^2=40=BC^2+AB^2$ donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore on a $ABC$ est rectangle en $B$.
\item \begin{enumerate}
       \item {\footnotesize Déterminer les coordonnées du point $D$, image du point $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$.}
       
       Puisque $D$ est l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$ on a $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.
       
       Or, $\overrightarrow{AD}(x_D+3;y_D-1)$ et $\overrightarrow{BC}(2;4)$ d'où :
       
       $$x_D+3=2\qquad \text{et} \qquad y_D-1=4 $$
       ce qui donne :
       $$ x_D=-1\qquad \text{et} \qquad y_D=5$$
       Au final :
       $$ D(-1;5)$$ 
 \item {\footnotesize Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? \textit{Justifier}}
 
 D'après la question précédente $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ donc le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme. De plus on sait que le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $B$ donc le parallélogramme $ABCD$ est un carré.
      \end{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les coordonnées du point $J$, symétrique de $A$ par rapport à $B$.}

Puisque $J$ est le symétrique du pont $A$ par rapport au point $B$ on a :
$$ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BJ}$$
Or, $\overrightarrow{BJ}(x_J-1;y_J+1)$ et $\overrightarrow{AB}(4;-2)$, donc :

$$ x_J-1=4\qquad \text{et} \qquad y_J+1=-2$$
ce qui donne :

$$ x_J=5\qquad \text{et}\qquad y_J=-3$$
donc $J(5;-3)$.
 \item {\footnotesize Déterminer les coordonnées du point $K$ tel que $A$ soit le milieu de $[BK]$}
 
 Puisque $A$ est le milieu de $[BK]$ on a :
 
 $$ x_A=\dfrac{x_B+x_K}{2}\Longleftrightarrow -3=\dfrac{1+x_K}{2}\Longleftrightarrow -6=1+x_K\Longleftrightarrow x_K=-7$$
 de même pour les ordonnées :
 $$ y_A=\dfrac{y_B+y_K}{2}\Longleftrightarrow 1=\dfrac{-1+y_K}{2}\Longleftrightarrow -2=-1+y_K\Longleftrightarrow y_K=-1$$
\item {\footnotesize Soit $E(\alpha ; 2)$. Déterminer $\alpha$ tel que $A$, $B$ et $E$ soient alignés.}

$\overrightarrow{AE}(\alpha+3;2-1)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AE}(\alpha+3;1)$ et $\overrightarrow{AB}(4;-2)$.

  $A$, $B$ et $E$ soint alignés si et seulement si  les vecteurs $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaire donc si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles
$$ -2(\alpha+3)=4\times 1\Longleftrightarrow -2\alpha-6=4\Longleftrightarrow -2\alpha=10\Longleftrightarrow \alpha=-5$$
Pour que $A$, $B$ et $E$ soit alignés il faut que $\alpha=-5$.
 \item {\footnotesize Déterminer les coordonnées du point $F$ appartenant à l'axe des abscisses tel que $A$, $B$ et $F$ soient alignés.}
 
 Puisque $F$ est sur l'axe des abscisses son ordonnée vaut $0$ donc $F(x_F;0)$. 
 
  $A$, $B$ et $F$ soint alignés si et seulement si  les vecteurs $\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaire donc si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles
 
 Or, $\overrightarrow{AF}(x_F+3;-1)$ et $\overrightarrow{AB}(4;-2)$ ce qui donne :
$$ -2(x_F+3)=4\times (-1)\Longleftrightarrow -2x_F-6=-4\Longleftrightarrow -2x_F=2\Longleftrightarrow x_F=-1$$
Lorsque $F(-1;0)$ alors $F$ est sur l'axe des abscisses et $A$, $B$ et $F$ sont alignés.

 \item {\footnotesize Déterminer les coordonnées du point $G$ appartenant à l'axe des ordonnées tel que $(BG)$ et $(AI)$ soient parallèles.}
 
 $G$ appartient à l'axe des ordonnées si et seulement son abscisse vaut $0$, donc on cherche $y$ tel que $G(0;y)$ et $(BG)//(AI)$.
 
 Les droites $(BG)$ et $(AI)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{BG}(-1;y+1)$ et $\overrightarrow{AI}(3;1)$ sont colinéaires donc :
 $$ -1=3(y+1)\Longleftrightarrow 3y+3=-1\Longleftrightarrow 3y=-4\Longleftrightarrow y=-\dfrac{4}{3}$$
  
\end{enumerate}

\end{exoi}

\pagebreak
\begin{exoi}\begin{center}
 \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-4.1,-9.1)(14.1,6.1)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-9)(14,6)
\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.35cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1.2pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\pspolygon[linecolor=red](-4,4)(0,6)(2,-2)(-6,-2)
\pspolygon[linecolor=red](-4,-10)(0,-8)(2,-2)(-6,-2)
\pspolygon[linecolor=red](0,6)(8,6)(6,0)(2,-2)
\pspolygon[linecolor=red](-4,-10)(0,-8)(2,-16)(-6,-16)
\pspolygon[linecolor=red](6,-14)(2,-16)(0,-8)(8,-8)
\pspolygon[linecolor=red](8,6)(12,8)(14,0)(6,0)
\pspolygon[linecolor=red](20,8)(24,10)(26,2)(18,2)
\pspolygon[linecolor=red](8,-8)(12,-6)(14,0)(6,0)
\pspolygon[linecolor=red](12,8)(20,8)(18,2)(14,0)
\pspolygon[linecolor=red](8,-8)(12,-6)(14,-14)(6,-14)
\pspolygon[linecolor=red](20,-6)(24,-4)(26,-12)(18,-12)
\pspolygon[linecolor=red](18,-12)(14,-14)(12,-6)(20,-6)
\pspolygon[linecolor=red](20,-6)(24,-4)(26,2)(18,2)
\rput[bl](-4.8,4.2){\blue{$A$}}
\rput[bl](-0.8,6.2){\blue{$B$}}
\rput[bl](7.2,6.2){\blue{$C$}}
\rput[bl](11.2,8.2){\blue{$D$}}
\rput[bl](19.2,8.2){\blue{$E$}}
\rput[bl](24.2,10.2){\blue{$F$}}
\rput[bl](-6.8,-1.8){\blue{$G$}}
\rput[bl](0.2,-1.8){\blue{$H$}}
\rput[bl](5.2,0.2){\blue{$I$}}
\rput[bl](13,0.2){\blue{$J$}}
\rput[bl](18.4,2.2){\blue{$K$}}
\rput[bl](26.2,2.2){\blue{$L$}}
\rput[bl](-5.4,-9.8){\blue{$M$}}
\rput[bl](-1.2,-7.8){\blue{$N$}}
\rput[bl](6.8,-7.8){\blue{$O$}}
\rput[bl](11.2,-5.8){\blue{$P$}}
\rput[bl](18.8,-5.8){\blue{$Q$}}
\rput[bl](24.4,-3.8){\blue{$R$}}
\rput[bl](-6.8,-15.8){\blue{$S$}}
\rput[bl](0.8,-17.2){\blue{$T$}}
\rput[bl](6.2,-15.2){\blue{$U$}}
\rput[bl](13.2,-15.2){\blue{$V$}}
\rput[bl](18.2,-13.2){\blue{$W$}}
\rput[bl](26.2,-13.2){\blue{$X$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{footnotesize}
En utilisant le pavage ci-dessus réalisé à l'aide de quadrilatère identiques, répondre aux questions sui\-vantes :
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Quelle est l'image du quadrilatère $ABHG$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AJ}$ ?}
 
 L'image du quadrilatère $ABHG$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AJ}$ est le quadrilatère $JKQP$.
 \item {\footnotesize Quelle est l'image du quadrilatère $ABHG$ par la symétrie ayant pour centre le milieu du segment $[HI]$ ?}
 
 L'image du quadrilatère $ABHG$ par la symétrie ayant pour centre le milieu du segment $[HI]$ est le quadrilatère $IJPO$.
 \item \begin{footnotesize}
 Parmi les vecteurs $\overrightarrow{VB} \, , \quad \overrightarrow{HV} \, , \quad \overrightarrow{QC} \, , \quad
\overrightarrow{PI} \, , \quad \overrightarrow{PH} \, , \quad \overrightarrow{RD} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AO} $, quels sont
ceux de la translation qui transforme le quadrilatère $PQWV$ en $BCIH$ ?
 \end{footnotesize}
 
 Seules les translations associés aux vecteurs $\overrightarrow{QC}$ et $\overrightarrow{RD}$ transforme $PQWV$ en $BCIH$.
\item {\footnotesize On fait agir sur le quadrilatère $ABHG$ la translation de vecteur $\overrightarrow{GN}$, suivie de la translation de vecteur $\overrightarrow{OJ}$.}
\begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Quel est le quadrilatère ainsi obtenu ?}
 
 L'image du quadrilatère $ABHG$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{GN}$ est le quadrilatère $NOIH$. Puis le quadrilatère $NOIH$ est transformé en le quadrilatère $IJDC$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{OJ}$
 \item {\footnotesize Compléter l'égalité suivante : $\overrightarrow{G\dots} \, = \, \overrightarrow{GN}\, + \, \overrightarrow{N\dots} \, = \, \overrightarrow{GN} + \overrightarrow{OJ}$}
 
 On a $\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{NI}$ donc :
 $$ \overrightarrow{GN}+\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{NI}=\overrightarrow{GI}$$
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{exoi}


%\begin{exoi}Le plan est muni d'un repère.
%\begin{enumerate}
%\item Dans chaque cas, écrire un algorithme qui demande à l'utilisateur de rentrer les coordonnées de deux points $A$ et $B$
%et qui renvoit 
%\begin{enumerate}
% \item les coordonnées de $I$, milieu du segment $[AB]$.
%\item la distance $AB$.
% \item les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$, ainsi que 
%sa norme.
%\end{enumerate}
% \item Ecrire un algorithme qui demande à l'utilisateur de rentrer les coordonnées de trois points $A$, $B$ et $C$ 
%et qui affiche si les points sont alignés ou non.
%\item Ecrire un algorithme qui demande à l'utilisateur de rentrer les coordonnées de quatres points $A$, $B$, $C$ et $D$
%et qui affiche si les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
%\end{enumerate}
%\end{exoi}
%
%\pagebreak

\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
On considère un triangle ABC. $D$ est le point tel que :
$$ \overrightarrow{DA}=2\overrightarrow{BC}$$
et $G$ et le point tel que $$ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Transformer l'égalité qui définit le point $D$ afin de pouvoir le construire aisément.}

$$ \overrightarrow{DA}=2\overrightarrow{BC}\Longleftrightarrow \overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{CB}$$
\item {\footnotesize Transformer l'égalité qui définit le point $G$ afin de pouvoir le construire aisément.}

On utilise la relation de Chasles en introduisant le point $B$ :
$$ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0}$$
ce qui donne :
$$3\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0}$$
Et donc :
$$ 3\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DB}$$
Par suite :
$$ \overrightarrow{GB}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DB}}{3}$$
Au final :
$$ \overrightarrow{BG}=\dfrac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}}{3}$$
\item {\footnotesize Réaliser une figure.}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.56,-2.59)(8.92,6.73)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.4,0.66)(1.48,2.3)(7.2,0.86)
\psline{->}(-1.42,2.2)(1.48,2.3)
\psline{->}(1.48,2.3)(1.4,0.66)
\psline{->}(1.48,2.3)(7.2,0.86)
\psline{->}(1.4,0.66)(7.2,0.86)
\psline[linecolor=zzttqq](1.4,0.66)(1.48,2.3)
\psline[linecolor=zzttqq](1.48,2.3)(7.2,0.86)
\psline[linecolor=zzttqq](7.2,0.86)(1.4,0.66)
\psline{->}(1.48,2.3)(3.36,1.27)
\psline{->}(1.48,2.3)(7.12,-0.78)
\psline{->}(1.4,0.66)(7.12,-0.78)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1.42,2.2)
\rput[bl](-1.34,2.31){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.48,2.3)
\rput[bl](1.56,2.41){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.4,0.66)
\rput[bl](1.48,0.77){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7.2,0.86)
\rput[bl](7.28,0.99){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.36,1.27)
\rput[bl](3.44,1.38){\blue{$G$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item {\footnotesize Que peut-on dire du quadrilatère $CDBA$. Justifier.}

Puisque $\overrightarrow{DA}=2\overrightarrow{BC}$ alors les droites $(DA)$ et $(BC)$ sont parallèles, il vient que le quadrilatère $CDBA$ est un trapèze.
\item {\footnotesize On note $C'$ le milieu du segment $[AD]$}\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer  que :
$$ \overrightarrow{BG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC'}$$
\end{footnotesize}

On sait que $\overrightarrow{BG}=\dfrac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}}{3}$

Or, d'après la relation de Chasles on a :
$$ \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC'}+\overrightarrow{C'A}\qquad \text{et} \qquad \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC'}+\overrightarrow{C'D}$$
D'où :
$$ \overrightarrow{BG}=\dfrac{\overrightarrow{BC'}+\overrightarrow{C'A}+\overrightarrow{BC'}+\overrightarrow{C'D}}{3}=\dfrac{2\overrightarrow{BC'}+\overrightarrow{C'A}+\overrightarrow{C'D}}{3}$$
Puisque $C'$ est le milieu du segment $[AD]$ on a $\overrightarrow{C'A}+\overrightarrow{C'D}=\vec{0}$ d'où :
$$ \overrightarrow{BG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC'}$$
\item {\footnotesize Que peut-on en déduire sur les points $B$, $G$ et $C'$ ?}

Puisque $ \overrightarrow{BG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC'}$ on en déduit que les vecteurs $\overrightarrow{BG}$ et $\overrightarrow{BC'}$ sont colinéaires et donc que les points $B$, $G$ et $C'$ sont alignés.
\item {\footnotesize En déduire aussi la position du point $G$.}

Puisque $ \overrightarrow{BG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC'}$, $G$ se situe au deux-tiers de la médiane du triangle $ABD$ issue de $B$, donc $G$ est le centre de gravité du triangle $ABD$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}
