\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du devoir maison 3}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Limites de suites}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

\textbf{Vous traiterez au choix un exercice parmi les trois suivants.}


\Exoi{\hfill $ \spadesuit\spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
Soient les suites $u$, $v$ et $w$ définies sur $\N$ par :
$$ u_n=2n^2+3n+1\qquad v_n=3n^3-4n+2\qquad\text{et}\qquad w_n=\dfrac{2n+3}{-n-5}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer la limite de la suite $u$.}\\
On a $$ \lim\limits_{n\to +\infty} 2n^2=+\infty\qquad \text{et}\qquad \lim\limits_{n\to +\infty} 3n+1=+\infty$$
Par somme on obtient :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} n^2+3n+1=+\infty$$
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer la limite de la suite $v$.}\\
L'expression de $v_n$ est une forme indéterminée qu'il faut donc modifier :
$$ v_n=n^3\left(1-\dfrac{4}{n^2}+\dfrac{2}{n^3}\right)$$
Ainsi on a :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} n^3=+\infty\qquad \text{et}\qquad  \lim\limits_{n\to+\infty}1-\dfrac{4}{n^2}+\dfrac{2}{n^3}=1$$
Par produit on obtient :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} =+\infty $$
\item{\footnotesize  Justifier que la suite $v$ est croissante à partir du rang $1$.}\\
Considérons la fonction $f$ définie sur pour tout réel $x\geq 1$ par :
$$ f(x)=3x^3-4x+2$$
Cette fonction est alors dérivable et pour tout $x\geq 1$ on a :
$$ f'(x)=9x^2-4=(3x-2)(3x+2)$$
$f'(x)$ s'annule alors pour $x=\dfrac{2}{3}$ et pour $x=-\dfrac{2}{3}$, on obtient donc pour $x\geq 1$ le tableau de variation suivant :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{1}&&\tx{\dfrac{2}{3}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)}&&\fd&&\fm&\cr
}$$
On déduit de ce tableau de variation que pour tout entier naturel $n\geq 1$ :
$$ f(n+1)\geq f(n)\Longleftrightarrow v_{n+1}\geq v_n$$
La suite $v$ est donc croissante à partir du rang $1$.
\item \begin{footnotesize}
Pour un réel $A$, on souhaite déterminer le rang à partir duquel $v_n\geq A$.\\
Construire un algorithme permettant de résoudre ce problème. Programmer, puis déterminer le rang à partir duquel $v_n\geq 10^6$.
\end{footnotesize}
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
 $n$ est un nombre entier et $v$  est un nombre réel.\\
}
{
$n:=1$ ; $v:=1$\\
  \While{$u < A$}
{$n:=n+1$\\
$v:=3n^2-4n+2$ 
}
\\Afficher $n$
}
}
\end{center}
Traduisons cet algorithme dans un langage informatique, ici ce même algorithme écrit en python : 
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{capture.eps}
\end{center}
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer la limite de la suite $w$.}\\
L'expression de $w$ est à modifier pour déterminer sa limite, ainsi pour $n\in\N^*$ on a :
$$ w_n=\dfrac{n\left(2+\frac{3}{n}\right)}{n\left(-1-\frac{5}{n}\right)}=\dfrac{2+\frac{3}{n}}{-1-\frac{5}{n}}$$
Comme :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty} 2+\frac{3}{n}=2\qquad \text{et}\qquad \lim\limits_{n\to+\infty} -1-\frac{5}{n}=-1$$
Par quotient on en déduit que :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{2+\frac{3}{n}}{-1-\frac{5}{n}}=-2$$
\end{enumerate}
}

\pagebreak
\Exoi{\hfill $\spadesuit\spadesuit $\\
{\footnotesize Trouver une suite :}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize non majorée mais qui ne tende pas vers $+\infty$.}
\\
Considérons la suite $u$ définie pour $n\in\N$ par :
$$ u_n= (-2)^n$$
Lorsque $n$ est pair $u_n=2^n$ et lorsque $n$ est impair $u_n=-2^n$.\\
Puisque $\lim\limits_{n\to+\infty}=+\infty$, $u$ n'est pas majorée.\\
Enfin $u$ n'admet pas de limite ; en particulier elle ne diverge pas vers $+\infty$ (en effet tout intervalle ouvert de la forme $]A;+\infty[$ avec $A>0$ ne peut contenir tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Dès que $u_n>A$ alors $u_{n+1}<A$ et ce quelque soit $n$ )
\item {\footnotesize croissante mais dont la limite n'est pas $+\infty$.}\\
Considérons la suite $u$ définie pour $n\in\N^*$ par :
$$ u_n=1-\dfrac{1}{n}$$
\begin{itemize}
\item Montrons qu'elle est croissante.\\
Pour $n\in\N^*$ on a :
$$ u_{n+1}-u_n=1-\dfrac{1}{n+1}-1+\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1-n}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n(n+1)}>0$$
On vient de montrer que :
$$ \forall n\in\N^*, \quad u_{n+1}-u_n>0\Longleftrightarrow \forall n\in\N^* \quad u_{n+1}>u_n$$
$u$ est donc croissante.
\item Déterminons sa limite.\\
$$ \lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n}=0\Longrightarrow \lim\limits_{n\to+\infty} u_n=1$$
\end{itemize}
\item {\footnotesize qui diverge vers $+\infty$ mais qui n'est pas croissante.}\\
Considérons la suite $u$ définie pour tout entier $n$ par :
$$ u_n=2n+n\times (-1)^n$$
\begin{itemize}
\item Déterminons sa limite.\\
On sait que pour tout entier $n$ on a :
$$-1\leq (-1)^n\leq 1\Longleftrightarrow -n\leq -n\times (-1)^n\leq n\Longleftrightarrow 2n-n\leq 2n-n\times (-1)^n\leq 2n+n\Longleftrightarrow n\leq u_n\leq 3n$$
Comme $\lim\limits_{n\to+\infty} n=+\infty$ d'après le théorème de comparaison on a :
$$\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=+\infty$$
\item Montrons qu'il n'existe aucun rang à partir duquel $u$ est une suite croissante.\\
Lorsque $n\neq 0$ est pair (dans ce cas $n+1$ est impair) on a :
$$ u_{n+1}-u_n=2(n+1)+(n+1)^\times (-1)^{n+1}-(2n+n\times (-1)^n)=2n+2-(n+1)-(2n+n)=2n+2-n-1-2n-n=-2n+1<0 $$
Lorsque $n$ est impair (dans ce cas $n+1$ est pair) on a :
$$ u_{n+1}-u_n=2(n+1)+(n+1)^\times (-1)^{n+1}-(2n+n\times (-1)^n)=2n+2+(n+1)-(2n-n)=2n+2+n+1-2n+n=2n+3>0$$
A partir d'aucun rang le signe de $u_{n+1}-u_n$ n'est  constant, on en déduit que la suite $u$ n'est pas croissante.
\end{itemize}
\item {\footnotesize à termes strictement positifs et strictement décroissante mais qui ne converge pas vers $0$.}\\
Considérons la suite $u$ définie pour $n\in\N^*$ par :
$$ u_n=1+\dfrac{1}{n}$$
Dans ce cas $u_n > 1$ puisque $\dfrac{1}{n}>0$, $u$ est donc à termes strictement positifs.\\
De plus $$u_{n+1}-u_n=1+\dfrac{1}{n+1}-1-\dfrac{1}{n}=\dfrac{n-(n+1)}{n(n+1)}=-\dfrac{1}{n(n+1)}<0$$
Ainsi :
$$ u_{n+1}-u_n<0\Longleftrightarrow u_{n+1}<u_n$$
La suite est donc strictement décroissante.\\
Enfin puisque $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n}=0$ on a :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1$$ 
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill $ \spadesuit\spadesuit\spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 0,~ u_{1} =  3$ et pour tout nombre entier naturel $n,$
\[ u_{n+2} = \dfrac{3}{2}u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.\] 
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $u_2$ ; $u_3$ et $u_4$.}\\
$$u_2=\dfrac{3}{2}\times 3-\dfrac{1}{2}\times 0=\dfrac{9}{2}$$
$$ u_3=\dfrac{3}{2}\times \dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{2}\times 3=\dfrac{27}{4}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{21}{4}$$
$$ u_4=\dfrac{3}{2}\times \dfrac{21}{4}-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{9}{2}=\dfrac{63}{8}-\dfrac{9}{4}=\dfrac{63-18}{4}=\dfrac{45}{8}$$
\item \begin{footnotesize}
Montrer par récurrence, que pour tout $n\in\N$ on a :
$$ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3$$
\end{footnotesize}
Montrons par récurrence la propriété $\mathscr P$ définie pour $n\in\N$ par :
$$\mathscr P(n) : u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3$$
\begin{enumerate}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : $u_0=0$ et $\dfrac{1}{2}\times 0+3=3$, or $u_1=3$ donc $\mathscr P(0)$ est vraie.\\
$ \dfrac{1}{2}\times 3+3=\dfrac{3}{2}+3=\dfrac{9}{2}$ et $u_2=\dfrac{9}{2}$ ainsi $\mathscr P(1)$ est vraie.\\
$ \dfrac{1}{2}\times \dfrac{9}{2}+3=\dfrac{9}{4}+3=\dfrac{9+12}{4}=\dfrac{21}{4}$ et $u_3=\dfrac{21}{4}$ donc $\mathscr P(2)$ est vraie.\\
$\dfrac{1}{2}\times \dfrac{21}{4}+3=\dfrac{21}{8}+3=\dfrac{21+24}{8}=\dfrac{45}{8}$ et $u_4=\dfrac{45}{8}$ donc $\mathscr P(3)$ est vraie.
\\
On pourrait bien inutilement poursuivre ainsi longtemps$\dots$.
On a montré que la propriété $\mathscr P$ est initialisée pour $n=0$, $n=1$, $n=2$ et $n=3$ (et en même temps on a vérifié que nos résultats de la première question était bon).
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Supposons qu'il existe un entier $n\geq 0$ tel que $ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3$ et montrons que $$ u_{n+2}=\dfrac{1}{2}u_{n+1}+3$$
D'après l'énoncé :
$$  u_{n+2} = \dfrac{3}{2}u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}$$
D'après l'hypothèse de récurrence :
$$ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3\Longleftrightarrow u_{n+1}-3=\dfrac{1}{2}u_n\Longleftrightarrow u_n=2u_{n+1}-6$$
Mixons l'énoncé et l'hypothèse de récurrence :
$$ u_{n+2}= \dfrac{3}{2}u_{n+1} - \dfrac{1}{2}\left(2u_{n+1}-6\right)=\dfrac{3}{2}u_{n+1} -u_{n+1}+3=\dfrac{1}{2}u_{n+1}+3$$
Nous avons bien démontré que $ u_{n+2}=\dfrac{1}{2}u_{n+1}+3$, par conséquent dès que $\mathscr P(n)$ est vraie, $\mathscr P(n+1)$ est vraie, la propriété $\mathscr P$ est héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} $\mathscr P$ est héréditaire et initialisée moulte fois à partir de $n=0$ donc :
$$\forall n\in\N,\quad  u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3$$
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On considère la suite $v$ définie par :
$$ v_n=u_n-6$$
\end{footnotesize}
 \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que $v$ est géométrique.}
\\
Pour tout entier naturel $n$ on a (en utilisant le résultat de la question précédente) :
$$ v_{n+1}=u_{n+1}-6=\dfrac{1}{2}u_n+3-6=\dfrac{1}{2}u_n-3=\dfrac{1}{3}\left(u_n-6\right)=\dfrac{1}{2}v_n$$
$v$ est bien une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0=u_0-6=0-6=-6$.
\item \begin{footnotesize}
Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de 
$n$
\end{footnotesize}\\
Puisque $v$ est une suite géométrique on a pour tout entier naturel $n$ :
$$ v_n=v_0\times q^n=-6\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$
Puisque $v_n=u_n-6\Longleftrightarrow u_n=v_n+6$ on obtient :
$$ \forall n\in\N,\qquad u_n=-6\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n+6$$
 \item {\footnotesize En déduire la limite de la suite $u$.}\\
 Comme $-1<\dfrac{1}{2}<1$ on a :
 $$\lim\limits_{n\to+\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$$
 Par conséquent :
 $$ \lim\limits_{n\to+\infty} u_n=-6\times 0+6=6$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\end{document}