  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2013-2014}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{Probabilité}
\newcommand{\Cl}{$2^\text{nde}$}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 4}
\rhead{Probabilité}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction Devoir Maison 3: Probabilité}

\vspace{1cm}

\textbf{Ce devoir maison de révisions, de préparation au DS3 comporte deux exercices. Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les deux suivants.}



\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
Une urne contient $17$ boules ; $5$ noires et $12$ blanches.\\
Léo pioche au hasard, successivement, deux boules de l'urne \textbf{avec remise}.\\
On note $C$ l'événement \og les deux boules piochées sont de la même couleur \fg.
\\
On note $D$ l'événement \og la première boule tirée est noire\fg.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Réaliser une arbre pondéré afin de décrire cette expérience aléatoire.}\\
En notant $N$ l'événement : \og obtenir une boule noire\fg{} on obtient l'arbre pondéré suivant :
%:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
\begin{center}
% Racine en Haut, développement vers le bas
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{feuille}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white,draw]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{2}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(-0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(-1.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(-2.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(1)*\DistanceInterFeuilles}
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({(1.5)*\InterFeuilles},{\NiveauA}) {$ $};
\node[noeud] (Ra) at ({(0.5)*\InterFeuilles},{\NiveauB}) {$N$};
\node[feuille] (Raa) at ({(0)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$N$};
\node[feuille] (Rab) at ({(1)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$\overline{N}$};
\node[noeud] (Rb) at ({(2.5)*\InterFeuilles},{\NiveauB}) {$\overline{N}$};
\node[feuille] (Rba) at ({(2)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$N$};
\node[feuille] (Rbb) at ({(3)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$\overline{N}$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$\dfrac{5}{17}$};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette] {$\dfrac{5}{17}$};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette] {$\dfrac{12}{17}$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$\dfrac{12}{17}$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette] {$\dfrac{5}{17}$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette] {$\dfrac{12}{17}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin
\item 
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Décrire par une phrase les événements suivants :
$$ C\cap D\qquad \text{et}\qquad C\cup D$$
\end{footnotesize}
$C\cap D$ est l'événement : \og les deux boules piochées sont de la même couleur et la première boule piochée est noire c'est-à-dire les deux boules piochées sont noires \fg.
\\
$C\cup D$ est l'événement : \og les deux boules piochées sont de la même couleur ou la première boule boule piochée est noire \fg.
\item {\footnotesize Calculer $p(C\cap D)$.}
$$ p(C\cap D)=\dfrac{5}{17}\times \dfrac{5}{17}=\dfrac{25}{17\times 17}=\dfrac{25}{289}$$
\item {\footnotesize En déduire $p(C\cup D)$.}
$$ p(C\cup D)=p(C)+p(D)-p(C\cap D)=\dfrac{5}{17}\times \dfrac{5}{17}+\dfrac{12}{17}\times \dfrac{12}{17}+\dfrac{5}{17}-\dfrac{25}{189}=\dfrac{144}{289}+\dfrac{5}{17}=\dfrac{144+85}{289}=\dfrac{229}{289}$$
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $p(C)$.}
$$ p(C)=\dfrac{5}{17}\times \dfrac{5}{17}+\dfrac{12}{17}\times \dfrac{12}{17}=\dfrac{25}{289}+\dfrac{144}{289}=\dfrac{169}{289}$$
\item {\footnotesize En déduire $p(\overline{C})$.}
$$ p(\overline{C})=1-p(C)=1-\dfrac{169}{289}=\dfrac{120}{289}$$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes.}\\
$\overline{C}$ est l'événement obtenir deux boules de couleurs différentes par conséquent cette probabilité vaut :
$$ \dfrac{120}{289}$$
\end{enumerate}


\end{exoi}



\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
Dans la ville des chats\footnote{Référence au livre \og 1Q84 \fg de Murakami}, chaque chat possède ses souris 
pour particper aux JO Syldaves dans la catégorie de saut à la perche. \\
Croquette\footnote{Référence au chat dans l'émission \og Bref \fg} possède trois souris appelées
Ignatz\footnote{Référence à la BD \og Krazy Kat \fg de George Herriman}, Spiegelman\footnote{Référence à la BD \og Maus \fg de Art Spiegelman}
et Mickey\footnote{Référence bien connue de tous cette fois-ci} spécialement entraînées pour le saut à la perche. 
\noindent Le tableau suivant donne la probabilité de gagner de chacune des souris lors d'un saut.
\end{footnotesize}
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} Type & Ignatz & Spiegelman & Mickey  \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} Probabilité  & $p$ & $ p $ & $ 0.1 $ \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Déterminer $p$.}
 \\
 La somme des probabilités de toutes les issues de cette expérience aléatoire vaut $1$, par conséquent :
 $$ p+p+0,1=1\Longleftrightarrow 2p=0,9\Longleftrightarrow p=0,45$$
 \item \begin{footnotesize}
 Aujourd'hui, Croquette organise une séance d'entraînement de 2 sauts consécutifs entre ces 3 souris. \\
On s'interesse aux chances de succès de la souris nommée Mickey.\\
On note $G_1$ l'événement \og Mickey gagne la première épreuve (i.e que Mickey réalise le meilleur premier saut) \fg{} et $G_2$ l'événement \og Mickey gagne la seconde épreuve  (i.e que Mickey réalise le meilleur second saut)\fg.
 \end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Réaliser une arbre pondéré afin de décrire cette expérience aléatoire.}
%:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
\begin{center}
% Racine en Haut, développement vers le bas
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{feuille}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white,draw]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{2}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(-0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(-1.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(-2.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(1)*\DistanceInterFeuilles}
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({(1.5)*\InterFeuilles},{\NiveauA}) {$ $};
\node[noeud] (Ra) at ({(0.5)*\InterFeuilles},{\NiveauB}) {$G_1$};
\node[feuille] (Raa) at ({(0)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$G_2$};
\node[feuille] (Rab) at ({(1)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$\overline{G_2}$};
\node[noeud] (Rb) at ({(2.5)*\InterFeuilles},{\NiveauB}) {$\overline{G_1}$};
\node[feuille] (Rba) at ({(2)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$G_2$};
\node[feuille] (Rbb) at ({(3)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$\overline{G_2}$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$0,1$};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette] {$0,1$};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette] {$0,9$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$0,9$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette] {$0,1$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette] {$0,9$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin
\item {\footnotesize Déterminer la probabilité de l'événement $G_1\cap G_2$.}
$$ p(G_1\cap G_2)=0,1\times 0,1=0,01$$
\item {\footnotesize Déterminer la probabilité de l'événement $G_1\cap \overline{G_2}$.}
$$ p(G_1\cap \overline{G_2})=0,1\times 0,9=0,09$$
\item {\footnotesize Déterminer la probabilité de l'événement $\overline{G_1}\cap G_2$.}
$$ p(\overline{G_1}\cap G_2)=0,9\times 0,1=0,09$$
\item {\footnotesize Déterminer la probabilité de l'événement $\overline{G_1}\cap \overline{G_2}$.}
$$ p(\overline{G_1}\cap \overline{G_2})=0,9\times 0,9=0,81$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exoi}


\end{document}
