\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du devoir Maison 2}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Raisonnement par r\'ecurrence}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macrodwicky.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

\textbf{Vous traiterez au choix deux exercices parmi les cinq suivants.}


\Exoi{\hfill $\spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $$ u_{n+1}=\sqrt{2u_n}$$
Démontrer par récurrence que :
$$ \forall n\in\N, \quad 0<u_n\leq 2$$
\end{footnotesize}
\\
Notons $\mathscr P(n)$ la propriété, pour $n\in\N$ :
$$ \mathscr P(n) : 0<u_n\leq 2$$
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : Pour $n=0$ on a $u_0=1$ et $1$ est bien compris entre $0$ et $2$. Ainsi $\mathscr P(0)$ est vraie.
\item \textbf{\textit{Hérédité }} : On suppose qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $ 0<u_n\leq 2$ et on veut démontrer que :
$$ 0<u_{n+1}\leq 2$$
On a la série d'équivalence suivante :
\begin{eqnarray*}
& & 0<u_n\leq 2 \\
& \Longleftrightarrow & 0<2u_n\leq 4\\
& \Longleftrightarrow & 0<\sqrt{2u_n}\leq \sqrt{4}=2 \\
& \Longleftrightarrow & 0<u_{n+1}\leq 2
\end{eqnarray*}
Ainsi dès lors que la propriété est vraie au rang $n$ elle l'est au rang $n+1$, cette propriété est donc héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : La propriété $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire on en déduit que :
$$ \forall n\in\N : 0<u_n\leq 2$$
\end{itemize}
}



\Exoi{\hfill $\spadesuit$\\
On considère la suite $v$ définie pour tout entier naturel $n$  par :
$$ v_0=0\quad \text{et} \quad v_{n+1}=v_n+2n+1$$
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer les cinq premiers termes de la suite $v$, puis conjecturer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.}
\\
$v_0=0$ d'après l'énonce$\dots$ ; $v_1=v_0+2\times 0+1=0+1=1$ ; $v_2=v_1+2\times 1+1=1+2+1=4$ ; $v_3=v_2+2\times 2+1=4+4+1=9$ et enfin $v_4=v_3+2\times 3+1=9+6+1=16$\\
Il semble que :
$$ \forall n\in\N, \qquad v_n=n^2$$
\item {\footnotesize Démontrer par récurrence votre conjecture émise à la question $1$.}
\\
Notons $\mathscr P(n)$ la propriété, pour $n\in\N$ :
$$ \mathscr P(n) : v_n=n^2$$
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : Pour $n=0$ on a $v_0=0$ par définition et $0^2=0$, ainsi $\mathscr P(0)$ est vraie.
\item \textbf{\textit{Hérédité }} : On suppose qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $ v_n=n^2$ et on veut démontrer que :
$$ v_{n+1}=(n+1)^2$$
Or, $$ v_{n+1}=v_n+2n+1=n^2+2n+1=(n+1)^2$$
Ainsi dès lors que la propriété est vraie au rang $n$ elle l'est au rang $n+1$, cette propriété est donc héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : La propriété $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire on en déduit que :
$$ \forall n\in\N : v_n=n^2$$
\end{itemize}
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill $ \spadesuit \spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
On considère la suite  $(v_n )$ définie pour tout entier naturel $n$ par
$$\left\{ \begin{array}{l} v_0=1 \\ v_{n+1}=\dfrac{9}{6-v_n}  \end{array} \right.$$
Démontrer par récurrence que :
$$ 0<v_n<3$$
\end{footnotesize}
\\
Notons $\mathscr P(n)$ la propriété, pour $n\in\N$ :
$$ \mathscr P(n)  0<v_n<3:$$
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : Pour $n=0$ on a $v_0=1$ d'après l'énoncé et $1$ est bien compris entre $0$ et $3$ donc $\mathscr P(0)$ est vraie.
\item \textbf{\textit{Hérédité }} : On suppose qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $ 0<v_n<3$ et on veut démontrer que :
$$0<v_{n+1}< 3$$
On a :
$$ 0<v_n<3\Longleftrightarrow -3<-v_n<0\Longleftrightarrow 3<6-v_n<6\Longleftrightarrow \dfrac{1}{6}<\dfrac{1}{6-v_n}>\dfrac{1}{3}\Longleftrightarrow \dfrac{9}{6}<\dfrac{9}{6-v_n}<3\Longleftrightarrow \dfrac{3}{2}<v_{n+1}<3$$
Or, comme $\dfrac{3}{2}>0$ on en déduit que :
$$ 0<v{n+1}<3$$
Ainsi dès lors que la propriété est vraie au rang $n$ elle l'est au rang $n+1$, cette propriété est donc héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : La propriété $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire on en déduit que :
$$ \forall n\in\N :0<v_n<3$$
\end{itemize}
}
\pagebreak

\Exoi{\hfill $ \spadesuit \spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul on a \footnote{On rappelle que $ n!=1\times 2\times \dots \times n$}:
$$ n!\geq 2^{n-1}$$
\end{footnotesize}
Notons $\mathscr P(n)$ la propriété, pour $n\in\N^*$ :
$$ \mathscr P(n) : n!\geq 2^{n-1}$$
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : Pour $n=0$ on a d'une part $1!=1$ et d'autre part $2^{1-1}=2^0=1$, ainsi $1!=2^{1-1}$, par conséquent $\mathscr P(0)$ est vraie.
\item \textbf{\textit{Hérédité }} : On suppose qu'il existe un entier naturel non nul $n$ tel que $ n!\geq 2^{n-1}$ et on veut démontrer que :
$$ (n+1)!\geq 2^{n}$$
Or $(n+1)!=(n+1)\times n!$ et puisque on a supposé que $n!\geq 2^{n-1}$ on a :
$$ (n+1)!=(n+1)\times n!\geq (n+1)\times 2^{n-1}$$
Puisque $n$ est un entier non nul on a $n+1\geq 2$ ce qui donne :
$$ (n+1)!\geq (n+1)\times 2^{n-1} \geq 2\times 2^{n-1}=2^n$$
Ainsi dès lors que la propriété est vraie au rang $n$ elle l'est au rang $n+1$, cette propriété est donc héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : La propriété $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=1$ et est héréditaire on en déduit que :
$$ \forall n\in\N^* : n!\geq 2^{n-1}$$
\end{itemize}}

\pagebreak


\Exoi{\hfill $\spadesuit \spadesuit \spadesuit \spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
Démontrer par récurrence que pour tout entier $n > 4$ on a :
$$ 2^n>n^2$$
\end{footnotesize}
Notons $\mathscr P(n)$ la propriété, pour $n\in \N $ avec $n>4$ :
$$ \mathscr P(n) : 2^n>n^2$$
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : Pour $n=5$ on a d'une part $2^5=32$ et d'autre part $5^2=25$, effectivement $32>25$ donc $\mathscr P(0)$ est vraie.
\item \textbf{\textit{Hérédité }} : On suppose qu'il existe un entier naturel $n>4$ tel que $ 2^n>n^2$ et on veut démontrer que :
$$ 2^{n+1}>(n+1)^2$$
Or $2^{n+1}=2\times 2^n$ d'où :
$$ 2^{n+1}>2\times n^2=2n^2$$
Il faut encore démontrer que $2n^2\geq (n+1)^2$ i.e que $2n^2\geq n^2+2n+1$ i.e que $2n^2-n^2-2n-1\geq 0\Longleftrightarrow n^2-2n-1\geq 0$\\
Notons $Q$ le polynôme définie par $Q(n)=n^2-2n-1$ et établissons son tableau de signe.\\
$\Delta=b^2-4ac=4+4=8$, ce polynôme admet donc deux racines réelles :
$$ n_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2-2\sqrt{2}}{2}=1-\sqrt{2}<0\qquad \text{et}\qquad n_2=1+\sqrt{2}$$
Le tableau de signe de $Q$ est alors le suivant :
\input tabvar.tex
$$\tabvar{%
\tx{n}&\tx{-\infty}&&\tx{n_1}&&\tx{n_2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{Q(n)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$
Dès lors que $n>1+\sqrt{2}\simeq 2,4$ on a $Q(n)>0$. Par conséquent pour tout nombre entier $n$ strictement supérieur à $4$ on a :
$$ n^2-2n-1>0 \Longrightarrow 2n^2 >(n+1)^2$$
On avait démontré que $$ 2^{n+1}>2n^2$$
On en déduit que :
$$ 2^{n+1}>(n+1)^2$$
  Ainsi dès lors que la propriété est vraie au rang $n$ elle l'est au rang $n+1$, cette propriété est donc héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : La propriété $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=5$ et est héréditaire on en déduit que :
$$ \forall n\in\N \quad \text{avec }n>4 : 2^n>n^2$$
\end{itemize}
}
\end{document}