\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du devoir Maison 2}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Divisibilit\'e}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\Cr{\decofourleft~ \typedoc ~\decofourright \\ \Ch}




 

\Exoi{\hfill $\spadesuit\spadesuit $\\ 
 {\footnotesize  Soit $n$ un entier différent de $-4$. On souhaite montrer que $\dfrac{5n++21}{n+4}$ est une fraction irréductible.}
  \begin{enumerate}
  \item {\footnotesize Montrer que si un entier $k$ divise simultanément $n+4$ et $5n+21$ alors $k=-1$ ou $k=1$.}\\
  Si $k$ divise simultanément $n+4$ et $5n+21$ alors il divise aussi tout nombre de la forme :
  $$ u(n+4)+v(5n+21)$$
  où $u$ et $v$ désignent des entiers relatifs.\\
  En choisissant $u=5$ et $v=-1$, $k$ divise en particulier $5(n+4)-(5n+21)=20-21=-1$.\\
  $k$ divise donc $-1$, ce qui prouve que $$k=\pm 1$$
  \item {\footnotesize En déduire que, pour tout $n\in\Z$, la fraction $\dfrac{5n+21}{n+4}$ est irréductible.}
  \\
  Si la fraction est réductible il existe un entier naturel $k>1$ qui divise simultanément $5n+21$ et $n+4$.\\
  D'après la première question $k=1$ ce qui est absurde donc la fraction est irréductible. 
  \end{enumerate}
  }

\Exoi{\hfill $\spadesuit\spadesuit $\\ 
{\footnotesize Déterminer tous les couples $(a,b)$ d'entiers relatifs tels que $4a^2-b^2=27$.}\\
On cherche donc les couples $(a,b)$ d'entiers relatifs tels que :
$$ 4a^2-b^2=27\Longleftrightarrow (2a-b)(2a+b)=27$$
Les entiers $a$ et $b$ sont alors tels que $2a\pm b$ divise $27$.\\
Listons les diviseurs de $27$ :
$$ \mathscr D(27)=\{-27;-9;-3;-1;1;3;9;27\}$$}
Comme $(2a-b)(2a+b)=27$ on a :
$$ \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=27 \\ 2a+b=1  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=27 \\ 4a=28\rightarrow a=7  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=27\rightarrow b=-13 \\ a=7  \end{array} \right.$$
Un premier couple solution est donc $(7;-13)$, mais on peut aussi avoir :
$$ \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=9 \\ 2a+b=3  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=9 \\ 4a=12\rightarrow a=3  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=9\rightarrow b=-3 \\ a=3  \end{array} \right. $$
Un autre couple solution est donc $(3;-3)$ mais on peut aussi avoir :
$$ \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=3 \\ 2a+b=9  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=3 \\ 4a=12\rightarrow a=3  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=3\rightarrow b=3 \\ a=3  \end{array} \right. $$
Un autre couple solution est donc $(3;3)$ mais on peut aussi avoir :
$$ \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=1 \\ 2a+b=27  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=1 \\ 4a=28\rightarrow a=7 \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=1\rightarrow b=13 \\ a=7  \end{array} \right. $$
Un autre couple solution est donc $(7;13)$ mais on peut aussi avoir :
  $$ \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=-1 \\ 2a+b=-27  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=-1 \\ 4a=-28\rightarrow a=-7 \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=-1\rightarrow b=-13 \\ a=-7  \end{array} \right. $$
Un autre couple solution est donc $(-7;-13)$ mais on peut aussi avoir :
$$ \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=-3 \\ 2a+b=-9  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=-3 \\ 4a=-12\rightarrow a=-3 \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=-3\rightarrow b=-3 \\ a=-3  \end{array} \right. $$
Un autre couple solution est donc $(-3;-3)$ mais on peut aussi avoir :
$$ \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=-9 \\ 2a+b=-3  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=-9 \\ 4a=-12\rightarrow a=-3 \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=-9\rightarrow b=3 \\ a=-3  \end{array} \right. $$
Un autre couple solution est donc $(-3;3)$ mais on peut aussi avoir :
$$ \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=-27 \\ 2a+b=-1  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=-27 \\ 4a=-28\rightarrow a=-7 \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a-b=-27\rightarrow b=13 \\ a=-7  \end{array} \right. $$
Un dernier couple solution est donc $(-7;13)$. Pour résumer l'ensemble des $8$ couples solutions est :
$$ \mathscr S=\{(\pm 3,\pm 3);(\pm 7,\pm 13)\}$$
\end{document}