  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2013-2014}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Généralité sur les fonctions}
\newcommand{\Cl}{$2^\text{nde}$}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 2}
\rhead{Généralité sur les fonctions}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir maison 2 : Fonctions}


\textbf{Ce devoir maison de révisions, de préparation au DS2 comporte deux exercices. Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les deux suivants.}



\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=2x^2+x+3$$
La représentation graphique $\mathscr C_f$ de cette fonction est donnée au dos.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize En faisant apparaître les traits de construction, utiliser le graphique pour :}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Donner l'image de $0$, l'image de $1$ et l'image de $\sqrt{2}$.}\\
L'image de $0$ est $3$; celle de $1$ est environ $5$ et enfin celle de $\sqrt{2}$ est environ $8,4$.
\item {\footnotesize Donner le (ou les) antécédent(s) de $3$ par $f$.}\\
$3$ a deux antécédents qui sont $0$ et $-0,5$.
\item {\footnotesize Dresser le tableau de signe de $f(x)$.}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f(x)}&&\tx{+}&\cr
}$$
$\mathscr C_f$ est au dessus de l'axe des abscisses donc $f(x)>0$.
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Dans cette question, il s'agit de justifier les résultats à l'aide de calculs.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer l'image de $0$, l'image de $1$ et celle de $\sqrt{2}$.}\\
$f(0)=2\times 0^2+0+3=3$ puis $f(1)=2+1+3=6$ et enfin :
$$ f\left(\sqrt{2}\right)=4+\sqrt{2}+3=7+\sqrt{2}$$
\item {\footnotesize Calculer le (ou les) antécédent(s) de $3$ par $f$.}\\
 On cherche les réels $x$ tels que $f(x)=3$ c'est-à-dire tels que :
 $$ f(x)=3\Longleftrightarrow 2x^2+x+3=3\Longleftrightarrow 2x^2+x=0\Longleftrightarrow x(2x+1)=0$$
 Cette équation produit nul admet deux solutions $x=0$ et la solution de l'équation $2x+1=0\Longleftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}$.\\
 Ainsi $3$ admet deux antécédents $0$ et $-\dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{coDM2.eps}\end{center}

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize La question $(a)$ ci-dessous est utile pour résoudre l'équation de la question $(b)$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Développer $(x-1)^2(x+2)$.}\\
Pour tout réel $x$ on a :
$$ (x-1)^2(x+2)=(x^2-2x+1)(x+2)=x^3+2x^2-2x^2-4x+x+2=x^3-3x+2$$
\item {\footnotesize Résoudre l'équation $x^3-3x+2=0$.}\\
L'équation $x^3-3x+2=0$ équivaut à $(x-1)^2(x+2)=0$. Cette équation produit nul admet deux solutions :
$$ (x-1)^2=0\qquad \text{ou} \qquad x+2=0$$
c'est-à-dire :
$$ x=1\qquad \text{ou}\qquad x=-2$$
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par :
$$ f(x)=x^3\qquad \text{et} \qquad g(x)=3x-2$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Tracer soigneusement les représentations graphiques $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ de $f$ et $g$ sur l'intervalle $[-2;2]$.}
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{courbeDM2.eps}
\end{center}
\item {\footnotesize Déterminer graphiquement les coordonnées des points communs de $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$.}\\
Ces deux courbes ont deux points communs, il ont pour coordonnées $A(1;1)$ et $B(-2;-8)$.
\end{enumerate}
\item {\footnotesize A l'aide de la question $1.$ retrouver ce résultat par calcul.}\\
On cherche $x$ tels que $f(x)=g(x)\Longleftrightarrow x^3=3x-2\Longleftrightarrow x^3-3x+2=0$. Cette équation admet deux solutions d'après la question $1$, $x=1$ et $x=-2$.\\
Les ordonnées se trouvent en calculant leurs images :\\
$g(1)=3-2=1$ et $g(-2)=-6-2=-8$
\item \begin{footnotesize}
Résoudre graphiquement l'inéquation $
f(x)\leq 1$.
\end{footnotesize}
\\
$f(x)\leq 1\Longleftrightarrow x\leq 1$.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\end{document}