\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du devoir maison 24}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Loi Exponentielle - Loi Normale}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav



\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
Une étude statistique a montré que la durée de vie en années $X$ d'un disque dur DD pouvait être modélisée par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle et que la durée de vie moyenne d'un disque dur DD était de $5$ ans.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer le paramètre $\lambda$ de la loi exponentielle suivie par $X$.}\\
L'espérance d'une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est :
$$E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$$
Par conséquent :
$$ \dfrac{1}{\lambda}=5\Longleftrightarrow \lambda =\dfrac{1}{5}$$
\item {\footnotesize Le disque dur DD est garanti $2$ ans. Quelle probabilité, à $10^{-3}$ près, de disques durs DD sera retournée au fournisseur pour cause de panne ?}
\\
On cherche donc $p(X\leq 2)=\int_0^2 \dfrac{1}{5}e^{-\frac{1}{5}t}dt=\left[-e^{-\frac{1}{5}t}\right]_0^2=-e^{-\frac{2}{5}}+e^0=1-e^{-\frac{2}{5}}\simeq 0,330$
\item {\footnotesize Calculer $p(X\geq 3)$ et interpréter ce résultat.}
$$ p(X\geq 3)=1-p(X\leq 3)=1-\left(1-e^{-\frac{3}{5}}\right)=e^{-\frac{3}{5}}\simeq 0,549$$
Il y a plus d'une chance sur deux que la durée de vie du disque dur dépasse $3$ ans.
\item {\footnotesize Démontrer que $p_{X\geq 2}(X\geq 5)=p(X\geq 3)$.}
$$ p_{X\geq 2}(X\geq 5)=\dfrac{p\left((X\geq 2)\cap (X\geq 5)\right)}{p(X\geq 2)}=\dfrac{p(X\geq 5)}{p(X\geq 2)}$$
or, pour tout réel $t>0$ on a $p(X\geq t)=e^{-\frac{t}{5}}$, ainsi en particulier $p(X\geq 3)=e^{-\frac{3}{5}}$. Par conséquent :
$$p_{X\geq 2}(X\geq 5)= \dfrac{p(X\geq 5)}{p(X\geq 2)}=\dfrac{e^{-\frac{5}{5}}}{e^{-\frac{2}{5}}}=e^{-1+\frac{2}{5}}=e^{-\frac{3}{5}}=p(X\geq 3)$$
\item {\footnotesize Sachant qu'un disque dur DD n'est plus sous garantie, quelle est la probabilité, à 0,01 près, que sa probabilité de vie totale dépasse $5$ ans ?}
\\
On cherche donc $p_{X\geq 2}(X\geq 5)$ et d'après la question précédente on obtient :
$$ p_{X\geq 2}(X\geq 5)=p(X\geq 3)=e^{-\frac{3}{5}}\simeq 0,549$$
\item {\footnotesize Calculer la probabilité que le disque dur DD fonctionne entre $5$ et $10$ ans.}
$$ p(5\leq X\leq 10)=\int_5^{10} \frac{1}{5}e^{-\frac{1}{5}t}dt=\left[-e^{-\frac{1}{5}t}\right]_5^{10}=-e^{-\frac{10}{5}}+e^{-\frac{5}{5}}=e^{-1}-e^{-2}\simeq 0,2325$$
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}
{\footnotesize Une compagnie de taxis possède $100$ véhicules. On considère que chacun des véhicules a une probabilité de $0,1$ d'être en panne. Soit $X$ le nombre de véhicules en panne dans cette compagnie.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Quelle est la loi de $X$ ? Donner l'expression de $p(X=k)$ pour tout entier naturel $k$ compris entre $0$ et $100$.}
\\
Chacun des $100$ taxis peut être en panne ou non. Chaque taxis a la même probabilité d'être en panne que les autres, ainsi la variable aléatoire qui compte le nombre de taxis en panne suit une loi binomiale de paramètre $100$ et $0,1$.
\item {\footnotesize Calculer $p(0\leq X\leq 5)$ en vous aidant d'une calculatrice. Interpréter.}
$$ p(0\leq X\leq 5)\simeq 0,0576$$
La probabilité qu'il y ait moins de $5$ taxis en panne vaut $0,0576$ environ.
\item {\footnotesize Est-il raisonnable d'utiliser l'approximation fournie par le théorème de Moivre-Laplace pour calculer la probabilité précédente ?}
\\
On considère que l'approximation fournie par le théorème de Moivre Laplace est raisonnable si $n=100\geq 30$, si $np=100\times 0,1=10\geq 5$ et si $n(1-p)=100\times 0,95=90\geq 5$. Les trois conditions sont remplies donc il est raisonnable d'utiliser l'approximation fournie par le théorème de Moivre Laplace.
\item {\footnotesize Donner une valeur approchée de la probabilité demandée à l'aide de l'approximation précédente.}
\\
$E(X)=np=10$ et $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}=3$ et de plus :
$$ p(0\leq X\leq 5)=p\left(\frac{0-10}{3}\leq \dfrac{X-10}{3}\leq \dfrac{5-10}{3}\right)=p\left(\frac{-10}{3}\leq \dfrac{X-10}{3}\leq \dfrac{-5}{3}\right)$$
D'après le théorème de Moivre Laplace on a :
$$ p(0\leq X\leq 5)\simeq \int_{-\frac{10}{3}}^{-\frac{5}{3}}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\simeq 0,0474$$
\end{enumerate}
\end{exoi}
\end{document}
