\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du Devoir Maison 22}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Complexe}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav



\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $A_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$ défini par : 

\[z_{0} = 1\quad  \text{et}\quad  z_{n+1} = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right)z_{n}.\]

On définit la suite $\left(r_{n}\right)$ par $r_{n} = \left|z_{n}\right|$ pour tout entier naturel $n$.

\end{footnotesize}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Donner la forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$. }
$$ \left|\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right|=\sqrt{\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)^2}=\sqrt{9/16+3/16}=\dfrac{2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

et donc :
$$ \dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2} i\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\cos \dfrac{\pi}{3}+\sin \dfrac{\pi}{3} i\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{i\frac{\pi}{3}}$$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \begin{footnotesize}
		Montrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique de raison 
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
		\end{footnotesize}
		Pour tout entier naturel $n$ :
		$$ r_{n+1}=\left|z_{n+1}\right|=\left| \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right)z_{n}\right|=\left|\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right| \times |z_n|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times r_n$$
		Par conséquent la suite est géométrique de raison $\dfrac{2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
		\item {\footnotesize En déduire l'expression de $r_{n}$ en fonction de $n$.}
		
		Puisque $(r_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et de premier terme $r_0=|z_0|=1$ on a :
		$$ \forall n\in \N, \qquad r_n=r_0\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n$$ 
		\item {\footnotesize Que dire de la longueur O$A_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ?}
		
		On a :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} OA_n=\lim\limits_{n\to +\infty} |z_n|=\lim\limits_{n\to +\infty} r_n= \lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n$$

Et puisque $-1<\dfrac{\sqrt{3}}{2}<1$ on obtient :
$$\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n=0 $$

Par conséquent la longueur $OA_n$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
	\end{enumerate} 
\item\begin{footnotesize}
 On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|l|X|}\hline 
Variables& $n$ entier naturel\\  
&$R$ réel\\ 
&$P$ réel strictement positif\\ \hline 
Entrée& Demander la valeur de $P$\\ \hline  
Traitement &$R$ prend la valeur 1\\ 
&$n$ prend la valeur 0\\ 
&Tant que $R > P$\\ 
&\hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\ 
&\hspace{0,5cm}$R$ prend la valeur $\dfrac{\sqrt{3}}{2}R$\\ 
&Fin tant que\\ \hline 
Sortie &Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\end{footnotesize}

	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour $P = 0,5$ ? }
		
		Puisque $1>0,5$  on a $n=1$ puis $R=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
		
		De nouveau comme $\dfrac{\sqrt{3}}{2}>0,5$ on a $n=2$ et $R=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}$.
		
		Puisque $\dfrac{3}{4}>0,5$  on continue et $n=3$ puis $R=\dfrac{3\sqrt{3}}{8}$
		
		Puisque encore $\dfrac{3\sqrt{3}}{8}>0,5$ on continue et $n=4$ puis $R=\dfrac{9}{16}$.
		
		Puisque de nouveau $\dfrac{9}{16}>0,5$ on continue et $n=5$ puis $R=\dfrac{9\sqrt{3}}{32}$
		
		Enfin $\dfrac{9\sqrt{3}}{32}<0,5$ donc l'algorithme affiche :
		$$ n=5\qquad \text{lorsque l'utilisateur entre }P=0,5$$
		\item {\footnotesize Pour $P = 0,01$ on obtient $n = 33$. Quel est le rôle de cet algorithme ?}
		
		Cet affiche affiche la plus petite valeur de $n$ telle que $OA_n\leq p$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Démontrer que le triangle O$A_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$. }
		
		Démontrons que :
		
		$$ \left(\overrightarrow{OA_{n+1}}; \overrightarrow{A_{n+1}A_n}\right)=\dfrac{\pi}{2} [\pi]$$
		
		Pour cela démontrons que le nombre complexe $ \dfrac{z_n-z_{n+1}}{z_{n+1}}$ a pour argument $\pm\dfrac{pi}{2} [2\pi]$ c'est-à-dire démontrons que le nombre complexe $ \dfrac{z_n-z_{n+1}}{z_{n+1}}$ est un imaginaire pur.
		
		$$  \dfrac{z_n-z_{n+1}}{z_{n+1}}=\dfrac{z_n-\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_n}{\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_n}=\dfrac{z_n\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)}{\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_n}=\dfrac{\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}i}{\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i}$$
		
		Poursuivons :
		$$ \dfrac{z_n-z_{n+1}}{z_{n+1}}=\dfrac{1-\sqrt{3}i}{3+\sqrt{3}i}=\dfrac{(1-\sqrt{3}i)(3-\sqrt{3}i)}{(3+\sqrt{3}i)(3-\sqrt{3}i)} =\dfrac{3-\sqrt{3}i-3\sqrt{3}i-3}{12}=\dfrac{-4\sqrt{3}i}{12}=-\dfrac{\sqrt{3}i}{3}\in i\R$$
		\item \begin{footnotesize}
		On admet que $z_{n} = r_{n}\text{e}^{\text{\'i}\frac{n\pi}{6}}$.
		 
Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $A_{n}$ est un point de l'axe des ordonnées.
		\end{footnotesize} 

$A_n$ est un point de l'axe des ordonnées si et seulement si l'argument de $z_n$ vaut $\pm \dfrac{\pi}{2} [2\pi]$  ou $z_n=0$.

Il est impossible que $z_n=0$ puisque $r_n>0$ pour tout entier naturel $n$.

Or, l'argument de $z_n$ est $n\dfrac{\pi}{6} [2\pi]$, on est amené à résoudre :
$$ n \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2} [\pi]$$

Ecrivons cette égalité sans le modulo $\pi$ :
$$ n\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi \qquad \text{avec }k\in \Z$$

Par conséquent :
$$ n\pi=3\pi+6k\pi \Longleftrightarrow n=3+6k$$
		
Au final $A_n$		
		\item \begin{footnotesize}
		Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points $A_{6}, A_{7}, A_{8}$ et $A_{9}$.
		 
Les traits de construction seront apparents.
		\end{footnotesize}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=8.0cm,yunit=8.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.46,-0.51)(1.05,0.72)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.46,-0.51)(1.05,0.72)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.7,0.41)(0.73,0.36)(0.78,0.39)(0.75,0.43)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.35,0.6)(0.4,0.57)(0.42,0.62)(0.38,0.65)
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\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-0.25,0.44)(-0.21,0.47)(-0.23,0.51)(-0.28,0.49)
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\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-0.27,-0.16)(-0.3,-0.11)(-0.34,-0.13)(-0.32,-0.18)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-0.13,-0.23)(-0.18,-0.2)(-0.21,-0.25)(-0.16,-0.27)
\psline(0.75,0.43)(1,0)
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\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.5235987755982988}{1.0471975511965976}{0.08*cos(t)+0|0.08*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
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\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](1,0)
\rput[bl](0.86,0.01){$A_0 = 1 + 0i$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.75,0.43)
\rput[bl](0.76,0.45){\blue{$A_1$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.38,0.65)
\rput[bl](0.39,0.66){\darkgray{$A_2$}}
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\rput[bl](0.01,0.66){\darkgray{$A_3$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.28,0.49)
\rput[bl](-0.27,0.5){\darkgray{$A_4$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.42,0.24)
\rput[bl](-0.41,0.26){\darkgray{$A_5$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.42,0)
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\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.32,-0.18)
\rput[bl](-0.31,-0.17){\darkgray{$A_7$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.16,-0.27)
\rput[bl](-0.15,-0.26){\darkgray{$A_8$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,-0.27)
\rput[bl](0.01,-0.26){\darkgray{$A_9$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](0.01,0.01){\blue{$O$}}
\rput[bl](0.09,0.01){\qqwuqq{$30\textrm{\degre}$}}
\rput[bl](0.06,0.07){\qqwuqq{$30\textrm{\degre}$}}
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\rput[bl](-0.11,0.07){\qqwuqq{$30\textrm{\degre}$}}
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\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{document}
