\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction Devoir Maison 21}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Espace}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav



\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
Dans le repère orthonormé \Oijk{} de l'espace, on considère : 

\end{footnotesize}
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item \begin{footnotesize}
les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ d'équations : 

\[\mathcal{P} \::\: x - y - z - 2 = 0\quad \text{et}\quad \mathcal{P}'\::\: x + y + 3z = 0.\]
\end{footnotesize}
 
\item la droite $\mathcal{D}$ ayant pour représentation paramétrique : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&= &	-3 - 2t \\
y&=& 	2t\\ 
z &=& 1 + 2t
\end{array}\right. \quad t \in \R.\] 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize La droite $\mathscr D$ est-elle orthogonale au plan $\mathscr P$ ?}

La droite $\mathscr D$ est orthogonale au plan $\mathscr P$ si et seulement si un vecteur directeur de $\mathscr D$ est colinéaire à un vecteur normal de $\mathscr P$. 

Vérifions le... Un vecteur directeur de $\mathscr D$ est le vecteur $\vec{d}(-2;2;2)$ et un vecteur normal de $\mathscr P$ est $\vec{n}(1;-1;-1)$, on a bien $\vec{d}=-2\vec{n}$, on en déduit que $\mathscr D$ est orthogonale au plan $\mathscr P$.
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que les plans $\mathscr P$ et $\mathscr P'$ sont sécants.}

$\mathscr P$ et $\mathscr P'$ sont sécants si et seulement si un vecteur normal de $\mathscr P$ est non colinéaires à un vecteur normal de $\mathscr P'$.

Vérifions le... Un vecteur normal de $\mathscr P$ est $\vec{n}(1;-1;-2)$ et un vecteur normal de $\mathscr P'$ est $\vec{n'}(1;1;3)$. N'existant pas de réel $k$ tels que $\vec{n'}=k\vec{n}$ on en déduit que $\mathscr P$ et $\mathscr P'$ sont sécants en une droite visiblement appelée $\Delta$.
\item {\footnotesize Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ d'intersection des plans $\mathscr P$ et $\mathscr P'$.}

Soit $M(x;y;z)\in \Delta$ alors :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x-y-z-2&= &0 \\
x+y+3z&=& 0\\ 
\end{array}\right.\]

Posons $x=t$ puis exprimons $x$ et $y$ en fonction de $t$ :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
t-y-z-2&= &0 \\
t+y+3z&=& 0\\ 
\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l c l}
y&= &t-2-z \\
t+y+3z&=& 0\\ 
\end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l c l}
y&= &t-2-z \\
t+t-2-z+3z&=& 0\\ 
\end{array}\right. \]
Au final :
\[  \left\{\begin{array}{l c l}
y&= &t-2-z \Longrightarrow y=t-2-1+t=2t-3\\
 2z&=& 2-2t \Longrightarrow z=1-t\\ 
\end{array}\right.\]

Une représenta	tion paramétrique de $\Delta$ est donc :
$$ \Delta : \left\{\begin{array}{l c l}
x&= &t\\
 y&=&2t-3\qquad t\in \R \\
 z&=& 1-t  \\
\end{array}\right.$$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Etudier la position relative des droites $\mathscr D$ et $\Delta$.}

$\vec{d}(-2;2;2)$ dirige $\mathscr D$ et $\vec{\delta}(1;2;-1)$ dirige $\Delta$, de plus ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, on en déduit que $\mathscr D$ et $\Delta$ ne sont pas parallèles. Observons que :
$$ \vec{d}\cdot \vec{\Delta}=-2+4-2=0$$
Il suit que $\mathscr D$ et $\Delta$ sont orthogonales. Mais sont-elles perpendiculaires c'est-à-dire sont-elles sécantes ? Pour le savoir il faut chercher l'éventuel point d'intersection des deux droites en résolvant :

$$ \left\{\begin{array}{l }
-3-2t=t'\\
2t=2t'-3\\
1+2t=1-t'\\
\end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l }
t'+2t=3\\
2t-2t'=-3\\
2t+t'=1\\
\end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l }
t'+2t=3\\
3t'=6 \Longrightarrow t'=2\\
2t+t'=1\\
\end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l }
2t=1 \Longrightarrow t=0,5\\
 t'=2\\
2t=-1 \Longrightarrow t=-0,5\\
\end{array}\right.$$
La paramètre $t$ peut pas prendre deux valeurs différentes en même temps, il suit que le système n'admet aucune solution et donc que les droites $\mathscr D$ et $\Delta$ ne sont pas sécantes.
\item {\footnotesize Déterminer l'équation de la sphère $\mathscr S$ de centre $O$ et de rayon $2$.}
$M(x;y;z)\in \mathscr S \Longleftrightarrow OM^2=4$ ce qui équivaut à :
$$\mathscr S : x^2+y^2+z^2=4$$
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que les points $A(0;0;-2)$, $B(2;0;0)$ et $C(0;-2;0)$ sont trois points  non alignés.}

$\overrightarrow{AB}(2;0;2)$ et $\overrightarrow{AC}(0;-2;2)$ sont deux vecteurs non colinéaires, par conséquent les points $A$, $B$ et $C$ sont non alignés.
\item {\footnotesize Vérifier que $A$, $B$ et $C$ sont trois points du plan $\mathscr P$.}

$\mathscr P : x-y-z-2=0$ et $A(0;0;-2)$. Les coordonnées de $A$ satisfont-elles l'équation de $\mathscr P$ ? 

$$ 0-0-(-2)-2=2-2=0$$

Les coordonnées de $A$ satisfont l'équation de $\mathscr P$ donc $A\in \mathscr P$.

On procède de manière identique pour montrer que $B\in \mathscr P$ et $C\in \mathscr P$.
\item {\footnotesize Vérifier que $A$, $B$ et $C$ sont trois points de la sphère $\mathscr S$.}

$\mathscr S : x^2+y^2+z^2=4$ et $A(0;0;-2)$. Les coordonnées de $A$ satisfont-elles l'équation de $\mathscr S$ ?

$$ 0^2+0^2+(-2)^2=4$$

Les coordonnées de $A$ satisfont l'équation de $\mathscr S$ donc $A\in \mathscr S$. 

On procède de manière identique pour montrer que $B\in \mathscr S$ et $C\in \mathscr S$.

\item {\footnotesize Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?}

$\overrightarrow{AB}(2;0;2)$ donc :
$$ AB=\sqrt{2^2+0^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$

De même on montre que $AC=BC=AB=2\sqrt{2}$ ce qui permet de conclure que le triangle $ABC$ est équilatéral.
\item {\footnotesize On note $\mathscr C=\mathscr P\cap \mathscr S$. Quelle est la nature de $\mathscr C$ ?}

L'intersection entre une sphère et un plan est soit :

\begin{itemize}
\item un cercle.
\item un point.
\item l'ensemble vide.
\end{itemize}

$\mathscr C$ contient au moins $A$, $B$ et $C$ donc $\mathscr C$ est nécessairement un cercle.
\item {\footnotesize On admet que $\mathscr C$ est un cercle, déterminer les coordonnées du centre $G$ de $\mathscr C$ et calculer son rayon.}

$\mathscr C$ est donc le cercle circonscrit du triangle $ABC$, son centre est donc le point d'intersection des médiatrices mais aussi des médianes puisque le triangle $ABC$ est équilatéral, par conséquent le centre $\mathscr C$ est le centre de gravité du triangle $ABC$ donc :
$$ G\left(\dfrac{0+2+0}{3};\dfrac{0+0-2}{3};\dfrac{-2+0+0}{3}\right) \Longleftrightarrow G\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{-2}{3}\right)$$

Le rayon $r$ de $\mathscr C$ vaut $AG$. Or $\overrightarrow{AG}\left(\dfrac{2}{3}; -\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)$ d'où :
$$ r=AG=\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{4}{3}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{4+4+16}}{3}=\dfrac{\sqrt{24}}{3}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}
