\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du devoir maison 20}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Int\'egration}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\Cadre{Dans ce devoir maison, les élèves désirant intégrer une classe préparatoire scientifique traiteront l'exercice 2, les autres traiteront l'exercice 1.}

\begin{footnotesize}
\begin{exoi}
\partieBac{}
\medskip
 
Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty [$ par $f(x) = x\ln (x).$
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
\item On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0~;~+ \infty [$.
 Montrer que 
 
 $f'(x) = \ln(x) + 1$. 
\item Déterminer les variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty [$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\partieBac{}

\medskip
 
Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.
 
Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 2$.
 
On utilise l'algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une valeur approchée de l'aire $\mathcal{A}$. (voir la figure ci-après). 

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\psset{unit=3.6cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.4)(2.2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.4)(2.2,1.5)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.001}{2.1}{x x ln mul}
\psframe[fillstyle=hlines](1,0)(1.25,0.279)
\psframe[fillstyle=hlines](1.25,0)(1.5,0.608)
\psframe[fillstyle=hlines](1.5,0)(1.75,0.979)
\psframe[fillstyle=hlines](1.75,0)(2,1.386)
\psframe[fillstyle=vlines](1.25,0)(1.5,0.279)
\psframe[fillstyle=vlines](1.5,0)(1.75,0.608)
\psframe[fillstyle=vlines](1.75,0)(2,0.979)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](0.7,-0.2){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\textbf{Algorithme :}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables}\\ 
\hspace{0,8cm}$k$ et $n$ sont des entiers naturels \\
\hspace{0,8cm}$U, V$ sont des nombres réels\\ 
\textbf{Initialisation}\\ 
\hspace{0,8cm} $U$ et $V$ prennent la valeur 0, $n$ prend la valeur $4$\\
\textbf{Traitement}\\ 
Pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$\\ 
\hspace{0,8cm}  $U:= U + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k}{n}\right)$\\ 
\hspace{0,8cm} $V:=V + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k + 1}{n}\right)$\\ 
Fin pour\\ 
\textbf{Affichage}\\ 
\hspace{0,8cm} Afficher $U$ et $V$
\end{tabularx}
\end{center} 
\end{multicols}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que représentent $U$ et $V$ sur le graphique précédent ? 
		\item Quelles sont les valeurs $U$ et $V$ affichées en sortie de l'algorithme (on donnera une valeur approchée de $U$ par défaut à $10^{-4}$ près et une valeur approchée par excès de $V$ à $10^{-4}$ près) ? 
		\item En déduire un encadrement de $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate} 
\item Soient les suites $\left(U_{n}\right)$ et $\left(V_{n}\right)$ définies pour tout entier $n$ non nul par : 

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\[\begin{array}{l c l}
U_{n}& =&\dfrac{1}{n}\left[f(1) + f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots  + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right)\right]\\
 V_{n}&=&\dfrac{1}{n}\left[f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right) + f(2)\right]
\end{array}.\]
\renewcommand\arraystretch{1}
  
On admettra que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $U_{n} \leqslant \mathcal{A} \leqslant  V_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Trouver le plus petit entier $n$ tel que $V_{n} - U_{n} < 0,1$. 
		\item Comment modifier l'algorithme précédent pour qu'il permette d'obtenir un encadrement de $\mathcal{A}$ d'amplitude inférieure à $0,1$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip
	 
\partieBac{}

\medskip
 
Soit $F$ la fonction dérivable, définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $F(x) = \dfrac{x^2}{2} \ln x -  \dfrac{x^2}{4}.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
\item Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$. 
\end{enumerate}
\end{exoi}
\end{footnotesize}

\textbf{Correction} :
\subsection*{\textsc{Exercice 1}}


%\medskip

\subsubsection*{Partie A}
 
Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty [$ par 
$f(x) = x\ln (x)$.
 
\begin{enumerate}
\item% Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 

D'après le cours, on sait que 
$\ds\lim_{x \to +\infty} x\,\ln(x)=0$
donc
$\ds\lim_{x \to +\infty} f(x)=0$.

$\left. 
\begin{array}{@{} l}
\ds\lim_{x \to +\infty}x = +\infty\\
\ds\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty
\end{array}
\right\rbrace 
\ds\lim_{x \to +\infty} x\,\ln(x) = +\infty
$ (par produit) donc
$\ds\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$.

\item% On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0~;~+ \infty [$.
% Montrer que  $f'(x) = \ln(x) + 1$. 
 
La fonction $f$ est dérivable sur $]0\:; +\infty[$ comme produit de fonctions dérivables:

$f'(x)=1\times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} = \ln(x)+1$.
 
\item% Déterminer les variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty [$.
On étudie le signe de $f'(x)$ sur $]0\:; +\infty[$:
$\ln(x)+1>0 \iff \ln(x) >-1 \iff x > \e^{-1}$

\begin{list}{\textbullet}{Donc:}
\item La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0\:; \e^{-1}]$;
\item la fonction $f$ est strictement croissante sur $[\e^{-1}\:; +\infty[$.
\end{list}

\end{enumerate}

%\bigskip
 
\subsubsection*{Partie B}

%\medskip
 
%Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.
% 
%Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 2$.
% 
%On utilise l'algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une valeur approchée de l'aire $\mathcal{A}$. (voir la figure ci-après). 
%
%\bigskip

\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}

{\centering\textbf{Figure}\par}

\medskip

%\begin{center}
\psset{unit=2.9cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.4)(2.2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.4)(2.2,1.5)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0.001}{2.1}{x x ln mul}
{
\psset{linecolor=blue,fillstyle=vlines,hatchcolor=blue}
\psframe(1,0)(1.25,0.279)
\psframe(1.25,0)(1.5,0.608)
\psframe(1.5,0)(1.75,0.979)
\psframe(1.75,0)(2,1.386)
}
{
\psset{linecolor=red,fillstyle=hlines,hatchcolor=red}
\psframe(1.25,0)(1.5,0.279)
\psframe(1.5,0)(1.75,0.608)
\psframe(1.75,0)(2,0.979)
}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](0.7,-0.2){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
%\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}

{\centering\textbf{Algorithme}\par}

\medskip

%\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables}\\ 
\hspace{0,8cm}$k$ et $n$ sont des entiers naturels \\
\hspace{0,8cm}$U, V$ sont des nombres réels\\ 
\textbf{Initialisation}\\ 
\hspace{0,8cm} $U$ prend la valeur 0\\
\hspace{0,8cm} $V$ prend la valeur 0\\
\hspace{0,8cm} $n$ prend la valeur 4\\ 
\textbf{Traitement}\\ 
Pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$\\ 
\hspace{0,8cm} Affecter à $U$ la valeur $U + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k}{n}\right)$\\ 
\hspace{0,8cm} Affecter à $V$ la valeur $V + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k + 1}{n}\right)$\\ 
Fin pour\\ 
\textbf{Affichage}\\ 
\hspace{0,8cm} Afficher $U$\\ 
\hspace{0,8cm} Afficher $V$\\ \hline 
\end{tabularx}
%\end{center} 
\end{minipage}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Que représentent $U$ et $V$ sur le graphique précédent ? 
Sur la figure ci-dessus, le nombre $U$ représente la somme des aires des rectangles inférieurs (en rouge); cette somme minore l'aire sous la courbe. Le nombre $V$ représente la somme des aires des rectangles supérieurs (en bleu); cette somme majore l'aire sous la courbe.

		\item% Quelles sont les valeurs $U$ et $V$ affichées en sortie de l'algorithme (on donnera une valeur approchée de $U$ par défaut à $10^{-4}$ près et une valeur approchée par excès de $V$ à $10^{-4}$ près) ? 

On fait tourner l'algorithme ci-dessus:


\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\def\sep{\hspace*{0.5cm}}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline 
Variables & \sep $k$ \sep & \sep $U$ \sep  & \sep  $V$ \sep & \sep $n$ \sep  \\ 
\hline 
Initialisation &  & 0 & 0 & 4\\ 
\hline 
%Entrées & 0 &  &  \\ 
%\hline 
Traitement & 0 & 0 & {0,0698} & 4 \\ 
\cline{2-5} 
 & 1 & {0,0697} & {0,2218} & 4  \\ 
\cline{2-5} 
 & 2 & {0,2217} & {0,4667} & 4 \\ 
 \cline{2-5} 
 & 3 & {0,4666} & {0,8132} & 4 \\ 
\hline 
Affichage & \multicolumn{4}{c|}{On affiche la valeur de $U$: {0,4666} } \\ 
\cline{2-5} 
 & \multicolumn{4}{c|}{On affiche la valeur de $V$: {0,8132}} \\ 
\hline 
\end{tabular} }
\end{center}


		\item% En déduire un encadrement de $\mathcal{A}$.
On peut donc en déduire que ${0,4666} < \mathcal A < {0,8132}$.


	\end{enumerate} 

\item% Soient les suites $\left(U_{n}\right)$ et $\left(V_{n}\right)$ définies pour tout entier $n$ non nul par : 

  
On admettra que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $U_{n} \leqslant \mathcal{A} \leqslant  V_{n}$. 

	\begin{enumerate}

		\item% Trouver le plus petit entier $n$ tel que $V_{n} - U_{n} < 0,1$. 
Sachant que 
$U_{n} = \dfrac{1}{n}\left[f(1) + f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots  + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right)\right]$ et que\\
$V_{n} = \dfrac{1}{n}\left[f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right) + f(2)\right]$,\\
on peut dire que
$V_n - U_n = \dfrac{1}{n}\left (f(2)-f(1)\right ) = \dfrac{2\ln(2)-0}{n}= \dfrac{2\ln(2)}{n}$. 

$V_n-U_n < 0,1 \iff \dfrac{2\ln(2)}{n} < 0,1 \iff 2\ln(2) < 0,1\,n
\iff \dfrac{2\ln(2)}{0,1} < n$

Or $\dfrac{2\ln(2)}{0,1} \approx 13,86$ donc le plus petit entier $n$ tel que $V_n-U_n$ soit inférieur à 0,1 est 14.

Vérification: $V_{13}-U_{13}\approx 0,107 > 0,1$ et $V_{14}-U_{14}\approx 0,099<0,1$. 

		\item% Comment modifier l'algorithme précédent pour qu'il permette d'obtenir un encadrement de $\mathcal{A}$ d'amplitude inférieure à $0,1$ ?
Pour obtenir un encadrement de $\mathcal{A}$ d'amplitude inférieure à $0,1$ dans l'algorithme, il suffit d'entrer 14 comme valeur de $n$; autrement dit, au lieu de  \og{}$n$ prend la valeur 4\fg{}, on entrera \og{}$n$ prend la valeur 14\fg{}.




	\end{enumerate}

\end{enumerate}
	
%\bigskip
	 
\subsubsection*{Partie C}

Soit $F$ la fonction dérivable, définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 
$F(x) = \dfrac{x^2}{2} \ln x -  \dfrac{x^2}{4}$.

\begin{enumerate}
\item% Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
$F'(x)= \dfrac{2x}{2}\times \ln(x) + \dfrac{x^{2}}{2}\times \dfrac{1}{x} -\dfrac{2x}{4}= x\ln(x) +\dfrac{x}{2} - \dfrac{x}{2} = x\ln(x)=f(x)$

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $]0\:; +\infty[$.

\item% Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$. 

La fonction $f$ est croissante sur $[1\:; 2]$ et $f(1)=0$ donc
la fonction $f$ est positive sur $[1\:; 2]$; on peut donc dire que $\mathcal A = \ds\int_1^2 f(t) \d t$.

$\mathcal A = \ds\int_1^2 f(t) \d t = F(2)-F(1) = \left (2\ln(2)-1\right ) - \left (-\dfrac{1}{4} \right ) = 2\ln(2)-\dfrac{3}{4}$
\end{enumerate}

\begin{exoi}
\hfill \textbf{Intégrale de Wallis et Intégration par parties}\\
\partieBac{Intégration par parties.}
\begin{theo}
\begin{footnotesize}
On considère deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur un intervalle $[a;b]$, alors on a :
$$ \int_a^b u(t)v'(t) dt= \left[ u(t) v(t)\right]_a^b - \int_a^b u'(t)v(t) dt$$
\end{footnotesize}\end{theo}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Rappeler la formule permettant de dériver le produit $u(t)\times v(t)$ puis à partir de cette égalité, par passage à l'intégrale démontrer le théorème.}
\\
On sait que si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $[a;b]$ alors pour tout $t$ de l'intervalle $[a;b]$ on a :
$$ \left(u(t)v(t)\right)'=u'(t)v(t)+u(t)v'(t)$$
En intégrant le long du chemin $[a;b]$ on obtient :
$$ \int_a^b \left(u(t)v(t)\right)' dt=\int_a^b u'(t)v(t)+u(t)v'(t) dt$$
Puis par linéarité de l'intégrale on obtient :
$$ \int_a^b \left(u(t)v(t)\right)' dt=\int_a^b u'(t)v(t)dt + \int_a^b u(t)v'(t) dt$$
Enfin par la formule de Newton Leibniz on a :
$$ \left[ u(t)v(t)\right]_a^b =\int_a^b u'(t)v(t)dt + \int_a^b u(t)v'(t) dt \Longleftrightarrow   \int_a^b u(t)v'(t) dt= \left[ u(t) v(t)\right]_a^b - \int_a^b u'(t)v(t) dt$$
\item {\footnotesize En utilisant le théorème, calculer $I=\int_a^b te^t dt$ puis $J=\int_1^x \ln(t) dt$. }
\\
On pose $u(t)=t$ et $v'(t)=e^t$, par conséquent $u'(t)=1$ et $v(t)=e^t$ et d'après le théorème on a :
$$ I=[te^t]_a^b -\int_a^b e^t dt= be^b-ae^a -  [e^t]_a^b=be^b-ae^a-e^b+e^a$$
On pose $u(t)=\ln t$ et $v'(t)=1$ on a alors $u'(t)=\dfrac{1}{t}$ et $v(t)=t$ donc :
$$ J=[t\ln t ]_1^x-\int_1^x t\times \dfrac{1}{t}dt = x\ln x-\ln 1 - [t]_1^x=x\ln x- x+1$$
\end{enumerate}
\partieBac{Intégrales de Wallis}
\begin{footnotesize}
On considère pour $n\in \N$ les intégrales suivantes :
$$ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos t\right)^n dt$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize  Calculer $I_0$ puis $I_1$.}
$$ I_0=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos t\right)^0 dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dt=\left[t\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\dfrac{\pi}{2}-0=\dfrac{\pi}{2}$$
$$ I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos t\right)^1 dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t dt=\left[\sin t\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\sin \dfrac{\pi}{2}-\sin 0=1-0=1$$
\item \begin{footnotesize}
En posant $u(t)=\left(\cos t\right)^{n+1}$ et $v'(t)=\cos t$ et appliquant le théorème $1$, montrer que :
$$ I_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}I_n$$
\end{footnotesize}
\\
$u'(t)=(n+1) \left(\cos t\right)^{n} \times (-\sin t) =-(n+1)\sin t \left(\cos t\right)^{n} $ et $v(t)=\sin t$ donc d'après le théorème 1 on a :
$$ I_{n+2}=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos t\right)^{n+2} dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}} u(t)v'(t)dt=\left[\left(\cos t\right)^{n+1} \sin t\right]_0^{\frac{\pi}{2}})-\int_0^{\frac{\pi}{2}}-(n+1)\sin t \left(\cos t\right)^{n}\times \sin t dt $$
Ainsi :
$$ I_{n+2}=(n+1)\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^2 t \cos^n t dt =(n+1) \int_0^\frac{\pi}{2} (1-\cos^2 t) \cos^n t dt= (n+1)\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^n dt - (n+1)\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^{n+2} dt$$
Au final $$ I_{n+2}=(n+1)I_n-(n+1)I_{n+2}=(n+1)I_n-(n+1)I_{n+2} \Longleftrightarrow I_{n+2}(1+n+1)=(n+1)I_n \Longleftrightarrow I_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}I_n$$
\item {\footnotesize En déduire $I_3$ et $I_4$.}
$$ I_3=\dfrac{2}{3}I_1=\dfrac{2}{3}\qquad \text{et} \qquad I_4=\dfrac{3}{4}I_2=\dfrac{3}{4} \dfrac{1}{2}I_0=\dfrac{3}{8} \times \dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{16 }$$
\item \begin{footnotesize}
Montrer que  :
$$ I_{2p}=\dfrac{\left(2p\right)! \pi}{2^{2p+1} \left(p!\right)^2}\qquad \text{et}\qquad I_{2p+1}=\dfrac{2^{2p}(p!)^2}{(2p+1)!}$$
\end{footnotesize}
Montrons ces deux propriétés par récurrence.
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : Si $p=0$ alors $I_{2p}=I_0=\dfrac{\pi}{2}$ et $\dfrac{\left(2p\right)! \pi}{2^{2p+1}}=\dfrac{0! \pi}{2^{1}}=\dfrac{\pi}{2}$ donc la formule est vérifiée pour $p=0$. \\
De plus $I_{2p+1}=I_1=1$ et $\dfrac{2^{0}(0!)^2}{1!}=1$, donc l'autre formule est vérifiée.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Supposons que $ I_{2p}=\dfrac{\left(2p\right)! \pi}{2^{2p+1} \left(p!\right)^2}\qquad \text{et}\qquad I_{2p+1}=\dfrac{2^{2p}(p!)^2}{(2p+1)!}$ et montrons que : $$ I_{2p+2}=\dfrac{\left(2p+2)\right)! \pi}{2^{2p+3} \left((p+1)!\right)^2}\qquad \text{et}\qquad I_{2p+3}=\dfrac{2^{2p+2}((p+1)!)^2}{(2p+3)!}$$
On sait que $I_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}I_n$ ainsi $I_{2p+2}=\dfrac{2p+1}{2p+2}I_{2p}$ donc en utilisant l'hypothèse de récurrence on a :
$$ I_{2p+2}=\dfrac{2p+1}{2p+2}\dfrac{\left(2p\right)! \pi}{2^{2p+1} \left(p!\right)^2}=\dfrac{(2p+2)(2p+1)}{(2p+2)^2}\dfrac{\left(2p\right)! \pi}{2^{2p+1} \left(p!\right)^2}=\dfrac{\left(2p+2\right)!\pi}{(2p+2)^2\left(2^{2p+1}\right)\left(p!\right)^2}$$
Or, $2^{2p+3} \left((p+1)!\right)^2=2^{2p+1}\times 4 \times (p+1)^2\times \left(p!\right)^2=2^{2p+1}\times (4p^2+8p+4)\left(p!\right)^2= 2^{2p+1}\times (2p+2)^2\left(p!\right)^2 $.\\
Par conséquent :
$$ I_{2p+2}=\dfrac{\left(2p+2)\right)! \pi}{2^{2p+3} \left((p+1)!\right)^2}$$
On vient donc de démontrer par récurrence que pour tout $p\in \N$ on a :
$$ I_{2p}=\dfrac{\left(2p\right)! \pi}{2^{2p+1} \left(p!\right)^2}$$
On procède de la même manière pour l'autre égalité :
$$ I_{2p+3}=\dfrac{2p+2}{2p+3}I_{2p+1}=\dfrac{(2p+2)^2}{(2p+3)(2p+2)}\dfrac{2^{2p}(p!)^2}{(2p+1)!}=\dfrac{2^2(p+1)^2\left(2^{2p}\right)\left(p!\right)^2}{(2p+3)!}=\dfrac{2^{2p+2}\left(\left(p+1\right)!\right)^2}{(2p+3)!}$$
On vient donc de démontrer par récurrence que pour tout $p\in \N$ on a 
$$ I_{2p+1}=\dfrac{2^{2p}(p!)^2}{(2p+1)!}$$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}
