\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 1 et Correction}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Divisibilit\'e}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\Cr{\decofourleft~ \typedoc ~\decofourright \\ \Ch}

 \vfill

\textbf{\underline{Problème}} : 

  Montrer, par récurrence, que pour tout $n\in\N$, l'entier $n(n+1)(2n+1)$ est divisible par $6$.
  
  \vfill 
  
  \textbf{\underline{Solution}} : Montrons par récurrence la propriété $\mathscr P$ suivante :
  $$ \mathscr P(n) : \exists k\in\Z \text{tel que :} n(n+1)(2n+1)=6k$$
  
  \begin{itemize}
   \item\textbf{\textit{Initialisation}} : Pour $n=0$ :
   $$ 0(0+1)(2\times 0+1)=0=6\times 0$$
   La propriété $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$.
   \item \textbf{\textit{Hérédité}} : Supposons que pour un entier $n$ $\mathscr P(n)$ soit vraie i.e qu'il existe un entier relatif $k$ tel que :
   $$ n(n+1)(2n+1)=6k$$
   On aimerait démontrer que dans ce cas qu'il existe un autre entier relatif $k'$ tel que :
   $$ (n+1)(n+2)(2(n+1)+1)=6k'\Longleftrightarrow (n+1)(n+2)(2n+3)=6k'$$
   
   $$ (n+1)(n+2)(2n+3)=(n^2+2n+n+2)(2n+3)=(n^2+3n+2)(2n+3)=2n^3+3n^2+6n^2+9n+4n+6=2n^3+9n^2+13n+6\quad \text{ ég. 1}$$
   De plus on a supposé que :
   $$ n(n+1)(2n+1)=6k \Longleftrightarrow (n^2+n)(2n+1)=6k\Longleftrightarrow 2n^3+n^2+2n^2+n=6k\Longleftrightarrow 2n^3+3n^2+n=6k$$
   
   Reprenons l'égalité $1$ :
   $$ (n+1)(n+2)(2n+3)=2n^3+9n^2+13n+6=(2n^3+3n^2+n)+(6n^2+12n+6)=6k+6n^2+12n+6=6(k+n^2+2n+1)$$
   Puisque $k'=k+n^2+2n+1\in\Z$ on a démontré que $(n+1)(n+2)(2n+3)$ est un multiple de $6$ dès que $n(n+1)(2n+1)$ en est un.
   \\
   La propriété $\mathscr P$ est héréditaire.
   \item \textbf{\textit{Conclusion}} : La propriété $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc on a montré par récurrence que :
   $$ \forall n\in\N, \quad n(n+1)(2n+1)\quad \text{est un multiple de 6}$$
   
   
    
   \end{itemize} 

  


  
 
  
\end{document}