\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du Devoir Maison 18}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Logairthme N\'ep\'erien}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\Cadre{Dans ce devoir maison, il est obligatoire de traiter un exercice. Les élèves qui ont obtenu au bac blanc une note inférieure ou égale à 7 traiteront l'exercice 1, ce qui ont obtenu une note supérieure ou égale à 12 traiteront l'exercice 2, les autres ont le choix de l'exercice.}

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) - x.\]
\end{footnotesize}
 
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$. }\\
Comme :
		$$ \lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty  \Longrightarrow  \lim\limits_{x\to 0^+} 1+\dfrac{1}{x}=+\infty $$
		Or, 
		$$  \lim\limits_{X\to +\infty} \ln X=+\infty$$
		Par conséquent :
		$$ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$$
		De plus $$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0\Longrightarrow \lim\limits_{x\to +\infty} 1+\dfrac{1}{x}=1\Longrightarrow \lim\limits_{x\to +\infty}  \ln \left(1+\dfrac{1}{x}\right)=0$$
		Et donc :
		$$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty $$
		\item {\footnotesize Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0~;~+ \infty[$.}
		La fonction $f$ est dérivable sur son ensemble de définition comme composée de fonction dérivable et pour tout $x>0$ on a :
		$$ f'(x)=\dfrac{-\dfrac{1}{x^2}}{1+\dfrac{1}{x}}-1=\dfrac{-\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{x+1}{x}}-1=\dfrac{-x}{x^2(x+1)}-1=\dfrac{-x-x^2(x+1)}{x^2(x+1)}=-\dfrac{x(1+x(x+1)}{x^2(x+1)}$$
		Comme $x>0$ on a immédiatement  $\dfrac{x(1+x(x+1)}{x^2(x+1)}>0$ et donc $f'(x)<0$ ce qui prouve que $f$ est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
		\item {\footnotesize Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$ tel que $f(\alpha) = 0$. }
		
	La fonction $f$ est continue sur $]0;+\infty[$ et est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$ à valeurs dans $]-\infty;+\infty[$, par conséquent d'après une conséquence du TVI l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha>0$. 

\begin{footnotesize}
Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.

\end{footnotesize}
On a :
	$$ 0,806<\alpha<0,807$$
	\end{enumerate} 
\item {\footnotesize Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : $g(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)$.}
 
{\footnotesize La suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$  est définie par $u_{0} = 1,5$ et pour tout entier naturel $n \::$ $u_{n+1} = g\left(u_{n}\right) =  \ln \left(1 + \dfrac{1}{u_{n}}\right)$.}

\begin{footnotesize}
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $g$ et la droite d'équation $y = x$. 
\end{footnotesize}\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=5cm , yunit=5cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.1)(2.1,1.7)
\def\xmin{0} \def\xmax{2} \def\ymin{0} \def\ymax{1.6}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.25cm,yunit=0.25cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=20,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(2,1.5)
\psset{xunit=5cm , yunit=5cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.5,0)(1.5,0.51082)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(1.5,0)(1.5,0.51082)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.5,0.51082)(0,0.51082)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(1.5,0.51082)(0,0.51082)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.51082)(0.51082,0.51082)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,0.51082)(0.51082,0.51082)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.51082,0.51082)(0.51082,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.51082,0.51082)(0.51082,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.51082,0)(0.51082,1.08438)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.51082,0)(0.51082,1.08438)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.51082,1.08438)(0,1.08438)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.51082,1.08438)(0,1.08438)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1.08438)(1.08438,1.08438)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,1.08438)(1.08438,1.08438)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.08438,1.08438)(1.08438,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(1.08438,1.08438)(1.08438,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.08438,0)(1.08438,0.65346)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(1.08438,0)(1.08438,0.65346)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.08438,0.65346)(0,0.65346)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(1.08438,0.65346)(0,0.65346)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.65346)(0.65346,0.65346)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,0.65346)(0.65346,0.65346)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.65346,0.65346)(0.65346,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.65346,0.65346)(0.65346,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.65346,0)(0.65346,0.92834)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.65346,0)(0.65346,0.92834)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.65346,0.92834)(0,0.92834)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.65346,0.92834)(0,0.92834)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.92834)(0.92834,0.92834)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,0.92834)(0.92834,0.92834)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.92834,0.92834)(0.92834,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.92834,0.92834)(0.92834,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.92834,0)(0.92834,0.73101)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.92834,0)(0.92834,0.73101)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.92834,0.73101)(0,0.73101)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.92834,0.73101)(0,0.73101)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.73101)(0.73101,0.73101)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,0.73101)(0.73101,0.73101)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.73101,0.73101)(0.73101,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.73101,0.73101)(0.73101,0)
\def\F{1 1 x div add ln}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0.001}{2}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.001}{2}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){ O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){ $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){ $\vec{\jmath}$}
\uput[-90](1.5,0){ $u_0$}
\uput[180](0,0.51082){ $u_1$}
\uput[-90](0.51082,0){ $u_1$}
\uput[180](0,1.08438){ $u_2$}
\uput[-90](1.08438,0){ $u_2$}
\uput[180](0,0.65346){ $u_3$}
\uput[-90](0.65346,0){ $u_3$}
\uput[180](0,0.92834){ $u_4$}
\uput[-90](0.92834,0){ $u_4$}
\uput[180](0,0.73101){ $u_5$}
\uput[-90](0.73101,0){ $u_5$}
\end{pspicture*}


\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Construire sur l'axe des abscisses, en laissant les traits de construction apparents, les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ }
		\item {\footnotesize Le graphique permet-il d'émettre les conjectures suivantes ? On recopiera sur la copie le numéro de la conjecture suivie de OUI ou NON. Aucune justification n'est demandée.}
\begin{itemize}
\item[$\bigstar$ ] {\footnotesize Conjecture n$^\circ$ 1 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est monotone. \fg }

Cette suite n'est pas monotone puisque $u_0>u_1$ et que $u_2>u_1$.
\item[$\bigstar$] {\footnotesize Conjecture n$^\circ$ 2 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est minorée par $0,5$. \fg }

Le graphique porte à le croire.
\item[$\bigstar$] {\footnotesize Conjecture n$^\circ$ 3 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ converge vers 1. \fg }

Il semblerait qu'elle converge vers un nombre inférieur à $1$, vers l'abscisse du point d'intersection des deux courbes i.e. vers la solution de l'équation $\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=x$ i.e. vers $\alpha$.
\end{itemize}
		\item {\footnotesize On admet que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est convergente vers une limite $\ell$ strictement positive.}
		 
\begin{footnotesize}
		Montrer que $\ln \left(1 + \dfrac{1}{\ell}\right) = \ell$. 

		\end{footnotesize}		
		
Puisque $u_{n+1}=g(u_n)$, que $g$ est une fonction continue sur $]0;+\infty[$ il vient par passage à la limite que :
$$ \ell=g\left(\ell\right)\Longleftrightarrow \ell = \ln \left(1 + \dfrac{1}{\ell}\right) $$		
		\item {\footnotesize Montrer que $\ell = \alpha$. }
		
		Comme d'après précédente on a $\ell = \ln \left(1 + \dfrac{1}{\ell}\right)\Longleftrightarrow  \ln \left(1 + \dfrac{1}{\ell}\right)-\ell=0\Longleftrightarrow f(\ell)=0$, or on a déjà démontré que $f(x)=0$ admettait une unique solution $\alpha$ dans $]0;+\infty[$, par conséquent :
		$$ \ell=\alpha$$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}
\pagebreak

\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
On d\'esigne par $a$ un r\'eel strictement positif et diff\'erent de 1.\\
On se propose de rechercher, dans l'intervalle $]0~;~ + \infty[$, les solutions de l'\'equation \[E_{a} : ~x^a =  a^x.\]\\

\textbf{On rappelle que pour tout $\lambda>0$ et pour tout réel $x$ on a :
$$ \lambda^x=e^{\ln \lambda^x}=e^{x\ln \lambda}$$}

\end{footnotesize}
\noindent \textbf{I  \'Etude de quelques cas particuliers}\\
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize V\'erifier que les nombres $2$ et $4$ sont solutions de l'\'equation $E_{2}$.}

Si $a=2$ et si $x=2$ l'équation $E_{a}$ est satisfaite en effet :
$$ 2^2=2^2 !$$

Si $a=2$ et si $x=4$ de nouveau l'équation $E_{a}$ est satisfaite puisque :
$$ 4^2=2^4=16$$
\item  {\footnotesize V\'erifier que le nombre $a$ est toujours solution de l'\'equation $E_{a}$.}

Pour $x=a$ $E_{a}$ est l'égalité $a^a=a^a$, égalité qui effectivement est toujours vérifié.

\item  {\footnotesize On se propose de d\'emontrer que e est la seule solution de l'\'equation $E_{\text{e}}$.\\}
\begin{footnotesize}
On note $h$ la fonction d\'efinie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par $h(x) = x - \text{e}\ln x$.

\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
\textbf{Question de cours :}
On rappelle que lorsque $t$ tend vers $+ \infty$, alors	$\dfrac{\text{e}^t}{t}$ tend vers $+\infty$.\\
D\'emontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
\end{footnotesize}

On pose $X=e^t \Longleftrightarrow \ln X=t$, lorsque $t$ tend vers $+\infty$, $e^t$ tend vers $+\infty$ i.e. $X$ tend vers $+\infty$ ce qui donne :
$$ \lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{e^t}{t}=+\infty \Longleftrightarrow \lim\limits_{X\to +\infty} \dfrac{X}{\ln X}=+\infty \Longleftrightarrow \lim\limits_{X\to +\infty} \dfrac{1}{\frac{X}{\ln X}}=0 \Longleftrightarrow \lim\limits_{X\to +\infty} \dfrac{\ln X}{X}=0$$
\item  {\footnotesize D\'eterminer les limites de $h$ en $0$ et $+ \infty$.}

$$ \lim\limits_{x\to 0} \ln x=-\infty \Longrightarrow \lim\limits_{x\to 0} h(x)=+\infty$$

De plus pour $x>0$ on a :
$$ h(x)=x\left(1-e\dfrac{\ln x}{x}\right)$$

Et puisque $ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ il vient que $ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1-e\dfrac{\ln x}{x} = 1$ puis par produit on obtient :
$$ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} h(x)= +\infty$$
\item 	{\footnotesize Etudier les variations de $h$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.}

Pour tout $x>0$ $h$ est dérivable (comme d'habitude...) et :
$$ h'(x)=1-\dfrac{e}{x}=\dfrac{x-e}{x}$$
Puisque $x>0$, $h'(x)$ est du signe de $x-e$ qui s'annule pour $x=e$, on obtient le tableau de variation de $h$ suivant :

%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$0$};
\node at (2*\Lrg,0) {$e$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$h'(x)$};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$h(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$0$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Doubles Barres
\def\b#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignex-0.1*\HtX) -- (#1,\lignef+0.1*\HtX);}
\def\bb#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignef-0.1*\HtX) -- (#1,\bas+0.1*\HtX);}
\b{0*\Lrg}
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin

%:>>>>> code du tableau à ré-injecter
%[
%	["x", "h'(x)", "h(x)"],
%	["0", ":", "-", "+\\infty"],
%	["e", "0", "+", "0"],
%	["+\\infty", "", "?", "+\\infty"]
%]

\item 	{\footnotesize Dresser le tableau des variations de $h$ et conclure quant aux solutions de l'\'equation $E_{\text{e}}$.}

On cherche à résoudre l'équation :
$$ e^x=x^e \Longleftrightarrow e^x-x^e=0\Longleftrightarrow e^x-e^{\ln x^e}=0\Longleftrightarrow e^x -e^{e\ln x}=0\Longleftrightarrow e^x=e^{e\ln x}\Longleftrightarrow x=e\ln x\Longleftrightarrow x-e\ln x=0$$

Ainsi on cherche à résoudre l'équation $h(x)=0$.

Or, sur l'intervalle $]0;e[$ la fonction $h$ est strictement décroissante donc pour tout $x<e$ on a $h(x)<h(e)=0$, ainsi il n'existe aucune valeur de $x<e$ telle que $h(x)=0$.
\\
De même $h$ étant strictement croissante sur $]e;+\infty[$, pour tout $x>e$ on a $h(x)>h(e)=0$ ainsi il n'existe aucune valeur de $x>e$ telle que $h(x)=0$. 

L'équation $E_{e}$ admet donc une unique solution dans $]0;+\infty[$ qui est $x=e$.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\noindent \textbf{II R\'esolution de l'\'equation} \boldmath$E_{a}$ \unboldmath\\ 
\begin{enumerate}
\item  {\footnotesize Soit $x$ un r\'eel strictement positif. Montrer que $x$ est solution de l'\'equation $E_{a}$ si et seulement si $x$ est solution de l'\'equation : $\dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{\ln a}{a}$.}

$x$ est solution de $E_{a}$ si et seulement si :
$$ a^x=x^a\Longleftrightarrow e^{\ln a^x}=x^a\Longleftrightarrow e^{x\ln a}=x^a\Longleftrightarrow x\ln a =\ln x^a\Longleftrightarrow x\ln a=a\ln x \Longleftrightarrow \dfrac{\ln a}{a}=\dfrac{\ln x}{x}$$
\item {\footnotesize On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$  par : $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize D\'eterminer les limites de $f$ en $0$ et $+\infty$. Donner une interpr\'etation graphique de ces deux limites.}

On sait que $$ \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$$
ce qui implique que la représentation graphique de $f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=0$ en $+\infty$.

De plus $$\lim\limits_{x\to 0} \ln x=-\infty\qquad \text{et} \qquad \lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty $$
ce qui implique par produit que :
$$ \lim\limits_{x\to 0} f(x)=-\infty$$
 ce qui implique  que la représentation graphique de $f$ admet une asymptote verticale d'équation $x=0$
\item {\footnotesize \"Etudier les variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.}

$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et pour tout $x>0$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\times x-\ln x \times 1}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$$
Puisque $x^2>0$ pour $x\neq 0$, $f'(x)$ est du signe de $1-\ln x$ qui s'annule lorsque $x=e$.

De plus $1-\ln x>0\Longleftrightarrow 1>\ln x \Longleftrightarrow e>x$,

Par conséquent $f'(x)>0 \Longleftrightarrow 0<x<e$ donc $f$ est strictement croissante sur $]0;e[$ et $f$ est strictement décroissante sur $]e;+\infty[$
\item {\footnotesize Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.}

%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$0$};
\node at (2*\Lrg,0) {$e$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$f'(x)$};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$\dfrac{1}{e}$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$0$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Doubles Barres
\def\b#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignex-0.1*\HtX) -- (#1,\lignef+0.1*\HtX);}
\def\bb#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignef-0.1*\HtX) -- (#1,\bas+0.1*\HtX);}
\b{0*\Lrg}
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin

%:>>>>> code du tableau à ré-injecter
%[
%	["x", "f'(x)", "f(x)"],
%	["0", ":", "+", "-\\infty"],
%	["e", "0", "-", "\\dfrac{1}{e}"],
%	["+\\infty", "", "?", "0"]
%]

%\item 	Tracer la courbe $\mathcal{C}$ repr\'esentative de la fonction $f$ dans un rep\`ere orthonormal \Oij. (Unit\'e : 2~cm).
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Justifier \`a l'aide des r\'esultats pr\'ec\'edents les propositions $(P_{1})$ et $(P_{2})$ suivantes :}
\begin{itemize}
\item[~]  {\footnotesize $(P_{1})$ : si $a \in ]0~;~1]$, alors $E_{a}$ admet l'unique solution $a$ ;}

Si $0<a\leq 1$ alors $\ln a <0$ et $\dfrac{\ln a }{a}<0$ par conséquent l'équation $E_{a}$ qui a le même ensemble de solution que l'équation $\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{\ln a }{a}$ ne peut admettre des solutions que si $x<1$ (dans le cas contraire on aurait $\dfrac{\ln x}{x}>0$).

$f$ est enfin une fonction continue, strictement croissante sur $]0;1]$ à valeurs dans $]-\infty;0]$ donc l'équation $\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{\ln a }{a}$ admet d'après une conséquence du TVI une unique solution. $a$ étant une solution de l'intervalle $]0;1]$ il vient que c'est l'unique.
\item[~]  {\footnotesize $(P_{2})$ : si $a \in ]1~;~\text{e}[~ \cup~ ]\text{e}~; ~+ \infty[$, alors $E_{a}$ admet deux solutions $a$ et $b$, l'une appartenant \`a l'intervalle $]1~;~\text{e}[$ et l'autre appartenant \`a l'intervalle $]\text{e}~; ~+ \infty[$.}

Si $1<a<e$ d'après le tableau de variation de $f$ on a  :
$$ f(1)<f(a)<f(e)\Longleftrightarrow \dfrac{\ln 1}{1}<\dfrac{\ln a }{a}<\dfrac{\ln e}{e}\Longleftrightarrow 0 <\dfrac{\ln a}{a}< \dfrac{1}{e}$$

$f$ étant continue et strictement croissante sur $]1;e[$ à valeurs dans $\left]0;\dfrac{1}{e}\right[$ donc d'après le TVI l'équation $f(x)=\dfrac{\ln a}{a}$ admet une unique solution dans l'intervalle $]1;e[$ qui est $x=a$ (puisque $a$ est solution i.e. $E_{a}$ admet pour unique solution $x=a$ dans l'intervalle $]1;e[$.

De même dans l'intervalle $]e;+\infty[$ $f$ est continue  et strictement décroissante dans l'intervalle $]e;+\infty[$ à valeurs dans $\left]\dfrac{1}{e};+\infty\right[$ donc l'équation $f(x)=\dfrac{\ln a }{a}$ admet d'après le TVI une unique solution dans l'intervalle $]e;+\infty[$ que nous noterons $b$.

Si $a>e$ alors puisque $f$ est strictement décroissante sur $]e;+\infty[$ alors $$\dfrac{\ln a}{a}<\dfrac{1}{e} $$

Et d'après le TVI appliqué successivement sur l'intervalle $]1;e[$ puis sur l'intervalle $]e;+\infty[$ l'équation $E_{a}$ admet deux solutions l'une dans $]1;e$ qui est $b$ et l'autre dans $]e;+\infty[$ qui est $a$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exoi}

%\begin{exoi}
%
%\begin{enumerate}
%\item  Pour tout entier naturel $n$ non nul, on consid\`ere la fonction $ f_{n}$ d\'efinie sur $]0~;~+ \infty[$ par :
%\[f_{n}(x) = \ln x + \dfrac{x}{n} - 1.\]
%\begin{enumerate}
%\item D\'eterminer les limites de $ f_{n}$ en $0$ et en $+\infty$ puis \'etudier le sens de variations de $ f_{n}$.
%\item Montrer que l'\'equation $ f_{n}(x) = 0$ admet une unique solution dans $]0~;~+ \infty[$. On note $\alpha_{n}$ cette solution. Montrer qu'elle appartient \`a l'intervalle [1 ; e].
%\end{enumerate}
%\item Le plan est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal \Oij. On note ($\Gamma$) la courbe repr\'esentative de la fonction logarithme n\'ep\'erien.
%\begin{enumerate}
%\item Soit $n$ un entier naturel non nul. D\'eterminer une \'equation de la droite $\Delta_{n}$ passant par le point A de coordonn\'ees (0 ; 1) et le point $B_{n}$ de coordonn\'ees $(n ~;~0)$.
%\item  Faire un croquis repr\'esentant la courbe ($\Gamma$) et les droites $\Delta_{1}, ~\Delta_{2}$ et $\Delta_{3}$.
%\item  Montrer que $\alpha_{n}$ est l'abscisse du point d'intersection de ($\Gamma$) avec $\Delta_{n}$. 
%\item  Pr\'eciser la valeur de $\alpha_{1}$ puis faire une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$.
%\end{enumerate}
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Exprimer $\ln \left(\alpha_{n}\right)$ en fonction de $n$ et de $\alpha_{n}$.
%\item Exprimer $f_{n+1} \left(\alpha_{n}\right)$ en fonction de $n$ et de $\alpha_{n}$ et v\'erifier que : \\
%$f_{n+1} \left(\alpha_{n}\right) < 0$.
%\item  D\'eduire de la question pr\'ec\'edente le sens de variation de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$.
%\item Montrer que la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ converge. On note $\ell$ sa limite. \'Etablir que : $\ln \ell = 1$ et en d\'eduire la valeur de $\ell$.
%\end{enumerate}
%
%\end{enumerate}
%
%\end{exoi}


\end{document}
