\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du Devoir Maison 17}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Logairthme N\'ep\'erien}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macrodwicky.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\Cadre{Dans ce devoir maison, il est obligatoire de traiter un exercice. Les élèves qui ont obtenu au bac blanc une note inférieure ou égale à 7 traiteront l'exercice 1, ce qui ont obtenu une note supérieure ou égale à 12 traiteront l'exercice 2, les autres ont le choix de l'exercice.}

\begin{exoi}
%Amérique du Nord mai 2013
\begin{footnotesize}
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.\]

\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On considère l'algorithme\index{algorithme} suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables :&$n$ est un entier naturel\\ 
&$u$ est un réel positif\\
Initialisation :& Demander la valeur de $n$\\
 	&Affecter à $u$ la valeur 1\\
Traitement :&Pour $i$ variant de 1 à $n$ :\\
	&\hspace{0.3cm}| Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
	&Fin de Pour\\ 
Sortie :& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
\end{footnotesize}
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n = 3$.}
		
		Pour $i=1$, on a :
		$$ u=\sqrt{2}$$
		Pour $i=2$ on a :
		$$ u=\sqrt{2\sqrt{2}}$$
		Pour $i=3$ on a :
		$$ u=\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}\simeq 1.8340$$
		\item {\footnotesize Que permet de calculer cet algorithme ? }
		Cet algorithme permet de calculer le terme $u_n$.
		\item \begin{footnotesize}
		Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$				& 1 		&5 			&10 		&15 		&20\\ \hline 
Valeur affichée	&1,4142 &1,9571 &1,9986 &1,9999 &1,9999\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
		\end{footnotesize}

Il semblerait qu'elle soit croissante, majorée par $2$, et même convergente vers $2$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item \begin{footnotesize}
		Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2$. \\
		\textit{Indication : On pourra raisonner par récurrence.}
		\end{footnotesize}
	
	Notons $\mathscr P(n) : 0<u_n<2$ et raisonnons par récurrence.
	\begin{itemize}
	\item \textit{\textbf{Initialisation}} : pour $n=0$ on a $u_0=1$ et donc on a :
	$$ 0<u_0<2$$
	$\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$.
	\item \textit{\textbf{Hérédité}} : Supposons que $0<u_n<2$ et montrons que $0<u_{n+1}<2$.\\
	On a :
	$$ 0<u_n<2 \Longleftrightarrow 0<2u_n<4$$
	ce qui donne :
	 $$\sqrt{0}<\sqrt{2u_n}<\sqrt{4}\Longleftrightarrow 0 < u_{n+1}<2$$
	 $\mathscr P$ est donc héréditaire.
	 \item \textbf{\textit{Conclusion}} : On en déduit que la propriété vraie pour tout entier naturel $n$ puisque initialisée et héréditaire.
	\end{itemize}
		\item \begin{footnotesize}
		Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\\
		\textit{Indication : On pourra raisonner par récurrence.}
		\end{footnotesize}
		
		Notons $\mathscr Q(n) : u_n<u_{n+1}$ et raisonnons par récurrence.
	\begin{itemize}
	\item \textit{\textbf{Initialisation}} : pour $n=0$ on a $u_0=1$ et $u_1=\sqrt{2}\simeq 1.41$ et donc on a :
	$$ u_0<u_1$$
	$\mathscr Q$ est initialisée à partir de $n=0$.
	\item \textit{\textbf{Hérédité}} : Supposons que $u_n<u_{n+1}$ et montrons que $u_{n+1}<u_{n+2}$.\\
	On a :
	$$ u_n<u_{n+1} \Longleftrightarrow 2u_n<2u_{n+1}$$
	ce qui donne :
	 $$\sqrt{2u_n}<\sqrt{2u_{n+1}}\Longleftrightarrow u_{n+1}<u_{n+2}$$
	 $\mathscr Q$ est donc héréditaire.
	 \item \textbf{\textit{Conclusion}} : On en déduit que la propriété vraie pour tout entier naturel $n$ puisque initialisée et héréditaire.
	\end{itemize}
		\item {\footnotesize Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.}
		
		La suite $u$ est croissante et majorée par $2$ donc elle converge vers un réel $\ell \geq 2$.
	\end{enumerate} 
\item {\footnotesize On considère la suite\index{suite} $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$. }
	\begin{enumerate}
		\item \begin{footnotesize}
		Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme  
$v_{0} = - \ln 2$. 
		\end{footnotesize}
		
		Pour tout entier naturel $n$ on a :
		$$v_{n+1}=\ln u_{n+1}-\ln 2=\ln \sqrt{2u_n}-\ln 2=0,5\ln (2u_n)-\ln 2$$
		$$v_{n+1}=0,5\ln 2+0,5\ln u_n-\ln 2=-0,5\ln 2+0,5\ln u_n=0,5\left(\ln u_n-\ln 2\right)=0,5v_n$$
		
		La suite $\left(v_{n}\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0=\ln u_0-\ln 2=\ln 1-\ln 2=-\ln 2$
		\item {\footnotesize Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis de $u_{n}$ en fonction de $n$. }
		
		Pour tout entier naturel $n$, puisque $(v_n)$ est géométrique, on a :
		$$ v_n=v_0\times q^n=-\ln 2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$
		et donc :
		$$ \ln u_n-\ln 2=-\ln 2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\Longleftrightarrow \ln u_n=\ln 2-\ln 2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$
		et donc :
		$$ \ln u_n=\ln 2\left(1-0,5^n\right)\Longleftrightarrow e^{\ln u_n}=e^{\ln 2\left(1-0,5^n\right)}$$
		\item {\footnotesize Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. }
		On a, puisque $-1<0,5<1$ :
		$$\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^n=0 \Longrightarrow \lim\limits_{n\to +\infty} 1-0,5^n=1$$
		Par produit :
		$$\lim\limits_{n\to +\infty}  \ln 2\left(1-0,5^n\right)=\ln 2$$
		et donc par composition :
		$$\lim\limits_{n\to +\infty} e^{\ln 2\left(1-0,5^n\right)}=e^{\ln 2} =2 \Longleftrightarrow  \lim\limits_{n\to +\infty}  u_n=2$$
	
%		\item Recopier l'algorithme\index{algorithme} ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$.
%		
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l l|}\hline		 
%Variables :		&$n$ est un entier naturel\\
%				& $u$ est un réel\\
%Initialisation :&Affecter à $n$ la valeur $0$\\
%				&Affecter à $u$ la valeur 1\\ 
%Traitement :	&\\
%				&\\ 
%Sortie :		&\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exoi}
\pagebreak
\begin{exoi}
%Antilles guyane juin 2012
\begin{footnotesize}
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul par 
 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{1}& =&\dfrac{1}{2}\\ 
u_{n+1} &=& \dfrac{n+1}{2n}u_{n}
\end{array}\right.\]
\end{footnotesize}
 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$. }\\
pour $n=1$ on a $u_2=\dfrac{1+1}{2}u_1=u_1=\dfrac{1}{2}$\\
pour $n=2$ on a $u_3=\dfrac{2+1}{4}u_2=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{8}$\\
pour $n=3$ on a $u_4=\dfrac{3+1}{6}u_3=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{4}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ est strictement positif. }
		
		Notons $\mathscr P(n) : u_n>0$.
		\begin{itemize}
		\item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$ on a $u_0=\dfrac{1}{2}>0$, ainsi la propriété $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$.
		\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons l'implication $u_n>0\Longrightarrow u_{n+1}>0$\\
		Puisque $u_{n+1}=\dfrac{n+1}{2n}u_n$ et comme $u_n>0$ et $n>0$ on a trivialement $u_{n+1}>0$.
		
		$\mathscr P$ est héréditaire.
		
		\item \textbf{\textit{Conclusion}} : La propriété $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc pour tout entier naturel $n$ on a montré par récurrence que :
		$$ u_n>0$$
		\end{itemize}
		\item {\footnotesize Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.}
		
		Si $n\geq 1$ alors $n+n\geq 1+n\Longrightarrow 2n\geq n+1\Longrightarrow 1\geq \dfrac{n+1}{2n} \Longrightarrow u_n\geq \dfrac{n+1}{2n} u_n\Longrightarrow u_n\geq u_{n+1}$ 
		ce qui prouve que la suite est décroissante.
		\item {\footnotesize Que peut-on en déduire pour la suite $\left(u_{n}\right)$ ? }
		
		Cette suite est décroissante et minorée par $0$, donc elle converge vers un réel $\ell \geq 0$.
	\end{enumerate}
\item {\footnotesize Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose: $v_{n} = \dfrac{u_{n}}{n}$}
  
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme $v_{1}$. }
		
		$$ v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{n+1}=\dfrac{\frac{n+1}{2n}u_n}{n+1}=\dfrac{u_n}{2n}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{u_n}{n}=\dfrac{1}{2}v_n$$
		$(v_n)_{n\in \N^*}$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_1=\dfrac{u_1}{1}=u_1=\dfrac{1}{2}$.
		\item {\footnotesize En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n} = \dfrac{n}{2^n}$}

Puisque $(v_n)_{n\in \N^*}$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_1=\dfrac{1}{2}$ on a pour tout entier naturel $n\geq 1$ :
$$ v_n=\dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$

ce qui implique que, pour tout $n\geq 1$ :
$$\dfrac{u_n}{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n  \Longleftrightarrow u_n=n\times \dfrac{1}{2^n}=\dfrac{n}{2^n}$$
	\end{enumerate}
\item  {\footnotesize Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par $f(x) = \ln x - x \ln 2$.} 
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. }
		
		Pour tout $x\geq 1$ on a :
		$$ f(x)=x\left(\dfrac{\ln x }{x}-\ln 2\right)$$
		
		D'après le cours on a :
		$$ \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x }{x}=0\Longrightarrow  \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x }{x}-\ln 2=-\ln 2<0$$
		et $\lim\limits_{x\to +\infty} x=+\infty$ donc par produit :
		$$  \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$$
		\item {\footnotesize En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.}
		 
		 Pour $n\in \N^*$ on a  :
		 $$ f(n)=\ln n-n \ln 2=\ln n-\ln 2^n=\ln \dfrac{n}{2^n}=\ln u_n$$
		 
		 De plus on vient de démontrer que $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty\Longrightarrow \lim\limits_{n\to +\infty} f(n)=-\infty$ ce qui prouve que :
		 $$ \lim\limits_{n\to +\infty} \ln u_n=-\infty$$
		 
		 donc par composition on a :
		 $$\lim\limits_{n\to +\infty}  e^{\ln u_n}=0 \Longleftrightarrow \lim\limits_{n\to +\infty}  u_n=0$$
	\end{enumerate} 
	\item {\footnotesize Recopier l'algorithme\index{algorithme} ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} < 0,001$.}
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline		 
Variables :		&$n$ est un entier naturel\\
				& $u$ est un réel\\
Initialisation :&Affecter à $n$ la valeur $1$\\
				&Affecter à $u$ la valeur 0.5\\ 
Traitement :	& Tant que $u\geq 0,001$\\
				&$u:= \dfrac{n+1}{2n}\times u$\\
				&$n:=n+1$\\ 
Sortie :		&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}
