\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du Devoir Maison 17}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Equation de Pell-Fermat}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav
\vspace{1cm}


  
\begin{footnotesize}
  Le but de l'exercice est de déterminer des couples $(a, b)$ d'entiers vérifiant l'égalité $$(1) : a^2 - 2b^2 = 1$$
 \end{footnotesize} \begin{enumerate}
 \item {\footnotesize On suppose que $(a,b)$ est solution.}
 \begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Prouver que $a$ est impair.}
 \\
 Supposons que $a$ soit pair alors $a\equiv 0 (2)$ par conséquent $a^2\equiv 0 (2)$.\\
 De plus $a^2-2b^2=1\Longleftrightarrow a^2-1=2b^2$.
 \\
 Enfin $2b^2\equiv 0 (2)$ et puisque $a^2\equiv 0 (2)$ on a $a^2-1\equiv -1(2)$, ce qui est absurde.\\
 Ainsi il est impossible que $a$ soit pair, on en déduit que $a$ est impair.
 \item {\footnotesize En déduire que $a^2-1$ est un multiple de $4$ puis que $b$ est pair.}
 \\
 Puisque $a$ est impair il existe un entier relatif $k$ tel que $a=2k+1$, par conséquent :
 $$ a^2-1=(2k+1)^2-1=4k^2+4k+1-1=4(k^2+k)$$
 donc $4|a^2-1$ i.e. que $a^2-1$ est un multiple de $4$.\\
 Or, $a^2-1=2b^2$ donc il existe un entier relatif $k'$ tel que 
 :
 $$ 2b^2=4k'\Longleftrightarrow b^2=2k'$$
 Autrement dit $b^2$ est pair. Ceci implique que $b$ est pair, en effet le carré d'un nombre impair est impair et seul le carré d'un nombre pair est pair.
 \item {\footnotesize Montrer que $a$ et $b$ sont premiers entre eux.}\\
 Supposons que $d$ divise simultanément $a$ et $b$ alors $d$ divise toute combinaison linéaire de $a$ et de $b$, en particulier $d$ divise $a\times a - 2b\times b$ i.e. $d$ divise $1$, il vient que les seuls diviseur commun de $a$ et $b$ sont les diviseurs de $1$ i.e. $1$ et $-1$, par conséquent $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
 \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Déterminer une solution évidente de l'équation $(1)$.}\\
 On sait que $a$ est impair et que $b$ est pair, de plus $a^2-1$ est un multiple de $4$ et enfin $a\wedge b=1$, les plus petits candidats sont donc :
 $$ a=3\qquad \text{et} \qquad b=2$$
 Vérifions :
 $$a^2-2b^2=9-2\times 4=1 $$
 Nous avons trouvé une solution évidente. Une autre est le couple $a=1$ et $b=0$.
 \item {\footnotesize Montrer que si $(a,b)$ est solution de $(1)$, le couple $(3a+4b,2a+3b)$ l'est également.}
 \\
 Si $(a,b)$ est solution de $(1)$ alors :
 $$ a^2-2b^2=1$$
 De plus :
 $$ (3a+4b)^2-2(2a+3b)^2=9a^2+24ab+16b^2-2(4a^2+12ab+9b^2)=a^2-2b^2$$
 ce qui vaut $1$ puisque $(a,b)$ est solution de $(1)$ et ce qui prouve donc que le couple $(3a+4b,2a+3b)$ est solution de $(1)$.
 \item {\footnotesize Déterminer $3$ autres solutions de $(1)$. }
 \\
 De la question précédente on tire plusieurs couple solution :\\
 $$ (17,12)\qquad \text{puis}\qquad (99,70)\qquad \text{et enfin}\qquad (577,408)$$
 \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Ecrire un algorithme qui affiche un couple d'entiers supérieurs à $1000$ vérifiant $(1)$.}
 \begin{center}
\Algo{7cm}{
\Entree{ 
 $\ell$  est un nombre réel positif.\\
 $a$ et $b$ sont deux nombres entiers.\\
}
{
Saisir $\ell$.\\
$a=1$\\
$b=0$ 
  \While{ $a\leq \ell$ OU $b\leq \ell$}
{$c:=a$
\\
$a:=3c+4b$ \\  
$ b:=2c+3b$}\\
\IfThenElse{$a^2-2b^2=1$}
{Afficher le couple $(a,b)$}
 {Afficher Erreur}
}
}
\end{center}
 \item \begin{footnotesize}
 Le programmer sur une calculatrice ou sur un logiciel de votre choix.
 \\
 Quel couple affiche-t-il ?
 \end{footnotesize}\\
 Il affiche le couple $(3363, 2378)$
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
   \Cadre[Infos Mathématiques]{L'équation $a^2-2b^2=1$ est dite de \og Pell-Fermat\fg{}. Plus généralement, on appelle ainsi une équation de la forme $x^2-dy^2=1$ où $x$ et $y$ sont des entiers inconnus et $d$ un entier naturel sans facteur carré.\\
  Fermat a montré qu'elle admet une infinité de solutions.}

\end{document}