\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 16}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Objectif Bac}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\Cadre{Ce devoir maison est facultatif et \og à la carte\fg. C'est à dire que chaque élève traitera les exercices de son choix.\\Le dernier délai pour me rendre votre travail est le vendredi 7 février car sinon je n'aurai pas le temps de corriger.\\Il est bien évident que je ne peux pas en un seul devoir mettre toutes les notions donc il faut aussi réviser par vous même...}

\begin{exoi}\hfill \textbf{Exponentielle et suite (vous en avez rêvé...)}\\
\begin{footnotesize}
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x\text{e}^{-x}.\] 
\end{footnotesize}

%On note $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un 
%repère orthonormal \Oij~(unité graphique : 10 cm). 

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie A}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item 
 	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. }
		
		On a pour tout réel $x$ :
		$$ f(x)=xe^{-x}=\dfrac{x}{e^x}=\dfrac{1}{e^x/x}$$
		Or, on sait que $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty$, par conséquent puisque $ \lim\limits_{X\to +\infty}\dfrac{1}{X}=0$ on obtient :
		$$ \lim\limits_{x\to +\infty} xe^{-x}=0$$
		\item {\footnotesize Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations. }
		
		On a pour tout $x\in [0;+\infty[$ :
		$$ f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)$$
		$f'(x)$ est du signe de $1-x$ puisque pour tout $x\geq 0$ on a $e^{-x}>0$.
		\\
		On en déduit :
		%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$0$};
\node at (2*\Lrg,0) {$1$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$f'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$0$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$1/e$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$0$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
%		\item Construire $\Gamma$ dans le repère \Oij. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \begin{footnotesize}
		Montrer que, pour tout réel $m$ de 
$\left]0~;~\dfrac{1}{\text{e}}\right[$, l'équation $f(x) = m$ admet deux solutions. 
		\end{footnotesize}
		
Sur l'intervalle $]0;1[$ la fonction $f$ est continue et strictement croissante. De plus $f$ est à valeurs dans l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{1}{\text{e}}\right[$, par conséquent d'après un corollaire du TVI l'équation $f(x)=m$ admet pour $m\in \left]0~;~\dfrac{1}{\text{e}}\right[$ exactement une solution dans $]0;1[$.
\\
De la même manière sur l'intervalle $]1;+\infty[$, $f$ est continue et strictement décroissante à valeurs dans $\left]0~;~\dfrac{1}{\text{e}}\right[$ donc l'équation $f(x)=m$ admet exactement une solution dans l'intervalle $]1;+\infty[$ pour toute valeurs de $m\in \left]0~;~\dfrac{1}{\text{e}}\right[$.
\\
Au final $f(x)=m$ admet exactement deux solutions dans $[0;+\infty[$.
		\item {\footnotesize Dans le cas où $m = \dfrac{1}{4}$, on nomme $\alpha$ et $\beta$ les solutions (avec $\alpha < \beta$). }
		

\begin{footnotesize}
		Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. 
		\end{footnotesize}		

D'après la question précédente l'équation $f(x)=\dfrac{1}{4}$ admet deux solutions dans $[0;+\infty[$ et la plus petite $\alpha \in ]0;1[$. La calculatrice fournit une approximation de $\alpha$ qui est à $10^{-2}$ près :
$$ \alpha\simeq 0,36$$
		
		\item {\footnotesize Résoudre l'équation $f(x) = m$ dans le cas où $m = 0$ et $m = \dfrac{1}{\text{e}}$. }
		
		Si $m=0$, on a $f(x)=0\Longleftrightarrow xe^{-x}=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou} \qquad e^{-x}=0$.
		
		Puisque $e^{-x}>0$ pour tout réel $x$, l'unique solution de l'équation $f(x)=0$ est $x=0$.
		
		Si $m=\dfrac{1}{e}$, alors d'après le tableau de variation de $f$ on a pour tout $x\neq 1$ :
		$$ f(x)<\dfrac{1}{e}$$
		et pour $x=1$ on a $f(x)=\dfrac{1}{e}$.
		
		Par conséquent $x=1$ est l'unique solution de l'équation $f(x)=\dfrac{1}{e}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie B}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par 

\[\left\{\begin{array}{l c l} 
u_0 & = & \alpha\\ 
u_{n+1} & = & u_n\text{e}^{-u_n},~\text{pour tout entier naturel}~n\\ 
\end{array}\right.\] 

où $\alpha $ est le réel défini à la question \textbf{A. 2. b.} 
\end{footnotesize}

	\begin{enumerate}
 		\item \begin{footnotesize}
 		Montrer par récurrence que, pour tout entier 
naturel $n$,$$u_n > 0$$ 
 		\end{footnotesize}

Notons $\mathscr P(n) : u_n>0$ et montrons cette propriété par récurrence.

\begin{itemize}
 \item\textbf{\textit{Initialisation}} : Si $n=0$ alors $u_0=\alpha\simeq 0,36>0$ donc $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$.
 \item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $u_n>0$ alors $u_{n+1}>0$.
 
 On sait que $u_{n+1}=u_ne^{-u_n}$, or $e^{-u_n}>0$ puisque pour tout réel $x$ on a $e^x>0$. De plus si on suppose $u_n>0$ on obtient par produit de deux nombres positifs strictement :
 $$ u_{n+1}>0$$
 $\mathscr P$ est héréditaire.
 \item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc pour tout entier naturel $n$ on a :$$ u_n>0$$ 
 \end{itemize} 
		\item {\footnotesize Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. }

Notons $\mathscr Q(n) : 1>u_n>u_{n+1}>0$ et montrons cette propriété par récurrence.

\begin{itemize}
		\item\textbf{\textit{Initialisation }} : Si $n=0$ alors $u_0=\alpha\simeq 0,36$ et $u_1=\alpha e^{-\alpha}=\dfrac{1}{4}=0,25$ par définition de $\alpha$. On observe que $$ 1>u_0>u_1>0$$
		donc la propriété $\mathscr Q$ est vraie pour $n=0$.
		 \item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $1>u_n>u_{n+1}>0$ alors $1>u_{n+1}>u_{n+2}>0$.
		 
		 Puisque $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0;1[$ de :
		 $$ 1>u_n>u_{n+1}>0$$
		 On tire :
		 $$ f(1)>f(u_n)>f(u_{n+1})>f(0)$$
		 c'est-à-dire :
		 $$ \dfrac{1}{e}>u_{n+1}>u_{n+2}>0$$
		 Et comme $\dfrac{1}{e}<1$ on obtient :
		 $$ 1>u_{n+1}>u_{n+2}>0$$
		 La propriété $\mathscr Q$ est donc héréditaire.
		 
		 
		 \item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr Q$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc pour $n\in \N$ on a $u_n>u_{n+1}$ ce qui prouve que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
		\end{itemize}		
		\item {\footnotesize La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite.}
		
		La suite $(u_n)$ est strictement décroissante et est aussi minorée par $0$, par conséquent $(u_n)$ converge vers un réel $\ell\geq 0$. 
		
		De plus on a $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f(x)=xe^{-x}$ qui est une fonction continue sur $[0;1]$ donc par passage à la limite on obtient :
		$$ \ell = f(\ell)\Longleftrightarrow \ell =\ell e^{-\ell}\Longleftrightarrow 1=e^{-\ell}\Longleftrightarrow \ln 1=\ln e^{-\ell}\Longleftrightarrow 0=-\ell\Longleftrightarrow \ell =0$$
		On conclut que :
		$$ \lim\limits_{n\to +\infty}u_n=0$$ 
	\end{enumerate} 
%\item On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie sur $\N$ par $w_n = \ln u_n$. 
%	\begin{enumerate}
%		 \item Montrer que, pour tout $n$ entier naturel, on a 
%$u_n = w_n - w_{n+1}$. 
%		\item On pose $S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$. 

%Montrer que $S_n = w_0 - w_{n+1}$. 
%		\item En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n$. 
%	\end{enumerate} 
\item \begin{footnotesize}
On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par son 
premier terme $v_0~(v_0 > 0)$ et, pour tout entier naturel $n$,$$v_{n+1} = 
v_n\text{e}^{-v_n}$$
\end{footnotesize} 

\begin{footnotesize}
Existe-t-il une valeur de $v_0$ différente de $\alpha$ telle que, pour 
tout $n \geqslant 1$, on ait $u_n = v_n$ ? 
\end{footnotesize}

\begin{footnotesize}
Si oui, préciser laquelle. 

\end{footnotesize}

On a dans un premier $v_1=v_0e^{-v_0}$ et $u_1=\alpha e^{-\alpha}=\dfrac{1}{4}$. On cherche donc $v_0$ tel que :
$$ v_0e^{-v_0}=\dfrac{1}{4}$$
Cette équation admet deux solutions d'après la partie $A$, une $\alpha$ et l'autre $\beta$. Il existe donc une unique valeur différente de $\alpha$ telle que $u_1=v_1$, il s'agit de $\beta$.

Trivialement si $u_1=v_1$ alors pour tout entier naturel $n\geq 1$ on a $u_n=v_n$.
\end{enumerate}
 \end{exoi}
\pagebreak
\begin{exoi}\hfill \textbf{Des complexes}\\
\begin{footnotesize}
Pour tout point $P$, on convient de noter son affixe $z_P$.

\end{footnotesize}
 \begin{enumerate}
  \item {\footnotesize On considère dans $\C$ l'équation $$(E) : z^3+8=0$$}
  \begin{enumerate}
   \item {\footnotesize Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, $$z^3+8=(z+2)(z^2+az+b)$$}
   
   Pour tout $z\in \C$ on a :
   $$ (z+2)(z^2+az+b)=z^3+az^2+bz+2z^2+2az+2b=z^3+(2+a)z^2+(2a+b)z+2b$$
   Par identification on doit avoir $2b=8\Longrightarrow b=4$ puis $2a+b=0\Longrightarrow 2a=-4\Longrightarrow a=-2$ puis $2+a=0$ ce qui est vérifié pour $a=-2$.
   
   Donc pour tout $z\in \C$ on a :
   $$z^3+8=(z+2)(z^2-2z+4) $$
   \item {\footnotesize Résoudre alors l'équation $(E)$ (on donnera les solutions sous leur forme algébrique).}
   
   $z^3+8=0\Longleftrightarrow (z+2)(z^2-2z+4) =0\Longleftrightarrow z_1=-2\qquad \text{ou}\qquad z^2-2z+4=0$
   
   $\Delta=4-16=-12<0$, l'équation $z^2-2z+4=0$ admet donc deux racines complexes conjugués qui sont :
   $$ z_2=\dfrac{2-\sqrt{12}i}{2}=1-\sqrt{3}i\qquad \text{et}\qquad z_3=1+\sqrt{3}i$$
   
   L'ensemble des solutions $\mathscr S$ de l'équation $(E)$ est donc :
   $$ \mathscr S=\left\{-2;1-\sqrt{3}i;1+\sqrt{3}i\right\}$$
   \item {\footnotesize Ecrire ces solutions sous leur forme exponentielle.}
   
   $z_1=-2=2\times (-1)=2e^{-i\pi}$.
   
   $z_2=1-\sqrt{3}i=2\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=2\left(\cos \left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin \left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right)=2e^{-i\frac{\pi}{3}}$
   
   Et enfin $z_3=\overline{z_2}=\overline{2e^{-i\frac{\pi}{3}}}=2e^{i\frac{\pi}{3}}$
  \end{enumerate}
 \item {\footnotesize On considère les points $A(-2)$, $B(1-i\sqrt{3})$, $C(1+i\sqrt{3})$ et $D$ le milieu du segment $[OB]$.}
 \begin{enumerate}
  \item {\footnotesize Faire une figure que vous compléterez au fur et à mesure.}
  
  La construction proposée n'utilise que le compas et la règle non graduée, elle est visible à la fin de cet exercice.
  \item {\footnotesize Montrer que $ABC$ est un triangle équilatéral.}
  
  $AB=|z_B-z_A|=|1-i\sqrt{3}+2|=|3-i\sqrt{3}|=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
  
  $AC=|z_C-z_A|=|1+i\sqrt{3}+2|=|3+i\sqrt{3}|=\sqrt{9+3}=2\sqrt{3}$
  
  Et enfin :
  $$ BC=|z_C-z_B|=|1+i\sqrt{3}-1+i\sqrt{3}|=|2i\sqrt{3}|=2\sqrt{3}$$
  
  On obtient $AB=AC=BC$ ce qui prouve que $ABC$ est équilatéral.
 \item {\footnotesize Déterminer l'affixe $z_L$ du point $L$ tel que $AODL$ soit un parallélogramme.}
 
 $AODL$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{LD}$. Ainsi $AODL$ est un parallélogramme si et seulement si $$z_{\overrightarrow{AO}}=z_{\overrightarrow{LD}}\Longleftrightarrow z_O-z_A=z_D-z_L$$
 On obtient alors :
 $$ -z_L=z_O-z_A-z_D\Longleftrightarrow z_L=-z_O+z_A+z_D$$
 Or, $z_O=0$, $z_A=-2$ et $z_D=\dfrac{z_O+z_B}{2}=\dfrac{z_B}{2}=\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
 
 D'où :
 $$ z_L=0-2+\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{3}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
 \item {\footnotesize Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{OL}$ et $\overrightarrow{AL}$ sont orthogonaux. }
 
 $z_{\overrightarrow{OL}}=z_L-z_O=z_L=-\dfrac{3}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Par conséquent $$\overrightarrow{OL}\left(-\dfrac{3}{2};-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
 
 $ z_{\overrightarrow{AL}}=z_L-z_A=-\dfrac{3}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}+2=\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, d'où :
 $$ \overrightarrow{AL}\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
 
 On calcule le produit scalaire des deux vecteurs :
 $$ \overrightarrow{OL}\cdot \overrightarrow{AL}=-\dfrac{3}{2}\times \dfrac{1}{2}+\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\times \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}=0$$
 
 Puisque $\overrightarrow{OL}\cdot \overrightarrow{AL}=0$ on a $\overrightarrow{OL}\perp \overrightarrow{AL}$.
 \item {\footnotesize En déduire que $L$ appartient au cercle de diamètre $[OA]$.}
 
 On vient de démontrer que le triangle $OAL$ est rectangle en $L$, par conséquent $L$ est un point du cercle de diamètre $[OA]$.
 \item {\footnotesize Placer alors $L$ sur la figure.}
 
 Deux méthodes sont présentés pour placer le point $L$ sur la figure à l'aide simplement du compas et de la règle non graduée. 
 
 La première utilise les traits de construction en rouge et la seconde les traits de construction en pointillé.
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}\end{exoi}
 
 \begin{center}
 \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=4.0cm,yunit=4.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.5,-2.13)(2.77,2.16)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.5,-2.13)(2.77,2.16)
\pspolygon[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-2,0)(1,1.73)(1,-1.73)
\pscircle(0,0){8}
\psline(1,-2.13)(1,2.16)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzttqq](-2,0)(1,1.73)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzttqq](1,1.73)(1,-1.73)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzttqq](1,-1.73)(-2,0)
\psline(0,0)(1,-1.73)
\pscircle[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0,0){4}
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0.5,-2.13)(0.5,2.16)
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt]{-2.5}{2.77}{(-0.87-0*x)/1}
\parametricplot[linecolor=red]{3.141592653589793}{6.283185307179586}{1*1*cos(t)+0*1*sin(t)+-1|0*1*cos(t)+1*1*sin(t)+0}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-2,0)
\rput[bl](-1.97,0.02){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](0.04,0.02){$O$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,-1.73)
\rput[bl](1.04,-1.71){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,1.73)
\rput[bl](1.04,1.75){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.5,-0.87)
\rput[bl](0.54,-0.85){$D$}
\end{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-1.5,-0.87)
\rput[bl](-1.47,-0.85){\darkgray{$L$}}
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=red](-1.5,-2.13)(-1.5,2.16)
\end{pspicture*}
 \end{center}
 
 
\begin{exoi}\hfill\textbf{Des probabilités}\\\begin{footnotesize}
\textsl{Les résultats numériques seront donnés sous forme de fractions.}
 
Dans une classe de 30 élèves sont formés un club photo et un club théâtre. Le club photo est composé de 10 membres, le club théâtre de 6 membres. Il y a deux élèves qui sont membres des deux clubs à la fois.
 
On note $\overline{\text{A}}$ l'évènement contraire de l'évènement A et 
$p_B$(A ) la probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé. 

\medskip
\end{footnotesize}

\begin{enumerate} 
\item \begin{footnotesize}
On interroge un élève de la classe pris au 
hasard.
 
On appelle P l'évènement : \og L'élève fait partie du club photo \fg, et T l'événement : \og L'élève fait partie du club théâtre \fg.
 
Montrer que les évènements P et T sont indépendants.
\end{footnotesize}


On a par lecture de l'énoncé :
$$ p(P)=\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3} \qquad \text{et} \qquad p(T)=\dfrac{6}{30}=\dfrac{1}{5}\qquad \text{et enfin} \qquad p(P\cap T)=\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{15}$$

De plus $p(P)\times p(T)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{15}=p(P\cap T)$, par conséquent les événements $P$ et $T$ sont indépendants.

\item \begin{footnotesize}
Lors d'une séance du club photo, les 10 
membres sont tous présents. Un premier élève est tiré au sort. Il doit prendre 
la photo d'un autre membre du club qui sera lui aussi tiré au sort. 
\end{footnotesize}
	\begin{enumerate} 
		\item {\footnotesize On appelle T$_1$ l'évènement : \og Le premier élève appartient au club théâtre \fg. Calculer $p (\text{T}_1)$. }
		\item \begin{footnotesize}
		On appelle T$_2$ l'évènement \og L'élève pris en photo appartient au club 
théâtre \fg. Calculer $p_{T_1}(\text{T}_2 )$, puis $p_{\overline{T_1}}\left(\text{T}_2 \right)$. En déduire $p\left(T_2~ \cap~ \text{T}_1\right)$ et 
$p\left(\text{T}_2~ \cap~ \overline{\text{T}_1}\right)$.\\ 
(On pourra éventuellement utiliser un arbre.)
		\end{footnotesize}
		
		Si le premier élève appartient au club théâtre, il n'en reste plus qu'un qui fait partie du club théâtre sur les neuf restants d'où :
		$$ p_{T_1}(\text{T}_2 )=\dfrac{1}{9}$$
		
		Dans le cas où le premier élève choisit ne fait pas partie du club théâtre, il en reste encore deux sur les neufs restants qui en font partie d'où :
		$$ p_{\overline{T_1}}\left(\text{T}_2 \right)=\dfrac{2}{9}$$
		
		On en déduit que :
		$$ p(T_2\cap T_1)=p_{T_1}(\text{T}_2 )\times p(T_1)=\dfrac{1}{9}\times \dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{45}$$
		
		et de même :
		$$ p\left(\text{T}_2~ \cap~ \overline{\text{T}_1}\right)=p(\overline{T_1})\times p_{\overline{T_1}}\left(\text{T}_2 \right)=\dfrac{8}{10}\times \dfrac{2}{9}=\dfrac{8}{45}$$
		\item \begin{footnotesize}
		Montrer que la probabilité que l'élève pris en photo appartienne au club 
théâtre est 0,2.
		\end{footnotesize} 
On a :
$$ p(T_2)=p(T_2\cap T_1)+p\left(\text{T}_2~ \cap~ \overline{\text{T}_1}\right)=\dfrac{1}{45}+\dfrac{8}{45}=\dfrac{9}{45}=\dfrac{1}{5}=0,2$$
	\end{enumerate} 
\item \begin{footnotesize}
Toutes les semaines, on recommence de façon 
indépendante la séance de photographie avec tirage au sort du photographe et 
du photographié. Le même élève peut être photographié plusieurs semaines de 
suite.
 
Calculer la probabilité qu'au bout de 4 semaines, aucun membre du club théâtre n'ait été photographié. 
\end{footnotesize}

Notons $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'élève  du club théâtre photographié au bout de 4 semaines. On repète 4 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, donc $X$ suit la loi binomiale de paramètre $4$ et $\dfrac{1}{5}$, on en déduit que :
$$ p(X=0)=\left(1-\dfrac{1}{5}\right)^4$$
\end{enumerate} 
\end{exoi}

%\begin{exoi}[Exponentielle et suite (vous en avez rêvé...)]
%\begin{center}	 	 
%\textbf{Partie A}
%\end{center}
%On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par 
%
%\[g(x) = \text{e}^x - x - 1.\]
% 
%\begin{enumerate}
%\item Étudier les variations de la fonction $g$. 
%\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
%\item En déduire que pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[,\: e^x - x > 0$. 
%\end{enumerate}
%
%\begin{center}	 	 
%\textbf{Partie B }
%\end{center}
%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
%
%\[f(x) = \dfrac{e^x}{e^x - x}.\] 
% 
%
%\begin{enumerate}
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
%\item Interpréter graphiquement ces résultats.
%\end{enumerate}
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Calculer la dérivée de la fonction $f$ et vérifier que $$f'(x)=\dfrac{(1-x)e^x}{\left (e^x - x\right)^2}$$
%\item En déduire le tableau de variations de $f$
%\end{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%\item Déterminer une équation de la tangente $\mathscr T$ à la courbe $(\mathscr C_f)$  au point d’abscisse $0$.
%\item Montrer que $$f(x)-(x+1)=\dfrac{-xg(x)}{e^x-x}$$
%\item En déduire la position relative de la droite $\mathscr T$ et de la courbe $(\mathscr C_f)$ sur $\R$.
%\end{enumerate}
%	\end{enumerate} 
%
%\begin{center}	 	 
%\textbf{Partie C}
%\end{center}
%On considère la fonction $h$ définie sur [0~;~1] par 
%
%\[h(x) = \dfrac{e^x - 1}{e^x - x}.\] 
% 
%La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $h$ dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée ci-dessous
%
%On admet que $h$ est strictement croissante sur $[0~;~1]$\\
%On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :
%
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%u_{0}&=&\dfrac{1}{2}\\
%u_{n+1}&=&h\left(u_{n}\right), \quad \text{pour tout entier naturel}\,n.
%\end{array}\right.\]
% 
%\begin{enumerate}
%\item Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction. 
%\begin{center}
% \psset{unit=10cm}
% \begin{pspicture}(-0.05,-0.05)(1.25,1.15)
% \uput[dl](0,0){O}
% \uput[d](1.2,0){$x$}\uput[l](0,1.1){$y$}
% \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.71828 x exp 1 sub 2.71828 x exp x sub div}
% \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=20,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(1.25,1.15)
% \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.05,-0.05)(1.25,1.15)
% \end{pspicture}
% \end{center}
%\item Montrer que pour tout entier naturel $n,\, 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n} \leqslant 1$. 
%\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. \\(On pourra montrer que $h(x) - x = \dfrac{(1 - x)g(x)}{e^x - x}$ et faire le lien avec la fonction $g$ de la partie A)
%\end{enumerate}
%\end{exoi}
%

\end{document}
