\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du Devoir Maison 16}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Pr\'eparation BB}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav
\vspace{1cm}

\textbf{\textbf{Tout élève poursuivra ses efforts pour améliorer les résultats de son DM14 ou traitera l'exercice suivant.}
}

  
 

\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
On définit une suite $(u_n)_{n\in\N}$ par : $$ \left \{\begin{array}{l}
u_0=0
\\u_1=1 \qquad t \in \R
\\u_{n+2}=\dfrac{1}{2}\left(3u_{n+1}-u_n\right) \qquad \text{pour tout n }\geq 0
\end{array}
\right.$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $u_2$ et $u_3$.}
$$ u_2=\dfrac{1}{2}(3-0)=\dfrac{3}{2}$$
$$ u_3=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}-1\right)=\dfrac{1}{4}$$
\item {\footnotesize A l'aide d'un tableur, calculer les $30$ premiers termes de la suite. \\Quelle conjecture peut-on faire quant au comportement de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$?}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{tableur_1.eps}
\end{center}
On conjecture que :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=2$$
\item {\footnotesize On pose , pour tout entier $n$, $$U_n=\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix}\text{ et } A=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{2}&-\dfrac{1}{2}\\&\\1&0\end{pmatrix}$$}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Vérifier que , pour tout $n\in N$, $$U_{n+1}=AU_n$$}
$$ AU_n=\begin{pmatrix}
\dfrac{3}{2}&-\dfrac{1}{2}\\&\\1&0
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\dfrac{3}{2}u_{n+1}-\dfrac{1}{2}u_n\\
u_{n+1}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}\left(3u_{n+1}-u_n\right)\\
u_{n+1}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
u_{n+2}\\
u_{n+1}
\end{pmatrix}=U_{n+1}
$$
\item {\footnotesize Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in N$, $$U_{n}=A^nU_0$$}

Notons $\mathscr P(n) :U_{n}=A^nU_0$
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$ on a $A^0U_0=U_0$ donc la propriété est initialisée à partir de $n=0$.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $U_n=A^nU_0$ alors $U_{n+1}=A^{n+1}U_0$.
$$ U_{n+1}=AU_n=A\times A^nU_0=A^{n+1}U_0$$
donc la propriété $\mathscr P$ est héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ étant initialisée et héréditaire on en déduit que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ U_n=A^nU_0$$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item {\footnotesize On pose : $$P=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\text{ et } Q=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}$$}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $PQ$ et $QP$.}
$$ PQ=\begin{pmatrix}
1&1\\1&2
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}$$
De même $$ QP=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
1&1\\1&2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}$$
\item {\footnotesize Vérifier que la matrice $QAP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.}
$$QAP=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}\dfrac{3}{2}&-\dfrac{1}{2}\\&\\1&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
1&1\\1&2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 & -1\\
-\dfrac{1}{2}& \dfrac{1}{2}
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
1&1\\1&2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & \dfrac{1}{2}
\end{pmatrix}$$
On a donc :
$$ D=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & \dfrac{1}{2}
\end{pmatrix}$$
\item {\footnotesize Démontrer par récurrence, que pour tout $n\in N$, $$A^n=PD^nQ$$}
Notons $\mathscr P'(n)$ cette propriété :
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$ on a $PD^0Q=PQ=I_2$ et $A^0=I_2$ donc la propriété est initialisée à partir de $n=0$
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $PD^nQ=A^n$ alors $PD^{n+1}Q=A^{n+1}$.
\\
$A^{n+1}=A\times A^n=APD^nQ$. Or, $D=QAP\Longrightarrow PD=PQAP\Longrightarrow PD=AP\Longrightarrow PDQ=APQ=A$ donc :
$$ A^{n+1}=PDQPD^nQ=PDD^nQ=PD^{n+1}Q$$
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P'$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ A^{n+1}=PD^{n+1}Q$$
\end{itemize}
\item {\footnotesize En admettant que $D^n=\begin{pmatrix}1&0\\&\\0&\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\end{pmatrix}$, déterminer l'expression de $A^n$.}
\end{enumerate}
$$ A^n=PD^nQ=\begin{pmatrix}
1&1\\1&2
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&0\\&\\0&\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\\
\\
1 & 2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n & -1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\\\\
2+2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n & -1+2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n
\end{pmatrix}$$
\item {\footnotesize Déduire des questions 3.b et 4.d., une expression de $u_n$ en fonction de $n$.}

On a donc $$\begin{pmatrix}
u_{n+1}\\
u_n
\end{pmatrix} =U_n=A^nU_0=\begin{pmatrix}
2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n & -1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\\\\
2+2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n & -1+2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\\
2+2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n
\end{pmatrix}$$
Par conséquent pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_n=2+2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$
\item {\footnotesize Etudier la convergence de la suite $(u_n)$}
\\
Puisque $-1<\dfrac{1}{2}<1$ on a $\lim\limits_{n\to +\infty}  \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$, par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} 2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$ et au final :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} 2+2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=2\Longleftrightarrow \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=2$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}