\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction Devoir Maison 14}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Nombres Complexes}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{Tout élève traitera  au moins un exercice.}


\begin{exoi}\hfill $\spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
On considère les nombres complexes :
$$ z_1=1-i\qquad \text{et} \qquad z_2=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}i$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Préciser les parties réelles de $z_1$ et de $z_2$.}
La partie réelle de $z_1$ est $1$, celle de $z_2$ est $-\dfrac{1}{4}$, puis la partie imagine de $z_1$ est $-1$ et celle de $z_2$ est $\dfrac{1}{3}$.
\item {\footnotesize Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants :}
\begin{enumerate}
\item $z_1-z_2=1-i+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}i=\dfrac{5}{4}-\dfrac{4}{3}i$
\item $z_1+z_2=1-i-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}i=\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{3}i$
\item $z_1\times z_2=\left(1-i\right)\left(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}i\right)=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}i+\dfrac{1}{4}i-\dfrac{1}{3}i^2=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{4+3}{12}i=\dfrac{1}{12}+\dfrac{7}{12}i$
\item $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{1-i}{-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}i}=\dfrac{12-12i}{-3+4i}=\dfrac{(12-12i)(-3-4i)}{(-3+4i)(-3-4i)}=\dfrac{-36-48i+36i-48}{9-(4i)^2}=\dfrac{-84-12i}{9+16}=-\dfrac{84}{25}-\dfrac{12}{25}i$
\item $z_1^2=\left(1-i\right)^2=1-2i+i^2=-2i$
\item $z_1^3=\left(1-i\right)^3=(1-i)(1-i)^2=(1-i)(-2i)=-2i+2i^2=-2i-2$
\item $\dfrac{1}{z_1}=\dfrac{1}{1-i}=\dfrac{1+i}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{1+i}{1-i^2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i$
\item $\dfrac{1}{z_2}=\dfrac{1}{-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}i}=\dfrac{12}{-3+4i}=\dfrac{12(-3-4i)}{(-3+4i)(-3-4i)}=\dfrac{-36-48i}{9-16i^2}=\dfrac{-36-48i}{25}=\dfrac{-36}{25}-\dfrac{48}{25}i$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill $\spadesuit$

\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Résoudre dans $\C$ les équations suivantes :}
\begin{enumerate}
\item $z^2+1=0 \Longleftrightarrow z^2=-1 \Longleftrightarrow z=i\qquad \text{ou} \qquad z=-1$ ;
\item $3(z-5)^2+27=0\Longleftrightarrow 3(z-5)^2=-27\Longleftrightarrow (z-5)^2=-9\Longleftrightarrow z-5=3i\qquad \text{ou}\qquad z-5=-3i \Longleftrightarrow z=5+3i\qquad \text{ou}\qquad z=5-3i$
\end{enumerate}
\item $x$ désigne un nombre réel.
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize A quelle condition le nombre complexe $z=x-2-i(-ix+x)+2i-5ix$ est-il un nombre réel ?}\\
$z$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.\\
Simplifions l'écriture de $z$ :
$$ z=x-2+i^2x-ix+2i-5ix=x-2-x+i(2-x-5x)=-2+i(2-6x)$$
Donc $z$ est réel si et seulement si $2-6x=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{3}$.
\item {\footnotesize A quelle condition est-il un imaginaire pur ?}\\
Etant donné que la partie réelle de $z$ est $-2$, il est impossible que $z$ soit un imaginaire pur.
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Résoudre dans $\C$ l'équation $\dfrac{-i}{2z-3}=4$.}
$$ \dfrac{-i}{2z-3}=4\Longleftrightarrow -i=4(2z-3)=8z-12\Longleftrightarrow 8z=-i+12\Longleftrightarrow z=\dfrac{12}{8}-\dfrac{1}{8}i=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{8}i$$
\end{enumerate}
\end{exoi}
\end{document}
