\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction Devoir Maison 13}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Etude de fonction - Exponentielle}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{Tout élève traitera  au moins un exercice.}


\begin{exoi}\hfill $\spadesuit\spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}$$
On appelle $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer la limite de $f$ en $-\infty$. En déduire l'existence d'une asymptote dont on précisera une équation.}\\
On a $\lim\limits_{x\to -\infty} e^x=0$ donc $$\lim\limits_{x\to -\infty} e^x-1=-1\qquad \text{et}\lim\limits_{x\to -\infty} e^x+1=1 $$
Par quotient on obtient :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{e^x-1}{e^x+1}=\dfrac{-1}{1}=-1$$
Nous en déduisons l'existence d'une asymptote horizontale d'équation $y=1$ en $-\infty$.
\item \begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer que pour tout $x\in \R$ on a :
$$ f(x)=\dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}$$
\end{footnotesize}
Pour tout nombre réel $x$ on a :
$$ f(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}=\dfrac{e^x\left((1-\frac{1}{e^x}\right)}{e^x\left((1+\frac{1}{e^x}\right)}=\dfrac{1-\frac{1}{e^x}}{1+\frac{1}{e^x}}$$
Et puisque d'après le cours on a $\forall x\in \R, e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$ on peux en déduire que :
$$ f(x)=\dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}$$
\item {\footnotesize En déduire la limite de $f$ en $+\infty$ et l'existence d'une deuxième asymptote à $\mathscr C_f$ en $+\infty$ dont on précisera une équation. }\\
Utilisons l'expression algébrique de $f(x)$ trouvée à la question précédente.
On a :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty}-x=-\infty\qquad \text{et} \qquad \lim\limits_{X\to -\infty} e^X=0$$
Par composition on obtient : $\lim\limits_{x\to +\infty}e^{-x}=0$ et on en déduit :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}=\dfrac{1}{1}=1$$
Ainsi $\mathscr C_f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=1$ en $+\infty$.
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que pour tout réel $x$ on a :
$$ f(-x)=-f(x)$$
Que peut-on en déduire pour la fonction $f$ et pour sa représentation graphique ?
\end{footnotesize}
\\
Pour tout réel $x$ on a :
$$ f(-x)=\dfrac{1-e^{x}}{1+e^x}=-\dfrac{e^x-1}{1+e^x}=-f(x)$$
Par conséquent la fonction $f$ est impaire, par conséquent $\mathscr C_f$ est symétrique par rapport à l'origine du repère.
\item {\footnotesize Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in \R$ puis étudier son signe. En déduire le tableau de variations de $f$.}\\
Pour tout réel $x$, $f$ est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivable sur $\R$ et on a :
$$ f'(x)=\dfrac{e^x(e^x+1)-(e^x-1)e^x}{(e^x+1)^2}=\dfrac{e^{2x}+e^x-e^{2x}+e^x}{(e^x+1)^2}=\dfrac{2e^x}{(e^x+1)^2}$$
On vient d'utiliser le fait que $\left(e^x\right)^2=e^{2x}$.\\
On sait que pour tout réel $x$ on a $e^x>0$, par conséquent :
$$ e^{2x}>0\qquad \forall x\in \R$$
De plus $e^x+1\geq 1 \Rightarrow (e^x+1)^2>0$, par quotient et en appliquant la règle des signes on obtient :
$$ f'(x)>0\qquad \forall x\in \R$$
On en déduit le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$ :\\
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&&\tx{+}&&\cr
\tx{f(x)}&\txb{-1}&&\fm&&\txh{1}\cr
}$$
\end{enumerate}

\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill $\spadesuit\spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=e^{x^2-2x}$$
On appelle $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer les limites de $f$ en $\pm \infty$. Que peut-on en déduire ?}\\
Pour tout $x\neq 0$ ona :
$$ x^2-2x=x^2\left(1-\dfrac{2}{x}\right)$$
De plus :
$$ \lim\limits_{x\to \pm \infty} 1-\frac{2}{x}=1\qquad \text{et}\qquad \lim\limits_{x\to \pm \infty} x^2=+\infty$$
Par produit on obtient :
$$\lim\limits_{x\to \pm\infty} x^2-2x=+\infty $$
De plus :
$$ \lim\limits_{X\to +\infty} e^X=+\infty$$
Par composition on en déduit que :
$$ \lim\limits_{x\to \pm\infty}  e^{x^2-2x}=+\infty$$
Compte tenu du fait que la fonction $f$ est définie sur $\R$, continue et dérivable sur $\R$ avec pour limite $+\infty$ en $\pm \infty$, on peut en déduire qu'elle n'est pas monotone et qu'elle admet au moins un minimum relatif.
\item {\footnotesize Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ et déterminer son signe.}\\
On sait que $\left(e^u\right)'=u'e^u$. La fonction $f$ étant dérivable sur $\R$ comme composée de deux fonctions dérivables sur $\R$ on a pour tout réel $x$ :
$$ f'(x)=(2x-2)e^{x^2-2x}$$
Puisque $\forall x\in \R, \quad e^x>0$ on a pour tout réel $x$ :
$$ e^{x^2-2x}>0$$
$f'(x)$ est du signe de $2x-2$ dont voici le tableau résumant son signe en fonction de $x$ :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$
\item {\footnotesize Dresser le tableau de variations de $f$.}\\
Immédiatement de la question précédente découle le tableau de variations de $f$ :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)}&\txh{+\infty}&\fd&\txb{\frac{1}{e}}&\fm&\txh{+\infty}\cr
}$$
\item {\footnotesize Résoudre l'équation $f(x)=1$.}
$$ f(x)=1\Longleftrightarrow e^{x^2-2x}=1\Longleftrightarrow e^{x^2-2x}=e^0\Longleftrightarrow x^2-2x=0\Longleftrightarrow x(x-2)=0$$
ce qui équivaut à $x=0$ ou $x=2$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}
