\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du Devoir Maison 13}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Matrice - vers le bac...}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\Cr{\decofourleft~ \typedoc ~\decofourright \\ \Ch}

\vspace{1cm}


  
 \begin{exoi}\hfill $\spadesuit \spadesuit \spadesuit$\\
 \begin{footnotesize}
 On étudie la population d'une région imaginaire. Le 1\up{er} janvier 2013, cette région comptait {250000}~habitants dont 70\,\% résidaient à  la campagne et 30\,\% en ville.
 
L'examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à  choisir de modéliser l'évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] l'effectif de la population est globalement constant,
\item[$\bullet~~$] chaque année, 5\,\% de ceux qui résident en ville décident d'aller s'installer à  la campagne et 1\,\% de ceux qui résident à  la campagne choisissent d'aller habiter en ville.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ le nombre d'habitants de cette région qui résident en ville au 1\up{er}~janvier de l'année $(2013 + n)$ et $c_{n}$ le nombre de ceux qui habitent à la campagne à  la même date.

\medskip
 

 \end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n+1}$ et $c_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$ et $c_{n}$.
$$ v_{n+1}=0,95v_n+0,01c_n\qquad \text{et} \qquad c_{n+1}=0,05v_n+0,99c_n$$}  
\item \begin{footnotesize}
Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}$. 

On pose $X = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ où $a,\: b$ sont deux réels fixés et $Y = AX$.
 
Déterminer, en fonction de $a$ et $b$, les réels $c$ et $d$ tels que $Y = \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$.

\end{footnotesize}

On a :
$$ Y=AX\Longleftrightarrow Y=\begin{pmatrix}
0,95&0,01\\0,05& 0,99
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
a\\b
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0,95a+0,01b\\
0,05a+0,99b
\end{pmatrix}$$
On en déduit que $c=0,95a+0,01b$ et $d=0,05a+0,99b$.
\end{enumerate}
 
{\footnotesize Les résultats précédents permettent d'écrire que pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} = AX_{n}$ où $X_{n} = \begin{pmatrix}v_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}$. On peut donc en déduire que pour tout entier naturel $n,\: X_{n} = A^n X_{0}$. }

\begin{enumerate}
\item[\textbf{3.}] {\footnotesize Soient les matrices $P = \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}$.} 
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Calculer $PQ$ et $QP$. En déduire la matrice $B$  telle que $PB=I_2$ et $BP=I_2$.}
		
		$$ PQ=\begin{pmatrix}
		1&- 1\\5&1
		\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
		6 & 0\\
		0 & 6
		\end{pmatrix}$$
		et $$QP=\begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
		1&- 1\\5&1
		\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
		6 & 0\\
		0 & 6
		\end{pmatrix}$$
		Ainsi $PQ=QP=6I_2$, par conséquent $P\frac{1}{6}Q=\frac{1}{6}QP=I_2$ ce qui permet de conclure que $B=\dfrac{1}{6}Q=\begin{pmatrix}
		\frac{1}{6}& \frac{1}{6}\\
		-\frac{5}{6} & \frac{1}{6}
		\end{pmatrix}$
		\item {\footnotesize Vérifier que la matrice $BAP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.}
		$$ BAP=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}
		1& 1\\
		-5 & 1
		\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
0,95 &0,01\\
0,05 &0,99
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
		1&- 1\\5&1
		\end{pmatrix} =\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}
		1 & 1\\
		-4,7 & 0,94
		\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
		1&- 1\\5&1
		\end{pmatrix}=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}
		6 & 0\\
		0 & 5,64
		\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
		1 & 0\\
		0 & \frac{564}{600}
		\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
		1 & 0\\
		0 & \frac{47}{50}
		\end{pmatrix}$$
		\item {\footnotesize Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à  $1$, $A^n = P D^n B$.}
		\\
		Notons $\mathscr Z(n)$ la propriété $A^n=PD^nB$.
		\begin{itemize}
		\item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=1$ : \\
		On sait que $D=BAP$ et $PB=BP=I_2$ par conséquent de $D=BAP$ en multipliant à gauche par $P$ on obtient :
		$$ PD=PBAP=AP$$
		puis en multipliant à droite par $B$ on obtient :
		$$ PDB=APB=A$$
		La propriété $Z$ est vraie au rang $1$.
		\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons l'implication suivante :
		$$ A^n=PD^nB\Longrightarrow A^{n+1}=PD^{n+1}B$$
		$$ A^{n+1}=A^n\times A=PD^nBA=PD^nB\times PDB=PD^nBPDB$$
		Or $BP=I_2$ d'où :
		$$ A^{n+1}=PD^nDB=PD^{n+1}B$$
		La propriété $Z$ est héréditaire c'est-à-dire dès lors qu'elle est vraie au rang $n$ elle l'est au rang $n+1$.
		\item \textbf{\textit{Conclusion}} : La propriété $Z$ est initialisée à partir de $n=1$ et est héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$.
		\end{itemize}
		\item {\footnotesize Calculer en fonction de $n$, la matrice $A^n$.}
		$$ A^n=PD^nB=P\begin{pmatrix}
		1 & 0 \\
		0 & \frac{47^n}{50^n}
		\end{pmatrix}B=\begin{pmatrix}
		1 & -1\\
		5 & 1
		\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
		1 & 0 \\
		0 & \frac{47^n}{50^n}
		\end{pmatrix}B$$
c'est-à-dire :		
		$$A^n=\begin{pmatrix}
		1 & -\frac{47^n}{50^n}\\
		5 & \frac{47^n}{50^n}
		\end{pmatrix}\times \frac{1}{6} \begin{pmatrix}
		1 & 1\\
		-5 & 1
		\end{pmatrix}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}
		1+5\times \frac{47^n}{50^n} & 1+ \frac{47^n}{50^n} \\
		5-5\times \frac{47^n}{50^n}  & 5+\frac{47^n}{50^n} 
		\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
		\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}\frac{47^n}{50^n} & \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\frac{47^n}{50^n}\\
		\dfrac{5}{6}-\dfrac{5}{6}\times \frac{47^n}{50^n} & \dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{6}\times \frac{47^n}{50^n}
		\end{pmatrix}$$
		\item {\footnotesize Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à  long terme ? }
		
		On sait que $X_n=A^nX_0$ et $X_0=250000\times \begin{pmatrix}
		0,3 & 0,7
		\end{pmatrix}$, on en déduit que :
		$$ X_n=250000\times \begin{pmatrix}
		\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}\frac{47^n}{50^n} & \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\frac{47^n}{50^n}\\
		\dfrac{5}{6}-\dfrac{5}{6}\times \frac{47^n}{50^n} & \dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{6}\times \frac{47^n}{50^n}
		\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
		0,3\\
		0,7
		\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
		\dfrac{1}{20}+\dfrac{5}{20}\times 0,94^n+\dfrac{7}{60}+\dfrac{7}{60}\times 0,94^n\\
		\dfrac{5}{20}-\dfrac{5}{20}\times 0,94^n+\dfrac{35}{60}+\dfrac{7}{60}\times 0,94^n
		\end{pmatrix}$$
		Autrement dit on a :
		$$ v_n/250000=\dfrac{1}{20}+\dfrac{5}{20}\times 0,94^n+\dfrac{7}{60}+\dfrac{7}{60}\times 0,94^n \qquad \text{et} \qquad c_n/250000=\dfrac{5}{20}-\dfrac{5}{20}\times 0,94^n+\dfrac{35}{60}+\dfrac{7}{60}\times 0,94^n$$
		or,
		$$ \lim\limits_{n\to +\infty} 0,94^n=0$$
		d'où :
		$$ \lim\limits_{n\to +\infty} v_n/250000=\dfrac{1}{20}+\dfrac{7}{60}=\dfrac{1}{6}\qquad \text{et} \qquad \lim\limits_{n\to +\infty} c_n/250000=\dfrac{5}{20}+\dfrac{35}{60}=\dfrac{5}{6}$$
		On en déduit qu'à long terme un sixième de cette population vivra en ville et le reste à la campagne.
	\end{enumerate} 

\end{enumerate}

\end{exoi}


  
\end{document}