\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 12}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Tester la qualit\'e d'un objet - Probabilit\'e}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav
\vfill
\textbf{Tout élève traitera  au moins un exercice.}
\vfill

\begin{exoi}\hfill $ \spadesuit\spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
Dans une entreprise une étude statistique a montré que le pourcentage de pièces défectueuses fabriqués est égal à $2\%$ . Pour éliminer les pièces défectueuses, un test de qualité est mis en place dont les résultats sont les suivants :
\end{footnotesize}\begin{footnotesize}
\begin{itemize}
\item le test élimine $98\%$ des pièces défectueuses ;
\item le test élimine $0,5\%$ des pièces non défectueuses.
\end{itemize}
On tire une pièce au hasard d'après le processus du test.\\
On note respectivement $D$ et $T$ les événements :\og la pièce tirée est défectueuse\og et \og le test élimine la pièce \fg.\\
\end{footnotesize}
\partieBac{}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Réaliser un arbre pondéré qui modélise cette expérience.}
%:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
\begin{center}
% Racine en Haut, développement vers le bas
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{feuille}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white,draw]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{2}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(-0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(-1.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(-2.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(1)*\DistanceInterFeuilles}
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({(1.5)*\InterFeuilles},{\NiveauA}) {$ $};
\node[noeud] (Ra) at ({(0.5)*\InterFeuilles},{\NiveauB}) {$D$};
\node[feuille] (Raa) at ({(0)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$T$};
\node[feuille] (Rab) at ({(1)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$\overline{T}$};
\node[noeud] (Rb) at ({(2.5)*\InterFeuilles},{\NiveauB}) {$\overline{D}$};
\node[feuille] (Rba) at ({(2)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$T$};
\node[feuille] (Rbb) at ({(3)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$\overline{T}$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$0,02$};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette] {$0,98$};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette] {$0,02$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$0,98$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette] {$0,005$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette] {$0,995$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin
\item {\footnotesize Calculer la probabilité qu'une pièce soit éliminée.}
$$ p(T)=p(D\cap T)+p(\overline{D}\cap T)=0,02\times 0,98+0,98\times 0,005=0,98\times 0,025=0,0245$$
\item {\footnotesize Montrer que la probabilité qu'une pièce soit éliminée à tort est égale à $0,0049$.}
\\
Une pièce est éliminée à tort si elle n'est pas défectueuse et éliminée en plus :
$$ p(\overline{D}\cap T)=0,98\times 0,005=0,0049$$
\item {\footnotesize Sachant qu'une pièce n'est pas éliminée, calculer la probabilité qu'elle soit défectueuse, on donnera la valeur exacte du résultat et l'arrondi à $10^{-4}$.}
$$ p_{\overline{T}}(D)=\dfrac{p(D\cap \overline{T})}{p(\overline{T})}=\dfrac{0,02\times 0,02}{0,02\times 0,02+0,98\times 0,995}=\dfrac{0,0004}{0.9947}\simeq 0,0004$$
\end{enumerate}
\partieBac{}
{\footnotesize On suppose que toutes les pièces ont été testé, certaines ont donc été éliminé à tort ou à raison. On prélève au hasard (avec remise, ceci dit peu importe car la production est suffisamment grande qu'on puisse assimiler un tirage sans remise à un tirage avec remise ) 100 pièces. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de pièces défectueuses.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Quelle loi suit la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres.}\\
On prélève $100$ pièces de cette production de manière indépendantes (puisqu'on assimile ceci à un tirage avec remise), $X$ compte le nombre de pièces défectueuses, $X$ suit une loi binomiale de paramètre $n=100$ et $p$ est  la probabilité de prélever une pièce défectueuse sachant que l'on ne l'a pas éliminée i.e $p=\dfrac{4}{9947}$ :
$$ X\hookrightarrow B\left(100,\dfrac{4}{9947}\right)$$
\item {\footnotesize En déduire la probabilité qu'au moins deux pièces prélevées soit défectueuses.}
$$ p(X\geq 2)=1-p(X=0)-p(X=1)=1-\left(\dfrac{9943}{9947}\right)^{100}-\binom{100}{1}\times \dfrac{4}{9947}\times \left(\dfrac{9943}{9947}\right)^{99}\simeq 0,0007797$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\vfill

\begin{exoi}\hfill $\spadesuit \spadesuit \spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
Une usine fabricant des microprocesseurs pouvant présenter deux défauts $A$ et $B$ a réalisé une étude statistique donnant les résultat suivant :
\begin{itemize}
\item $9\%$ des microprocesseurs présentent le défaut $A$ ;
\item $6\%$ des microprocesseurs présentent le défaut $B$ ;
\item $3\%$ des microprocesseurs présentent les deux défauts.
\end{itemize}
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Les événements $A$ :\og le microprocesseur présente le défaut $A$ \fg et $B$ : \og le microprocesseur présente le défaut $B$ \fg sont-ils indépendants ?}\\
D'après l'énoncé on a :
$$ p(A)=0,09\qquad \text{;}\qquad p(B)=0,06\qquad \text{et}\qquad p(A\cap B)=0,03$$
Les événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si on a $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$. Or $p(A)\times p(B)=0,09\times 0,06=0,0054\neq p(A\cap B)$. Les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
\item {\footnotesize Déterminer la probabilité que le microprocesseur présente le défaut $B$ sachant qu'il présente le défaut $A$.}
$$ p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}=\dfrac{0,03}{0,09}=\dfrac{1}{3}$$
\item {\footnotesize Quelle est la probabilité que le microprocesseur présente uniquement le défaut $A$ ?}\\
Cette probabilité vaut :
$$ p(A)-p(A\cap B)=0,09-0,03=0,06$$
\item {\footnotesize Déterminer $p_{\overline{A}}(B)$.}\\
Puisque $p(A)=0,09$ on a immédiatement $p(\overline{A})=1-0,09=0,91$.\\
De plus $$p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)=p(B)\Longleftrightarrow 0,03+p(\overline{A}\cap B)=0,06\Longleftrightarrow p(\overline{A}\cap B)=0,03$$
Par conséquent :
$$ p_{\overline{A}}(B)=\dfrac{p(\overline{A}\cap B)}{p(\overline{A})}=\dfrac{0,03}{0,91}=\dfrac{3}{91}$$
\item {\footnotesize Quelle est la probabilité que le microprocesseur ne présente aucun défaut ? }
\\
L'événement $C$ : \og le microprocesseur ne présente aucun défaut\fg{} est l'événement contraire de l'événement $A\cup B$. \\
Or, $$ p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=0,09+0,06-0,03=0,12$$
Par conséquent :
$$ p(C)=1-p(A\cup B)=1-0,12=0,88$$
\end{enumerate}
\end{exoi}
\end{document}
