\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction Devoir Maison 12}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Matrice - Calculatoire...}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\Cr{\decofourleft~ \typedoc ~\decofourright \\ \Ch}

\vspace{1cm}

\textbf{Tout élève traitera au moins un exercice.}

  
 \begin{exoi}\hfill $\spadesuit \spadesuit \spadesuit$
 \begin{enumerate}
 \item \begin{footnotesize}
 On considère  les matrices $M=\begin{pmatrix}
 1 & 0\\
 -2 & 2
 \end{pmatrix}$ et $N=\begin{pmatrix}
 -1 & 1\\
 3 & -1
 \end{pmatrix}$.
 \\
 Calculer $M\times N$ et $N\times M$.
 \end{footnotesize}
 $$ MN=\begin{pmatrix}
  1 & 0\\
 -2 & 2
 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
  -1 & 1\\
 3 & -1
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 -1 & 1\\
 8 & -4
 \end{pmatrix}$$
 De même :
 $$ NM=\begin{pmatrix}
   -1 & 1\\
 3 & -1
 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
  1 & 0\\
 -2 & 2
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 -3 & 2\\
 5 & -2
 \end{pmatrix}$$
 \item \begin{footnotesize}
 On considère les matrices :
 $$A=\begin{pmatrix}
 -3 & 1 & 1 \\
 1 & -3 & 1\\
 1 & 1 & -3
 \end{pmatrix}\qquad \text{et}\qquad J=\begin{pmatrix}
 1 & 1 & 1\\
 1 & 1 & 1\\
 1 & 1 & 1\\
 \end{pmatrix}$$
 \end{footnotesize} 
 \begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $ A=aI_3+bJ$}
 $$ A=\begin{pmatrix}
 -3 & 1 & 1 \\
 1 & -3 & 1\\
 1 & 1 & -3
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 1 & 1 & 1\\
  1 & 1 & 1\\
 1 & 1 & 1
 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
 -4 & 0 & 0\\
 0 & -4 & 0\\
 0 & 0 & -4
 \end{pmatrix}=J-4I_3$$
 On choisit donc $a=-4$ et $b=1$.
 \item {\footnotesize Vérifier que $J\times J=3J$ et en déduire que $ A\times A+5A+4I_3=0_3$}\\
 Effectivement on observe que $J\times J=3J$ puisque $1\times 1+1\times 1+1\times 1=3$
 D'après la question précédente on a $$ A=-4I_3+J$$
 donc en multipliant par $$A\times A+5A+4I_3=(-4I_3+J)(-4I_3+J)+5A+4I_3=16I_3^2-4I_3J-4JI_3+J^2+5A+4I_3=16I_3-8J+3J+5(-4I_3+J)+4I_3$$
 ce qui donne :
 $$A\times A+5A+4I_3=16I_3-5J-20I_3+5J+4I_3=20I_3-20I_3=0_3 $$
 \item {\footnotesize Déterminer une matrice $B$ telle que $ A\times B=I_3$}\\
 D'après la question précédente on a :
 $$A\times A+5A+4I_3=0_3 \Longleftrightarrow A^2+5A=-4I_3\Longleftrightarrow A(A+5I_3)=-4I_3\Longleftrightarrow A\times \dfrac{A+5I_3}{-4}=I_3$$
$$B=\dfrac{A+5I_3}{-4}=\dfrac{\begin{pmatrix}
 2 & 1 & 1\\
 1 & 2 & 1\\
 1 & 1 & 2
 \end{pmatrix}}{-4}=\begin{pmatrix}
 -1/2 & -1/4 & -1/4\\
 -1/4 & -1/2 & -1/4\\
 -1/4 & -1/4 & -1/2
 \end{pmatrix}$$
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 \end{exoi}


\begin{exoi}\hfill $\spadesuit \spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
On considère un mobile se déplaçant sur les trois sommets d'un graphe avec les probabilités indiquées ci-dessous  :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\begin{psmatrix}[mnode=circle]
A &  & B \\ 
 &  & C 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=->,shortput=nab}
\nccircle[angleA=90]{1,1}{0.7cm}^{0,93}
\ncarc[arcangle=15]{1,1}{1,3}^{0,07}
\ncarc[arcangle=15]{1,3}{1,1}^{0,03}
\nccircle[angleA=-90]{1,3}{0.7cm}^{0,97}
\ncline{2,3}{1,3}^{0,4}
\nccircle[angleA=90]{2,3}{0.7cm}^{0,6}
\end{center}
On note $X_n=\begin{pmatrix}
a_n\\
b_n\\
c_n
\end{pmatrix}$ le vecteur colonne donnant les probabilités que le mobile occupe les sommets $A$, $B$ et $C$ $n$ instants après son départ.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Donner la matrice de transition $T$ associée à ce graphe.}
$$ T=\begin{pmatrix}
0,93 & 0,03 & 0\\
0,07 & 0,97 & 0,4\\
0 & 0 & 0,6
\end{pmatrix}$$
\item {\footnotesize S'il part du sommet $A$ :}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $X_1$ et $X_2$.}
S'il part de $A$ alors $X_0=\begin{pmatrix}
1 \\ 0\\ 0
\end{pmatrix}$ et donc :
$$ X_1=TX_0=\begin{pmatrix}
0,93 & 0,03 & 0\\
0,07 & 0,97 & 0,4\\
0 & 0 & 0,6
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0,93\\
0,07\\
0
\end{pmatrix}$$
Et donc :
$$ X_2=TX_1=\begin{pmatrix}
0,93 & 0,03 & 0\\
0,07 & 0,97 & 0,4\\
0 & 0 & 0,6
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
0,93\\
0,07\\
0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0,867\\
0,133\\
0
\end{pmatrix}$$
\item {\footnotesize Démontrer par récurrence que $X_n=T^nX_0$.}
Démontrons la propriété $\mathscr P(n) : X_n=T^nX_0$ par récurrence.
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$ on a $T^0X_0=I_3X_0=X_0$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons l'implication suivante :
$$ X_n=T^nX_0\Longrightarrow X_{n+1}=T^{n+1}X_0$$
On a :
$$ X_{n+1}=TX_n=TT^nX_0=T^{n+1}X_0$$
La propriété $\mathscr P$ est héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : La propriété $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ X_n=T^nX_0$$
\end{itemize}
\item {\footnotesize Donner à l'aide de la calculatrice $X_{30}$.}
$$X_{30}=T^{30}X_0\simeq \begin{pmatrix}
0,33\\
0,67\\0
\end{pmatrix}$$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize S'il part du sommet $B$ :}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $X_1$ et $X_2$.}
S'il part de $B$ alors $X_0=\begin{pmatrix}
0 \\ 1\\ 0
\end{pmatrix}$ et donc :
$$ X_1=TX_0=\begin{pmatrix}
0,93 & 0,03 & 0\\
0,07 & 0,97 & 0,4\\
0 & 0 & 0,6
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
0\\
1\\
0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0,03\\
0,97\\
0
\end{pmatrix}$$
Et donc :
$$ X_2=TX_1=\begin{pmatrix}
0,93 & 0,03 & 0\\
0,07 & 0,97 & 0,4\\
0 & 0 & 0,6
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
0,03\\
0,97\\
0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0,053\\
0,943\\
0
\end{pmatrix}$$
\item {\footnotesize Démontrer par récurrence que $X_n=T^nX_0$.}
\\
Voir $2.(b)$.
\item {\footnotesize Donner à l'aide de la calculatrice $X_{30}$.}
$$X_{30}=T^{30}X_0\simeq \begin{pmatrix}
0,29\\
0,71\\0
\end{pmatrix}$$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize S'il part du sommet $C$ :}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $X_1$ et $X_2$.}
S'il part de $C$ alors $X_0=\begin{pmatrix}
0 \\ 0\\ 1
\end{pmatrix}$ et donc :
$$ X_1=TX_0=\begin{pmatrix}
0,93 & 0,03 & 0\\
0,07 & 0,97 & 0,4\\
0 & 0 & 0,6
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0\\
0,4\\
0,6
\end{pmatrix}$$
Et donc :
$$ X_2=TX_1=\begin{pmatrix}
0,93 & 0,03 & 0\\
0,07 & 0,97 & 0,4\\
0 & 0 & 0,6
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
0\\
0,4\\
0,6
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0,012\\
0,628\\
0,36
\end{pmatrix}$$
\item {\footnotesize Démontrer par récurrence que $X_n=T^nX_0$.}
\\
Voir $2.(b)$.
\item {\footnotesize Donner à l'aide de la calculatrice $X_{30}$.}
$$X_{30}=T^{30}X_0\simeq \begin{pmatrix}
0,28\\
0,72\\0
\end{pmatrix}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}


  
\end{document}