\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 11}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Matrice - Etudier un processus \'evolutif al\'eatoire}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\Cr{\decofourleft~ \typedoc ~\decofourright \\ \Ch}

\vspace{1cm}



  
  \begin{exoi}
 \begin{footnotesize}
  Dans une grande ville (dont on suppose que la population reste globalement constante), on cherche à étudier les mouvements de population entre la banlieue et le centre-ville. On considère pour cela que, si on choisit au hasard un habitant de la banlieue, il a une probabilité de $0,03$ de déménager en centre-ville l'année suivante ; de même si on choisit au hasard un habitant du centre-ville, il a une probabilité de $0,07$ de déménager en banlieue l'année suivante. On note $A$ l'état \og habiter en centre-ville\fg et $B$ l'état \og habiter en banlieue \fg. On identifiera l'ensemble des états $\{A;B\}$ à l'ensemble $\{1;2\}$.
  Soit $X_n$ la variable aléatoire donnant l'état d'un habitant pris au hasard à l'année $n$. On suppose que la loi de probabilité de $X_0$ (ce qu'on l'on appelera la loi de probabilité initiale) est donnée par le vecteur-colonne $U_0=\begin{pmatrix}
  x_0 \\ y_0
  \end{pmatrix}$ (on a notamment $x_0+y_0=1$)
 \end{footnotesize}
  \begin{enumerate}
  \item {\footnotesize Dessiner un graphe et écrire la matrice de transition $T$ relative à ce processus.}
  %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
  \begin{center}
\begin{psmatrix}[mnode=circle]
A &  & B 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=->,shortput=nab}
\nccircle[angleA=90]{1,1}{0.7cm}^{0,93}
\ncarc[arcangle=15]{1,1}{1,3}^{0,07}
\ncarc[arcangle=15]{1,3}{1,1}^{0,03}
\nccircle[angleA=-90]{1,3}{0.7cm}^{0,97}
\end{center}
On en déduit la matrice $T$ de transition suivante :
$$ \begin{pmatrix}
0,93 & 0,03 \\
0,07 & 0,97
\end{pmatrix}
$$
  \item {\footnotesize On choisit $x_0=0,3$. Calculer les matrices-colonnes $U_1$ et $U_2$ associées aux lois de probabilités des variables aléatoires $X_1$ et $X_2$. Que constate-t-on ?}
  $$ U_1=T\times U_0=\begin{pmatrix}
  0,93 & 0,03 \\
0,07 & 0,97
  \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
  0,3\\
  0,7
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  0.3\\
  0.7
  \end{pmatrix}
  $$
  $U_1=U_0$, par conséquent :
  $$ U_2=T\times U_1=T\times U_0=U_0$$
  On constate pour $x_0=0,3$ la proportion de personnes vivant en ville et en banlieue est constante au cours des années.
  \item {\footnotesize Dans cette question on choisit $x_0=0,2$. Grâce à une calculatrice, calculer les lois de probabilités $U_3$, $U_5$, $U_{10}$  et $U_{30}$ (arrondir les résultats au millième. Que peut-on dire de l'évolution de la répartition de la population entre centre ville et banlieue au cours des années ?}
  \\
  Montrons par récurrence que $U_n=T^n\times U_0$
  \begin{itemize}
  \item \textit{Initialisation} : pour $n=0$ on a $T^0\times U_0=U_0$\\
  La propriété est vraie au rang $0$.
  \item \textit{Hérédité} :
  Montrons l'implication suivante :
  $$ U_n=T^n\times U_0\Longrightarrow U_{n+1}=T^{n+1}U_0$$
  On a :
  $$U_{n+1}=T\times U_n=T\times T^n \times U_0=T^{n+1}U_0$$
  La propriété est héréditaire.
  \item \textit{Conclusion} : Pour tout entier naturel $n$ on a :
  $$ U_n=T^nU_0$$
  \end{itemize}
  Grâce à cette relation et au fait que $U_0=\begin{pmatrix}
  0,2\\
  0,8
  \end{pmatrix}$ on déduit :
  $$ U_3\simeq \begin{pmatrix}
  0,227\\
  0,773
  \end{pmatrix}$$
  puis 
  $$ U_5\simeq\begin{pmatrix}
  0,241\\
  0,759
  \end{pmatrix}$$
  puis :
  $$ U_{10}\simeq \begin{pmatrix}
  0,256\\
  0,735
  \end{pmatrix} $$
  et enfin :
  $$ U_{30}\simeq \begin{pmatrix}
  0,296\\
  0,704
  \end{pmatrix}$$
  On peut conjecturer que :
  $$ \lim\limits_{n\to +\infty} U_n=\begin{pmatrix}
  0,3\\
  0,7
  \end{pmatrix}$$
  \end{enumerate}
  \end{exoi}




  
\end{document}