\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 10}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{R\'evisions : Suites, espaces, fonctions.}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{Ce devoir maison de révisions, de préparation au DS3 est facultatif. Il est cependant fortement conseillé de faire tous les exercices.}



%\begin{exoi}
%Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur l'intervalle $I=[0;1]$ telles que $f(0)=g(0)$ et $f'\leq g'$ sur $I$. Démontrer que $f\leq g$ sur $I$ (On pourra étudier les variations de $g-f$).
%\end{exoi}

%\begin{exoi}
%On considère la fonction $f$ définie pour $x\neq -1$ par :
%$$ f(x)=\dfrac{-x^2+2x+5}{x+1}$$
%On désigne par $\mathscr C_f$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$ %(avec $1cm=5$).
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
%\item Calculer $f'(x)$. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
%\item \begin{enumerate}
%\item Montrer qu'il existe $3$ réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour $x\neq -1$ :
%$$ f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}$$
%\item En déduire l'existence d'une asymptote oblique $T$ dont on donnera l'équation.
%\item Etudier la position de $T$ et $\mathscr C_f$.
%% En déduire l'existence d'une asymptote à la représentation graphique de $f$ que l'on notera $\mathscr C_f$.
%%\item Etudier les variations de la fonction $f$.
%\end{enumerate}
%\item Déterminer la limite de $f$ en $-1^+$ et en $-1^-$.
%%\item Déterminer les sol
%\item Démontrer que l'équation de la tangente $\Delta$ à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $0$ est $y=-3x+5$.
%\end{enumerate}
%\end{exoi}
%


%\begin{exoi}\hfill (points)\\
%On considère l'équation $(E)$ suivante : $ \sin x=x$
%\begin{enumerate}
%\item Trouver une solution évidente de $(E)$.
%\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\sin x-x$.
%\begin{enumerate}
%\item Etudier la parité de $f$. Quelle symétrie en déduit-on pour sa représentation graphique $\mathscr C_f$. Que peut-on en déduire quant au nombre de solution de l'équation $f(x)=0$.
%\item Dresser le tableau de variation de $f$.
%\item Montrer qu'il existe un unique réel tel que $f(x)=0$.
%\end{enumerate}
%\item Donner l'ensemble des solutions de $(E)$.
%\end{enumerate}
%\end{exoi}


%\begin{exoi}
%On désigne par $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
%$$ f(x)=2x -\sin x$$
%et on appelle $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé $(O;\vec i, \vec j)$. L'objet de cet exercice est une étude précise de la fonction $f$ et de sa représentation graphique $\mathscr C_f$.
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que la fonction $f$ est impaire. Quelle symétrie en déduit-on pour sa représentation graphique $\mathscr C_f$.
%\item Montrer que pour tout $x\in \R$ : 
%$$ 2x-1\leq f(x)\leq 2x+1$$
%En déduire les limites de $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et lorsque $x$ tend vers $-\infty$.
%\item Calculer la dérivée $f'$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$.
%\item \begin{enumerate}
%\item Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution  $\alpha$ sur $\R$.
%\item Déterminer $\alpha$.
%\end{enumerate}
%\item On appelle $d$ et $d'$ les droites d'équations respectives $y=2x-1$ et $y=2x+1$. Déterminer les points communs à $\mathscr C_f$ et $d$, d'une part, et à $\mathscr C_f$ et $d'$ d'autre part.
%\\
%Préciser les tangentes en ces points.
%\end{enumerate}
%\end{exoi}


%\begin{exoi}
%Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par  :
%$$\left\{ \begin{array}{l} u_0= \dfrac{1}{2}\\ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right)  \end{array} \right.$$
%\begin{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par :
%$$ f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)$$
%Etudier le sens de variation de $f$.
%\item Utiliser le graphique en dernière page pour construire les points $A_0$, $A_1$, $A_2$ et $A_3$ de l'axe $(O; \vec i)$ d'abscisses respectives $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
%\end{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n\geq \sqrt{2}$.
%\item Montrer que pour tout $x\geq \sqrt{2}$, $f(x)\leq x$.
%\item En déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $1$.
%\item Prouver qu'elle converge.
%\end{enumerate}
%\item Soit $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. Montrer que $\ell$ est solution de l'équation $$ x=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)$$
%En déduire sa valeur.
%\end{enumerate}
%\end{exoi}
%
%\begin{center}
%%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
%\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(8.1,10.1)
%\def\xmin{-1} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{10}
%\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.1,-1.1)(10.1,10.1)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%}
%\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
%\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
%\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.5,0)(0.5,2.25)
%%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.5,0)(0.5,2.25)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.5,2.25)(0,2.25)
%%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.5,2.25)(0,2.25)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,2.25)(2.25,2.25)
%%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,2.25)(2.25,2.25)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.25,2.25)(2.25,0)
%%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(2.25,2.25)(2.25,0)
%\def\F{0.5 x 2 x div add mul}
%\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0.001}{10}{x}
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.001}{10}{\F}
%\endpsclip
%\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){0}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
%\end{pspicture*}
%
%
%\end{center}

\begin{exoi}\hfill $ \spadesuit \spadesuit $ à $ \spadesuit \spadesuit \spadesuit \spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par :
$$ u_0=-1\qquad \text{et} \qquad u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer les cinq premiers termes de la suite $(u_n)$.}\\
$u_0=-1$ donc $u_1=\sqrt{2-1}=1$ puis $u_2=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$ puis $u_3=\sqrt{2+\sqrt{3}}$ et enfin $u_4=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$
\item \begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $[-2;+\infty[$ par :
$$ f(x)=\sqrt{2+x}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que $f$ est continue sur $[-2;+\infty[$.}\\
$f=g\circ h$ avec $g(x)=\sqrt{x}$ et $h(x)=2+x$. La fonction $h$ est continue sur $\R$ puisqu'il s'agit d'une fonction affine. Pour $x\in [-2;+\infty[$ on a $h(x)\geq 0$ et la fonction $g$ est continue sur $[0;+\infty[$ (puisqu'il s'agit de la fonction racine carrée). La composée de ces deux fonctions est donc continue sur l'intervalle $[-2;+\infty[$.
\item {\footnotesize Calculer $f'(x)$ pour $x\in ]-2;+\infty[$ et dresser le tableau de variation de $f$.}\\
La fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$, c'est pourquoi la fonction $f$ n'est pas dérivable en $-2$, en revanche en tant que composée de deux fonctions dérivables $f$ est dérivable sur l'intervalle $]-2;+\infty[$ et :
$$ \forall x\in \R, \qquad f'(x)=\dfrac{(2+x)'}{2\sqrt{2+x}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2+x}}$$
Pour tout $x>-2$ on a $2+x>0$ donc $2\sqrt{2+x}>0$ donc $f'(x)>0$ d'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-2}&&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&\doubletraitmilieu&&\tx{+}&&\cr
\tx{f(x)}&\txb{0}&&\fm&\txh{+\infty}&\cr
}$$
En effet $f(-2)=\sqrt{2-2}=0$.\\
De plus de $\lim\limits_{x\to +\infty}2+x=+\infty$ et  de $\lim\limits_{X\to +\infty} \sqrt{X}=+\infty$  on déduit par composition :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} \sqrt{2+x}=+\infty$$
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer, par récurrence et en utilisant la fonction $f$ que pour tout entier naturel $n$ :
$$ -1\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 2$$
En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$ et un majorant de $(u_n)$.
\end{footnotesize}\\
Notons $\mathscr P(n)$ la propriété définie au rang $n$ par :
$$ \mathscr P(n) :-1\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 2$$
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$ puisque $u_0=-1$ et $u_1=1$ on vérifie bien que :
$$ -1\leq -1\leq 1\leq 2$$
La propriété $\mathscr P$ est vraie au rang $0$.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Supposons que la propriété $\mathscr P$ soit vraie au rang $n$ et montrons qu'elle est vraie au rang $n+1$.
\\
On souhaite montrer que $$ -1\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 2\Longrightarrow -1\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq 2$$
Or :
$$-1\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 2 \Longrightarrow 1\leq 2+u_n\leq 2+u_{n+1}\leq 4 \Longrightarrow \sqrt{1}\leq \sqrt{2+u_n}\leq \sqrt{2+u_{n+1}}\leq \sqrt{4} $$
c'est-à-dire :
$$ 1\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq 2$$
La propriété $\mathscr P$ est héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire, par conséquent pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ -1\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 2$$
On a démontré que pour tout $n\in \N$ $u_n\leq u_{n+1}$, ce qui signifie que la suite $(u_n)$ est croissante.
\\
On a démontré que pour $n\in \N$ $u_n\leq 2$ autrement dit la suite $(u_n)$ est majorée par $2$.
\end{itemize}
\item {\footnotesize En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente vers un réel $\ell$. Que peut-on préciser pour ce réel $\ell$ ? }\\
$(u_n)$ est majorée par $2$ et est croissante, on en déduit qu'elle converge vers un réel $\ell$ inférieur ou égal à $2$.
\item {\footnotesize Justifier que $\ell =f(\ell)$ et déterminer $\ell$.}\\
On a $u_{n+1}=f(u_n)$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\ell=\lim\limits_{n\to +\infty} u_{n+1}$. Puisque la fonction $f$ est \textbf{continue} sur $[-2;+\infty[$ on a, par passage à la limite :
$$ \ell=f(\ell)\Longleftrightarrow \ell =\sqrt{2+\ell}\Longleftrightarrow \ell^2=2+\ell\Longleftrightarrow \ell^2-\ell-2$$
$\Delta=1+8=9$ d'où deux possibilités :
$$  \ell_1=\dfrac{1-3}{2}=-1\qquad \text{ou} \ell_2=\dfrac{1+3}{2}=2$$
Compte tenu du fait que la suite est croissante et que $u_1=1$ il est impossible que la limite soit $-1$ donc :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty}u_n=2$$
\item \begin{footnotesize}
On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
 $u$  est un nombre réel.\\
 $n$ est un  entier naturel.\\
 $\epsilon$ est un nombre réel strictement positif.\\
}
{
$n=0$ et $u=-1$.\\
  \While{$|u-2|\geq \epsilon$}
{$n:=n+1$ et $u:=\sqrt{u +2}$  
}
\\Afficher $n$
}
}
\end{center}
\end{footnotesize}
\item \begin{enumerate}
\item  {\footnotesize Afin de découvrir l'affichage de cet algorithme pour $\epsilon=0,1$, recopier et compléter le tableau des valeurs prises par les variables $n$, $u$ et par $|u-2|$:}\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$n$ & 0 & $1$& $2$& $3$ \\ \hline
$u$ & $-1$ & $1$ &$\simeq 1,7$ &$\simeq 1,93 $ \\ \hline
$|u-2|$ & $3$ & $1$ & $\simeq 0,3 $ & $\simeq 0,07$  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{footnotesize}
Qu'affiche cet algorithme ?
\end{footnotesize}
\\
Cet algorithme affiche donc $n=3$ puisque $|u_3-2|<0,1$.
\item {\footnotesize Pourquoi est-on sûr qu'à partir d'un certain rang la condition $|u-2|\geq \epsilon$ ne sera pas vérifiée ?}
\\
On a :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty}u_n=2$$
donc, pour tout $\epsilon>0$, il existe un rang $n_0$ à partir duquel on a $|u-2|<\epsilon$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ 2-u_{n+1}=\dfrac{2-u_n}{\sqrt{2+u_n}+2}$$
\end{footnotesize}
$$ 2-u_{n+1}=2-\sqrt{2+u_n}=\dfrac{(2-\sqrt{2+u_n})(2+\sqrt{2+u_n})}{2+\sqrt{2+u_n}}=\dfrac{4-(2+u_n)}{2+\sqrt{2+u_n}}=\dfrac{2-u_n}{\sqrt{2+u_n}+2}$$
\item {\footnotesize En justifiant que $1\leq \sqrt{2+u_n}$ montrer que pour tout entier naturel $n$ on a : $ \dfrac{1}{\sqrt{2+u_n}+2}\leq \dfrac{1}{3}$}\\
On sait que $f$ est une fonction strictement croissante sur $[-2;+\infty[$, $u$ est une suite minorée par $-1$ donc pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_n\geq -1\Longleftrightarrow f(u_n)\geq f(-1) \Longrightarrow \sqrt{u_n+2}\geq 1$$
On a alors :
$$ \sqrt{2+u_n}\geq 1\Longleftrightarrow 2+\sqrt{2+u_n}\geq 3$$
Puis par passage à l'inverse on obtient :
$$ \dfrac{1}{2+\sqrt{2+u_n}}\leq \dfrac{1}{3}$$
\item {\footnotesize En déduire que pour tout entier naturel $n$ on a : $ 2-u_{n+1}\leq \dfrac{1}{3}\times (2-u_n)$}\\
Pour tout entier naturel $n$ on a d'après la question précédente :
$$  \dfrac{1}{2+\sqrt{2+u_n}}\leq \dfrac{1}{3}$$
De plus on sait que $u_n\leq 2\Longleftrightarrow 2-u_n\geq 0$ d'où :
$$ \dfrac{2-u_n}{2+\sqrt{2+u_n}}\leq \dfrac{2-u_n}{3}$$
c'est-à-dire :
$$ 2-u_{n+1}\leq \dfrac{2-u_n}{3}$$
\item {\footnotesize En déduire que :  $\qquad 2-u_{6}\leq \left(\dfrac{1}{3}\right)^3(2-u_3) $}
\\
On applique l'inégalité précédente pour $n=5$ et on obtient :
$$ 2-u_{6}\leq \dfrac{2-u_5}{3}$$
puis on applique cette inégalité pour $n=4$ d'où on tire :
$$ 2-u_6\leq \dfrac{\frac{2-u_4}{3}}{3}\Longleftrightarrow 2-u_6\leq \dfrac{2-u_4}{9}$$
puis on applique une dernière fois ce résultat pour $n=3$ et on obtient :
$$ 2-u_6\leq \dfrac{2-u_3}{27}\Longleftrightarrow 2-u_6\leq \left(\dfrac{1}{3}\right)^3(2-u_3)$$
\item {\footnotesize En déduire que pour $\epsilon =0,01$, l'algorithme affichera une valeur de $n$ inférieure ou égale à $6$.}
\\
On sait d'après $7(a)$ que $2-u_3<0,1$ donc d'après la question précédente $$ 2-u_6\leq 0,1\times \dfrac{1}{27}\Longrightarrow 2-u_6<0,01$$
Par conséquent l'algorithme affichera une valeur de $n$ inférieure ou égale à $6$ pour $\epsilon=0,01$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill $ \spadesuit \spadesuit$\\
L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.\\
On considère les points $A(1;-2;-1)$ et $B(3;-5;-2)$
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.}\\
$\overrightarrow{AB}(2;-3;-1)$ dirige la droite $(AB)$, par conséquent :
$$ M(x;y;z)\in (AB)\Longleftrightarrow \exists t\in \R, \overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x-1=2t \\ y+2=-3t \quad\text{ avec } t\in\R\\ z +1=-t
\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x=2t+1 \\ y=-3t-2 \quad\text{ avec } t\in\R\\ z =-t-1
\end{array}\right.$$
\item \begin{footnotesize}
Soit $(d)$ la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l}
x=2-t' \\ y=1+2t' \quad\text{ avec } t'\in\R\\ z =t'
\end{array}\right.$
\end{footnotesize}
{\footnotesize \\Démontrer que les droites $(AB)$ et $(d)$ ne sont pas coplanaires.}\\
$(d)$ admet $\vec{u}(-1;2;1)$ comme vecteur directeur. Ce vecteur n'est pas colinéaire au vecteur $\overrightarrow{AB}(2;-3;-1)$ puisqu'il n'existe aucun réel $t$ tel que $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ par conséquent la droite $(d)$ et la droite $(AB)$ ne sont pas parallèles.
\\
Cherchons s'il existe un couple de réel $(t,t')$ vérifiant :
$$ \left\{\begin{array}{l}
2t+1=2-t' \\ -3t-2=1+2t' \\ -t-1=t'
\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
2t+t'=1 \\ 3t+2t'=-3 \\t'=-t-1
\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
2t-t-1=1 \Rightarrow t-1=1\Rightarrow t=2\\ 3t-2t-2=-3\Rightarrow t=-1 \quad\text{ avec } t\in\R\quad \text{et} t'\in \R\\t'=-t-1\end{array}\right.$$
Il est impossible d'avoir $t=-1$ et $t=2$, par conséquent le système précédent n'admet pas de solution. Les droites $(AB)$ et $(d)$ n'ont pas de point d'intersection. Elles sont donc non coplanaires.
\item \begin{footnotesize}
On considère le plan $\mathscr P$ passant par le point $C(0;-3;0)$ et dirigé par les vecteurs $ \overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c}
                              1 \\ -4 \\ 0   \end{array} \right)$ et $ \overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c}
                                                           0 \\ -5\\ 1   \end{array} \right)$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Donner une représentation paramétrique du plan $\mathscr P$.}\\
 $$M(x;y;z)\in \mathscr P\Longleftrightarrow  \exists t\in \R\quad \text{et} \quad t'\in \R,\overrightarrow{CM}=t\overrightarrow{u}+t'\vec{v}\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x-0=t+0t' \\ y+3=-4t-5t' \quad\text{ avec } t\in\R\quad \text{et} t'\in \R\\z-0=0t+t'
\end{array}\right.$$
Une représentation paramétrique du pl an $\mathscr P$ est alors :
$$ \left\{\begin{array}{l}
x=t \\ y=-4t-5t'-3 \quad\text{ avec } t\in\R\quad \text{et} t'\in \R\\z=t'
\end{array}\right.$$
\item {\footnotesize Démontrer que le plan $\mathscr P$ contient la droite $(AB)$.}\\
Si $M(x;y;z)\in (AB)$ alors il existe un réel $k$ tel que $x=2k+1$, $y=-3k-2$ et $z=-k-1$. Vérifions que ce point $M$ est bien un point du plan $\mathscr P$.\\
On obtient :
$$ \left\{\begin{array}{l}
2k+1=t \\ -3k-2=-4t-5t'-3 \quad\text{ avec } t\in\R\quad \text{et} t'\in \R\\-k-1=t'
\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} t=2k+1 \\ -3k-2=-4t-5t'-3 \quad\text{ avec } t\in\R\quad \text{et} t'\in \R\\t'=-k-1
\end{array}\right.$$
Vérifions si la seconde égalité est satisfaite pour $t=2k+1$ et $t'=-k-1$. On a :
$$ -4t-5t'-3=-4(2k+1)-5(-k-1)-3=-8k-4+5k+5-3=-3k-2$$
ce qui est vraie. Ainsi tout point $M$ de $(AB)$ est aussi un point du plan $\mathscr P$. La droite $(AB)$ est contenue dans le plan $\mathscr P$.
\end{enumerate}
\item {\footnotesize On considère la sphère de diamètre $[AB]$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Donner une équation de cette sphère.}\\
Le centre $I$ de cette sphère a pour coordonnées :
$$ I\left(\dfrac{1+3}{2};\dfrac{-2-5}{2};\dfrac{-1-2}{2}\right)\Longleftrightarrow I\left(2;-\dfrac{7}{2};-\dfrac{3}{2}\right)$$
Le rayon de cette sphère mesure :
$$ \dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{(3-1)^2+(-5+2)^2+(-2+1)^2}}{2}=\dfrac{\sqrt{4+9+1}}{2}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$$
Par conséquent, si on note $\mathscr S$ la sphère de centre $I$ et de rayon $\dfrac{AB}{2}$ on a : $$M(x;y;z)\in \mathscr S\Longleftrightarrow IM^2=\dfrac{AB^2}{4}\Longleftrightarrow (x-2)^2+(y+3,5)^2+(z+1,5)^2=\dfrac{14}{4}=\dfrac{7}{2}$$
\item {\footnotesize Déterminer le nombre de points d'intersection entre cette sphère et la droite $(d)$}\\
Un point $M(x;y;z)$ appartient à l'intersection entre $(d)$ et $\mathscr S$ si et seulement si il existe $t'\in \R$ tel que :
$$ (2-t'-2)^2+(1+2t'+3,5)^2+(t'+1,5)^2=\dfrac{7}{2} \Longleftrightarrow t'^2+4t'^2+14t'+\dfrac{49}{4}+t'^2+3t'+\dfrac{9}{4}=\dfrac{7}{2}$$
Ce qui donne :
$$ 6t'^2+17t'+11=0$$
$\Delta=17^2-4\times 11\times 6=289-264>0$. On conclut que ce trinôme admet deux solutions. Par conséquent il existe deux points d'intersection entre $\mathscr S$ et $(d)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak
\begin{exoi}\hfill $ \spadesuit\spadesuit $\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\sin x -\dfrac{x}{2}$$
\end{footnotesize}{\footnotesize On souhaite résoudre l'équation $(E)$ : $\sin x -  \dfrac{x}{2} = 0,~x \in \R$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Où l'on montre que les solutions de $(E)$ sont dans l'intervalle $[-2;2]$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que si $x>2$ alors $-\dfrac{x}{2}<-1$. En déduire que $f(x)\neq 0$ lorsque $x>2$.}\\
Si $x>2$ alors $-x<-2$ donc $-\dfrac{x}{2}<-1$. De plus pour tout réel $x$ on a $\sin x\leq 1$. On en conclut que, lorsque $x>2$ :
$$ \sin x -\dfrac{x}{2}<0$$
Ainsi il n'est pas possible d'avoir $f(x)=0$ pour $x>2$.
\item {\footnotesize Montrer que si $x<-2$ alors $-\dfrac{x}{2}>1$ et en déduire de nouveau que $f(x) \neq 0$ pour $x<-2$.}
\\
Si $x<-2$ alors $-x>2$ donc $-\dfrac{x}{2}>1$. De plus pour tout réel $x$ on a $\sin x\geq -1$. On en conclut que, lorsque $x<-2$ :
$$ \sin x -\dfrac{x}{2}>0$$
Ainsi il n'est pas possible d'avoir $f(x)=0$ pour $x<-2$.
\item {\footnotesize En déduire que toutes les solutions de l'équation $(E)$ se trouvent dans l'intervalle $[-2;2]$.}\\
D'après les deux premières questions pour tout réel $x$ non compris dans l'intervalle $[-2;2]$ on a $f(x)\neq 0$, par conséquent toutes les solutions de l'équation $(E)$ se trouvent dans l'intervalle $[-2;2]$.
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Où l'on étudie la fonction $f$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Résoudre, à l'aide d'un cercle trigonométrique, l'équation $\cos x=\dfrac{1}{2}$ pour $x\in [-\pi;\pi]$.}\\
$$ \cos x=\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi}{3} \qquad x\in [-\pi;\pi]$$
\item {\footnotesize Déterminer $f'(x)$ pour $x\in [-\pi;\pi]$.}\\
$f$ est dérivable sur $ [-\pi;\pi]$ comme somme de deux fonctions dérivables sur $ [-\pi;\pi]$ et on a pour tout $x\in [-\pi;\pi]$ :
$$ f'(x)=\cos x-\dfrac{1}{2}$$
\item {\footnotesize En déduire le tableau de variations de $f$ pour $x\in [-\pi;\pi]$.}\\
On utilise un cercle trigonométrique pour déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[-\pi;\pi]$ :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\pi}&&\tx{-\dfrac{\pi}{3}}&&\tx{+\dfrac{\pi}{3}}&&\tx{\pi}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f(x)}&\txh{+\dfrac{\pi}{2}}&\fd&\txb{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\pi}{6}}&\fm&\txh{\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\pi}{6}}&\fd&\txb{-\dfrac{\pi}{2}}\cr
}$$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Où l'on conclut.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Donner, en le justifiant, le nombre de solutions de l'équation $(E)$.}\\
En tant que somme de deux fonctions continues sur $[-2;2]$ (la fonction sin et une fonction affine) la fonction $f$ est continue sur $[-2;2]$. De plus sur $\left[-\pi;-\dfrac{\pi}{3}\right]$, $\left[-\dfrac{\pi}{3};+\dfrac{\pi}{3}\right]$ et sur $\left[\dfrac{\pi}{3};\pi\right]$ la fonction $f$ est strictement monotone passant du négatif au positif (ou inversement), d'après un corollaire du TVI l'équation $f(x)=0$ admet exactement $3$ solutions sur l'intervalle $[-2;2]$.
\item {\footnotesize Donner une valeur approchée, à $10^{-3}$ près par défaut, de la plus grande solution.}\\
La plus grande des solutions est comprise entre $\dfrac{\pi}{3}$ et $\pi$.
Elle vaut à $10^{-3}$ près :
$$ \alpha \simeq 1,895$$
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{exoi}
\end{document}
