\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du Devoir Maison 10}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Matrice - Saut de puce}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\Cr{\decofourleft~ \typedoc ~\decofourright \\ \Ch}

\vspace{1cm}



  
  \begin{exoi}\hfill $ \spadesuit\spadesuit$\\
  \begin{footnotesize}
  Deux familles de puces sautent simultanément sur deux marches consécutives d'un escalier.\\
  A chaque saut, $1/5^e$ des puces situées sur la marche $1$ réussit à monter sur la marche $2$. En revanche, à chaque saut, $3/10^e$ des puces de la marche $2$ redescendent sur la marche $1$.
  \end{footnotesize}
  \begin{enumerate}
  \item {\footnotesize Ecrire la matrice $M$ de transition pour un saut donnant les fréquences de passage d'une marche à l'autre. (Chaque colonne correspond à une même marche de départ et chaque ligne à une même marche d'arrivée).}
  $$ \begin{pmatrix}
  \dfrac{4}{5} & \dfrac{3}{10}\\
  \dfrac{1}{5} & \dfrac{7}{10}
  \end{pmatrix}$$
  \item \begin{footnotesize}
  On sait qu'au départ il y a seulement $40$ puces sur la marche $1$ et $1000$ sur la marche $2$. On note $P_0$ le vecteur colonne donnant cette répartition par marche :
  $$ P_0=\begin{pmatrix}
  40\\
  1000
  \end{pmatrix}$$
  \end{footnotesize}
  \begin{enumerate}
  \item {\footnotesize Calculer le nombre de puces sur chaque marche après 1 saut ; écrire le résultat sous la forme d'une matrice colonne $P_1$.}
  $$ P_1=\begin{pmatrix}
  \dfrac{4}{5} & \dfrac{3}{10}\\
  \dfrac{1}{5} & \dfrac{7}{10}
  \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
  40\\
  1000
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  32+300 \\
  8+700
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  332\\
  708
  \end{pmatrix}$$
  \item {\footnotesize Déterminer la répartition du nombre de puces après 2 sauts et $3$ sauts. Ecrire les opérations comme un produit de matrice.}
  $$ P_2=\begin{pmatrix}
  \dfrac{4}{5} & \dfrac{3}{10}\\
  \dfrac{1}{5} & \dfrac{7}{10}
  \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}
  332\\
  708
  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
  478\\
  562
  \end{pmatrix}$$
  Après deux sauts il y a $478$ puces sur la marche 1 et 562 sur la marche 2.
  $$ P_3=\begin{pmatrix}
  \dfrac{4}{5} & \dfrac{3}{10}\\
  \dfrac{1}{5} & \dfrac{7}{10}
  \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}
  478\\
  562
  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
  551\\
  589
  \end{pmatrix}$$
  Après trois sauts il y a $551$ puces sur la marche 1 et 589 sur la marche 2.
  \end{enumerate}
\item {\footnotesize Que se passe-t-il si au départ il y a $600$ puces sur la marche $1$ et $400$ sur la marche $2$ ?}
$$P_1=\begin{pmatrix}
  \dfrac{4}{5} & \dfrac{3}{10}\\
  \dfrac{1}{5} & \dfrac{7}{10}
  \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
  600\\
  400
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  480+120 \\
  120+280
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  600\\
  400
  \end{pmatrix}$$
  Après le premier saut les puces sont répartis comme à l'instant initial. Et par conséquent après chaque saut il y a $600$ puces sur la marche 1 et $400$ sur la marche 2.
  \end{enumerate}
  \end{exoi}





  
\end{document}