  \documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2013-2014}	
\newcommand{\Profs}{O.Maze/D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	PRemière Page

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\fancypagestyle{styleLyc}{%
%\fancyhf{} 
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
\fancyhead[C,L,R] {}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\lhead{Bac Blanc}
%\rhead{Avril 2014}


\quad
%\vspace{-17mm}
\vspace{-11mm}

\def\arete{3} 
\def\epaisseur{5} 
\def\rayon{3}
\newcommand{\ruban}{(0,0) 
	++(0:0.57735*\arete-0.57735*\epaisseur+2*\rayon) 
	++(-30:\epaisseur-1.73205*\rayon) 
	arc (60:0:\rayon)	-- ++(90:\epaisseur) 
	arc (0:60:\rayon)	-- ++(150:\arete) 
	arc (60:120:\rayon) -- ++(210:\epaisseur) 
	arc (120:60:\rayon) -- cycle}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[very thick,top color=white,bottom color=gray,scale=0.67] 
	\shadedraw \ruban; 
	\shadedraw [rotate=120] \ruban; 
	\shadedraw [rotate=-120] \ruban;
	\draw (-60:3.5) node[scale=3,rotate=30]{Sujet}; 
	\draw (-60:5) node[scale=3,rotate=30]{Bac Gris}; 
	\draw (180:4) node[scale=2,rotate=-90]{Terminale}; 
	\draw (180:5) node[scale=2,rotate=-90]{Scientifique}; 
	%\clip (0,-6) rectangle (6,6); % pour croiser \shadedraw \ruban;
	\draw (60:5) node [gray,scale=2,rotate=-30]{Maths}; 
	\draw (60:4) node [gray,xscale=-2,yscale=2,rotate=30]{Maths}; 
	\draw (0.2,1.2) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{Correction TS2-TS3}};
	\draw (0.2,0.4) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{Obligatoire}};
	%\draw (0.2,-0.2) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{\&{}}};
	%\draw (0.2,-1) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{SpÃ©cialitÃ©}};
	%\draw (-90:1) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{TS1}};
	\draw (10:12.5) node[scale=0.67,rotate=90]{\textit{Lycée Jean Durand, Castelnaudary (Aude, France métropolitaine)}};
	\draw (0:-12.5) node[scale=0.5,rotate=90]{\quad };
\end{tikzpicture}
\end{center}





\begin{exoi}\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv.
 
On réalisera sur la feuille de papier millimétré (fournie en fin d'exercice) une figure en prenant pour unité 2~cm. On complètera cette figure au fur et à mesure des questions.

\medskip
 
On considère les points A, B et C du plan complexe d'affixes respectives 

\[a = - 1 + 2\text{i} \quad ; \quad b = - 2 - \text{i}\quad ; \quad c = - 3 + \text{i}.\]
\end{footnotesize}
 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Placer les points A, B et C sur le graphique. }
\item {\footnotesize Calculer $|a|$ et $|b|$, que peut-on en déduire pour le triangle $OAB$ ?}
$$ |a|=|-1+2i|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5} \qquad \text{et} \qquad |b|=|-2-i|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$$
Comme $|a|=OA$ et $|b|=OB$ il suit que $OA=OB$ et donc que le triangle $OAB$ est isocèle.
\item {\footnotesize Calculer $AB$.}
$$AB=|z_B-z_A|=|b-a|=|-2-i-(-1+2i)|=|-2-i+1-2i|=|-1-3i|=\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$$
\item {\footnotesize Déterminer la forme algébrique de $\dfrac{b}{a}$, en déduire l'argument de $\dfrac{b}{a}$ et le module de $\dfrac{b}{a}$. En déduire la nature du triangle $OAB$.}
On a :
$$ \dfrac{b}{a}=\dfrac{-2-i}{-1+2i}=\dfrac{(-2-i)(-1-2i)}{(-1+2i)(-1-2i)}=\dfrac{2+4i+1-2}{(-1)^2-4i^2}=\dfrac{5i}{1+4}=\dfrac{5i}{5}=i$$
Ainsi $\left|\dfrac{b}{a}\right|=|i|=1$ et $arg(\left(\dfrac{b}{a}\right)=arg(i)=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$.\\
Puisque $\left|\dfrac{b}{a}\right|=1$ il vient que $\dfrac{OB}{OA}=1\Longleftrightarrow OB=OA$ et puisque $arg(\left(\dfrac{b}{a}\right)=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$ il suit que $\left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right)=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$.\\
Le triangle $OAB$ est donc rectangle et isocèle en $O$.
\item \begin{footnotesize}
On considère l'application $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ avec $z \neq b$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par 
 	 
\[z' = \dfrac{z + 1 - 2\text{i}}{z + 2 + \text{i}} \]
\end{footnotesize}
 
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Calculer l'affixe $c'$  du point C$'$, image de C par $f$ et placer le point C$'$ sur la figure. }
		$$ c'=\dfrac{c+1-2i}{c+2+i}=\dfrac{-3+i+1-2i}{-3+i+2+i}=\dfrac{-2-i}{-1+2i}=\dfrac{b}{a}=i$$
		\item {\footnotesize Montrer que l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z$ avec $z \neq b$, tels que $|z'| = 1$ est la médiatrice du segment $[AB]$.}
		$$ |z'|=1\Longleftrightarrow \left|\dfrac{z+1-2i}{z+2+i}\right|=1\Longleftrightarrow \dfrac{|z+1-2i|}{|z+2+i|}=\dfrac{z-(-1+2i)}{z-(-2-i)|}=1\Longleftrightarrow \dfrac{|z_M-a|}|{z_M-b|}=1$$
		ce qui équivaut à 
		$$ \dfrac{AM}{BM}=1\Longleftrightarrow AM=BM$$
		$M$ est donc un point de la médiatrice du segment $[AB]$, l'ensemble $\mathscr E$ cherché est donc comme annoncé la médiatrice du segment $[AB]$.
		\item {\footnotesize Justifier que $\mathcal{E}$ contient les points O et C. Tracer $\mathcal{E}$.}\\
		On sait d'après la première question que $OA=OB$ donc $O\in \mathscr E$.\\
		De plus $AC=|c-a|=|-3+i-(-1+2i)|=|-2-i|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$ et $BC=|b-c|=|-3+i-(-2-i)|=|-1+2i|=|a|=\sqrt{5}$ donc on a $AC=BC$ ainsi $C\in \mathscr E$.
	\end{enumerate} 
\item  \begin{footnotesize}
\begin{footnotesize}
On considère les points $J$ et $K$ d'affixes respectives $j$ et $k$ définies par :
 $$ j=e^{-i\frac{\pi}{2}} a\qquad \text{et}\qquad k=e^{i\frac{\pi}{2}} c$$
 On note $L$ le milieu de $[JK]$.
\end{footnotesize}
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Donner la forme algébrique des nombres complexes $e^{i\frac{\pi}{2}}$ et $e^{-i\frac{\pi}{2}}$, en déduire la forme algébrique de $j$ puis celle de $k$. Placer $J$ et $K$.}\\
$e^{i\frac{\pi}{2}}=\cos \dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}=0+i=i$ et $e^{-i\frac{\pi}{2}}=\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin \left(\dfrac{-\pi}{2}\right)=0-i=-i$
\\
Par conséquent :
$$ j=-ia=-i(-1+2i)=i-2i^2=i+2=2+i\qquad \text{et} \qquad k=ic=i(-3+i)=-3i+i^2=-3i-1=-1-3i$$
\item {\footnotesize On note $\ell$ l'affixe du point $L$, d'éterminer $\ell$.}
\\
$\ell=\dfrac{j+k}{2}=\dfrac{2+i-1-3i}{2}=\dfrac{1-2i}{2}=\dfrac{1}{2}-i$.
\item {\footnotesize Démontrer que la droite $(OL)$ est la hauteur issue de $O$ du triangle $OAC$.}
\\
On souhaite donc montrer que la droite $(OL)$ est perpendiculaire au côté $[AC]$. On montre soit que $\overrightarrow{OL}\cdot \overrightarrow{AC}=0$ soit on montre que $\left(\overrightarrow{OL};\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\pi}{2}[\pi]$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Méthode 1 : Avec le produit scalaire}  :
$$ \overrightarrow{AC}\left(-3+1;1-2\right)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AC}(-2;-1)\qquad \text{et} \qquad \overrightarrow{OL}\left(\dfrac{1}{2}-0;-1-0\right)\Longleftrightarrow \overrightarrow{OL}\left(\dfrac{1}{2};-1\right)$$
Par conséquent $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{OL}=-2\times \dfrac{1}{2}+(-1)\times (-1)=-1+1=0$, donc $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{OL}$ ce qui prouve que la droite $(OL)$ est la hauteur issue de $O$ du triangle $OAC$.
\item \textbf{Méthode 2 : En utilisant les arguments} :
\\
On sait que :
$$ \left(\overrightarrow{OL};\overrightarrow{AC}\right)=arg\left(\dfrac{c-a}{\ell-0}\right)$$
Or :
$$ \dfrac{c-a}{\ell}=\dfrac{-3+i-(-1+2i)}{0,5-i}=\dfrac{-2-i}{0,5-i}=\dfrac{(-2-i)(0,5+i)}{(0,5-i)(0,5+i)}=\dfrac{-1-2i-0,5i+1}{0,25+1}=\dfrac{-2,5i}{1,25}=-2i$$
Or, l'argument d'un imaginaire pur vaut $\dfrac{\pi}{2}[\pi]$, par conséquent :
$$\left(\overrightarrow{OL};\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\pi}{2}[\pi] $$
On en déduit que la droite $(OL)$ est la hauteur issue de $O$ du triangle $OAC$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.58,-4.88)(6.02,4.54)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.58,-4.88)(6.02,4.54)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(-1,2)(-2,-1)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-1.38,1.81)(-1.19,1.43)(-0.81,1.62)(-1,2)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-0.19,0.38)(-0.57,0.19)(-0.38,-0.19)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(-1,2)
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\psline[linecolor=zzttqq](-2,-1)(0,0)
\psline(-1,-3)(2,1)
\psplot{-5.58}{6.02}{(-0-1*x)/0.5}
\psplot{-5.58}{6.02}{(--5--1*x)/2}
\psline(-3,1)(0,0)
\psplot{-5.58}{6.02}{(-0-1*x)/3}
\rput[tl](2.7,-0.84){$\mathscr E$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1,2)
\rput[bl](-0.92,2.12){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-2,-1)
\rput[bl](-1.92,-0.88){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-3,1)
\rput[bl](-2.92,1.12){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*](0,0)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,1)
\rput[bl](0.08,1.12){\blue{$C'$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.5,-1)
\rput[bl](0.58,-0.88){\blue{$L$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,1)
\rput[bl](2.08,1.12){\blue{$J$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1,-3)
\rput[bl](-0.92,-2.88){\blue{$K$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\renewcommand{\headrulewidth}{1pt}
\fancypagestyle{styleLyc}{%
%\fancyhf{} 
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
\fancyhead[C] {\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
\fancyhead[L]{Bac Gris}
\fancyhead[R]{Avril 2014}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}

\pagebreak
\begin{exoi}\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 2$ et $v_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n$,\index{suite}
  		 
\[u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + v_{n}}{3}	\quad \text{et}\quad	 v_{n+1} = 	\dfrac{u_{n} + 3v_{n}}{4}.\]
\end{footnotesize}
 
\partieBac{}
\medskip
 
{\footnotesize On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme}}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|lX|}\hline 
\textbf{Variables :}& 	$N$ et $K$ sont  des entiers, $U, V, W$ sont des réels\\ 
\textbf{Début :}& $K:=0$ et $U:=2$ et $V:=10$\\ 
&Saisir $N$\\ 
&Tant que $K < N$\\
&\hspace{0,6cm} Affecter $K + 1$ à $K$\\
&\hspace{0,6cm} Affecter $U$ à $W$\\ 
&\hspace{0,6cm} Affecter $\dfrac{2U+V}{3}$ à $U$\\ 
&\hspace{0,6cm}	Affecter $\dfrac{W+3V}{4}$	à $V$\\  
&Fin tant que\\ 
&Afficher $U$ et $V$ \\
\textbf{Fin}&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
{\footnotesize On  exécute cet algorithme en saisissant $N = 2$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous donnant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme.}

\begin{center}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
$K$& $W$&$U$&$V$\\ \hline 
0&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}X|}{\quad}& 2& 10\\ \hline 
1&2&$\dfrac{14}{3}$& $8$\\ \hline
2&$\dfrac{14}{3}$&$\dfrac{52}{9}
$&$\dfrac{43}{6}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\partieBac{}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Montrer que pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{5}{12} \left(v_{n} - u_{n}\right)$.}
		
		Pour tout entier naturel $n$ on a :
		$$ v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{u_n+3v_n}{4}-\dfrac{2u_n+v_n}{3}=\dfrac{3(u_n+3v_n)-4(2u_n+v_n)}{12}=\dfrac{3u_n-9v_n-8u_n-4v_n}{12}=\dfrac{5v_n-5u_n}{12}$$
		Au final on a :
		$$ v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{5}{12}\left(v_n-u_n\right)$$ 
		\item \begin{footnotesize}
		Pour tout entier naturel $n$ on pose $w_{n} = v_{n} - u_{n}$.
		 
Montrer que pour tout entier naturel $n,\: w_{n} = 8 \left(\dfrac{5}{12} \right)^n$. En déduire que $v_n-u_n>0$ pour tout entier naturel $n$.
		\end{footnotesize}
		
		$w_{n+1}=v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{5}{12}\left(v_n-u_n\right)=\dfrac{5}{12}w_n$.\\
		
		La suite $(w_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{5}{12}$ et de premier terme $w_0=v_0-u_0=10-2=8$, par conséquent pour tout entier naturel $n$ on a :
		$$ w_n=8\left(\dfrac{5}{12}\right)^n$$
		
		Or, trivialement $8\left(\dfrac{5}{12}\right)^2>0$ donc $w_n>0$ donc $v_n-u_n>0$ et ce pour tout entier naturel $n$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et que la suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante. }
		
		$\forall n\in \N$ on a :
		$$ u_{n+1}-u_n=\dfrac{2u_n+v_n}{3}-u_n=\dfrac{2u_n+v_n-3u_n}{3}=\dfrac{v_n-u_n}{3}=\dfrac{w_n}{3}$$
		Or on sait que $w_n>0$ donc $u_{n+1}-u_n>0\Longleftrightarrow u_{n+1}>u_n$ donc la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
		\\
		De même pour tout entier naturel $n$ on a :
		$$ v_{n+1}-v_n=\dfrac{u_n+3v_n}{4}-v_n=\dfrac{u_n+3v_n-4v_n}{4}=\dfrac{u_n-v_n}{4}=-\dfrac{w_n}{4}<0$$
		Par conséquent $v_{n+1}<v_n$ ce qui montre que la suite $(v_n)$ est strictement décroissante.
		\item {\footnotesize Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n} \leqslant 10$ et $v_{n} \geqslant 2$. }\\
		On a montré que $v_n-u_n>0\Longleftrightarrow v_n>u_n$, or $(u_n)$ est strictement croissante donc pour tout entier naturel $n$ $u_n\geq u_0\Longleftrightarrow u_n\geq 2$ donc $v_n>u_n\geq 2$, par conséquent $v_n>2$. De même puisque $(v_n)$ est strictement décroissante pour tout entier naturel $n$ on a $v_n\leq v_0=10$ donc $10\geq v_n>u_n$ et donc $u_n<10$.
		\item {\footnotesize En déduire que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes.}
		
		La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $10$, elle converge (d'après le théorème de convergence monotone) donc vers un réel $\ell\leq 10$, et la suite $(v_n)$ est décroissante et minorée par $2$, donc elle converge vers un réel $\ell'\geq 2$.
	\end{enumerate} 
\item {\footnotesize Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ont la même limite. }

On sait que $w_n=8\left(\dfrac{5}{12}\right)^n$, or $-1<\dfrac{5}{12}<1$ donc :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} w_n=0$$
Or, $w_n=v_n-u_n$ donc :
$$ \lim\limits_{n \to +\infty} w_n=\ell-\ell' \Longleftrightarrow 0=\ell -\ell'\Longleftrightarrow \ell = \ell'$$
Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ont donc même limite.
\item {\footnotesize Montrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ définie par $t_{n} = 3u_{n} + 4v_{n}$ est constante. }

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ t_{n+1}=3u_{n+1}+4v_{n+1}=2u_n+v_n+u_n+3v_n=3u_n+4v_n=t_n$$
ce qui prouve que la suite $(t_n)$ est constante.

{\footnotesize En déduire que la limite  commune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ est $\dfrac{46}{7}$. }

$t_0=3u_0+4v_0=6+40=46$ donc pour tout entier $n$ on a :
$$ t_n=46 \Longleftrightarrow 3u_n+4v_n=46$$
par passage à la limite (en notant $\ell$ la limite commune des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ on obtient :
$$ 3\ell +4\ell =46 \Longleftrightarrow 7\ell = 46 \Longleftrightarrow \ell =\dfrac{46}{7}$$
\end{enumerate}
\end{exoi}
		   
		   
\begin{exoi}\hfill (6 points)\\
\begin{footnotesize}
Dans tout ce qui suit, $m$ désigne un nombre réel quelconque.

\end{footnotesize}
\smallskip

\partieBac{}
\smallskip

\begin{footnotesize}
Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$ telle que:

\[f(x) = (x + 1)\text{e}^x.\]

\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$.}
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} x+1=+\infty \qquad \text{et} \qquad \lim\limits_{x\to +\infty} e^x=+\infty$$
Par produit on obtient :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$$
De plus $f(x)=xe^x+e^x$, or $\lim\limits_{x\to -\infty}e^x=0$ et par croissance comparé $\lim\limits_{x\to -\infty} xe^x=0$ donc par somme :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} xe^x=0$$
\item \begin{footnotesize}
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.\\
Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = (x + 2)\text{e}^x$.
\end{footnotesize}

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme produit de deux fonctions dérivables sur $\R$ et pour tout réel $x$ on a :
$$ f'(x)=(x+1)'e^x+(x+1)\left(e^x\right)'=e^x+(x+1)e^x=e^{x} (1+x+1)=e^x(x+2)$$
\item {\footnotesize Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\R$.}

On vient de démontrer que $f'(x)=(x+2)e^x$, or :
$$ \forall x\in \R : \qquad e^x>0$$
donc $f'(x)$ est du signe de $x+2$ expression affine qui s'annule pour $x=-2$ d'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)}&\txh{0}&\fd&\txb{-e^{-2}}&\fm&\txh{+\infty}\cr
}$$
\end{enumerate}

\smallskip

\partieBac{}
\smallskip

\begin{footnotesize}
On définie la fonction $g_m$ sur $\R$ par:

\[g_m(x) = x + 1 - m\text{e}^{-x}\]
et on note $\mathcal{C}_m$ la courbe de la fonction $g_m$ dans un repère \Oij du plan.
\end{footnotesize}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Démontrer que $g_m(x) = 0$ si et seulement si $f(x)=m$.}
		On a la suite d'équivalence :
		\begin{eqnarray*}
		& & g_m(x)=0\\
		&\Longleftrightarrow &x+1-me^{-x}=0\\
		&\Longleftrightarrow &x+1=me^{-x}\\
		&\Longleftrightarrow & (x+1)e^x=me^{-x}e^{x}\\
		&\Longleftrightarrow & f(x)=m
		\end{eqnarray*}
		\item {\footnotesize Déduire de la partie $A$, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_m$ avec l'axe des abscisses en fonction du réel $m$.}
		$\mathscr C_m$ coupe l'axe des abscisses si et seulement si $g_m(x)=0$, et donc le nombre de solution de cette équation donne le nombre de point d'intersection de $\mathscr C_m$ avec l'axe des abscisses.
		
		Compte tenu du tableau de variation de $f$ l'équation $f(x)=m$ admet :
		\begin{itemize}
		\item aucune solution si $m<-e^{-2}$.
		\item exactement une solution si $m=e^{-2}$.
		\item deux solutions si $-e^{-2}<m<0$
		\item une solution si $m>0$.
		\end{itemize}
		Il découle de la question précédente que $g_m(x)=0$ admet :
		\begin{itemize}
		\item aucune solution si $m<-e^{-2}$.
		\item exactement une solution si $m=e^{-2}$.
		\item deux solutions si $-e^{-2}<m<0$
		\item une solution si $m>0$.
		\end{itemize}
		
		
	\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
\begin{footnotesize}
On a représenté, page suivante, les courbes $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_{\e}$, et $\mathcal{C}_{-\text{e}}$ (obtenues en prenant respectivement pour $m$ les valeurs 0, $\text{e}$ et $-\text{e}$).

Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l'annexe en justifiant.
\end{footnotesize}

$g_0(x)=x+1$ donc $g_0$ est une fonction affine, sa courbe est donc une droite, il s'agit de la courbe $2$.
\\
$g_{-e}(x)=x+1+ee^{-x}=x+1+e^{1-x}\geq 0 \qquad \forall x\geq 0$

$\mathscr C_{-e}$ est donc la courbe $1$. $\mathscr C_e$ est donc la courbe restante, la courbe $3$.
\item \begin{footnotesize}
Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_m$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$ d'équation 

$y = x + 1$ suivant les valeurs du réel $m$.
\end{footnotesize}

Si $m=0$ on vient juste de voir que $\mathscr C_0$ et $\mathscr D$ sont confondus. 

De plus $\mathscr C_m$ est au dessus de $\mathscr D$ si et seulement si $$ g_m(x)>x+1 \Longleftrightarrow x+1-me^{-x}>x+1\Longleftrightarrow -me^{-x}>0 \Longleftrightarrow -m>0\Longleftrightarrow m<0$$

Enfin si $m>0$ $\mathscr C_m$ est au dessous de $\mathscr D$.

\end{footnotesize}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize On appelle $D_2$ la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{\text{e}}$, $\mathcal{C}_{-\text{e}}$, l'axe $(\text{O}y)$ et la droite $x = 2$. Hachurer $D_2$ sur la page suivante.}
		
		Il s'agit d'hachurer le domaine décrit ci-dessus...
		\item \begin{footnotesize}
		Dans cette question, $a$ désigne un réel positif, $D_a$ la partie du plan comprise entre $\mathcal{C}_{\text{e}}$, $\mathcal{C}_{-\text{e}}$, l'axe $(\text{O}y)$ et la droite $\Delta_a$ d'équation $x=a$. On désigne par $\mathcal{A}(a)$ l'aire de cette partie du plan, exprimée en unités d'aire.
		
Démontrer que pour tout réel $a$ positif: $\mathcal{A}(a) = 2\text{e} - 2\mathbf{\text{e}}^{1 - a}$.
		\end{footnotesize}
$\mathscr C_{-e}$ est au dessus de $\mathscr D$ et $\mathscr C_e$ est au dessous de $\mathscr D$, il en découle que $\mathscr C_{-e}$ est au dessus de $\mathscr C_e$, par conséquent :
		
L'aire du domaine compris entre les courbes $\mathscr C_{-e}$ et $\mathscr C_e$, puis entre l'axe des ordonnées et la droite \textbf{verticale }d'équation $x=a$ est :

$$ \mathscr A(a)=\int_0^a g_{-e}(x)-g_e(x)dx=\int_0^a e x+1+e^{-x}-(x+1-e^{1-x})dx=\int_0^a 2e^{1-x} dx$$
Une primitive de $h(x)=2e^{1-x}$ est $H(x)=-2e^{1-x}$ par conséquent d'après la formule de Newton-Leibniz on a :
$$ \mathscr A(a)=\int_0^a h(x) dx=[H(x)]_0^a=H(a)-H(0)=-2e^{1-a}+2e^{1-0}=2e-2e^{1-a}$$



\begin{footnotesize}
	En déduire la limite de $\mathcal{A}(a)$ quand $a$ tend vers $+ \infty$.

	\end{footnotesize}
	
	Lorsque $a$ tend vers $+\infty$ alors $1-a$ tend vers $-\infty$ et donc :
	$$ \lim\limits_{a\to +\infty} e^{1-a}=0$$
	
	On en déduit que :
	$$ \lim\limits_{a\to +\infty} \mathscr A(a)=2e$$
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}
		   
%\begin{exoi}\hfill (6 points)
%
%On considère la fonction $f$  définie sur $\R$ par :
%
%\[f(x) = (x + 2) \text{e}^{\frac{1}{2}x}.\]
%
%\begin{enumerate}
%\item
%	\begin{enumerate}
%	\item Vérifier que $ f(x)=2\left(e^{\frac{1}{2}x}+\dfrac{1}{2}xe^{\frac{1}{2}x}\right)$pour tout réel $x$.
%	   \item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. Interpréter graphiquement.
%		\item Démontrer que pour tout réel $x,\: f'(x) = \dfrac{1}{2}(x + 4)\text{e}^{\frac{1}{2}x}$. 
%		\item Etablir le tableau de variation de $f$ puis le tableau de signe de $f$ sur $\R$.
%	\end{enumerate} 
%\item On pose $I =  \displaystyle\int_{0}^1  f(x)\:\text{d}x$ 
%	\begin{enumerate}
%		\item Interpréter géométriquement le réel $I$.  
%
%On donne l'algorithme ci-dessous.
%
%\index{algorithme}
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|ll|}\hline
%Variables: 	&$k$ et $n$ sont des nombres entiers naturels.\\ 
%			&$s$ est un nombre réel.\\ 
%Entrée : 	&Demander à l'utilisateur la valeur de $n$.\\ 
%Initialisation :& Affecter à $s$ la valeur $0$.\\ 
%Traitement :& 	Pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$\\ 
%	& \hspace{0,5cm}| Affecter à $s$ la valeur $s + \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)$.\\ 
%	&Fin de boucle.\\ 
%Sortie :& 	Afficher $s$.\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
% 
%On note $s_{n}$ le nombre affiché par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de $n$. 
%		\item Justifier que $s_{3}$ représente l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur.
%		
%\begin{center}
%\psset{xunit=4cm,yunit=4cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,-0.2)(1.5,1.25)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.2)(1.5,1.25)
%\pscurve[linecolor=blue](0,0.5)(0.333,0.65)(0.666,0.9)(1,1.15)
%\psframe[fillstyle=vlines](0,0)(0.333,0.5)
%\psframe[fillstyle=vlines](0.333,0)(0.666,0.65)
%\psframe[fillstyle=vlines](0.666,0)(1,0.9)
%\psline[linestyle=dashed](1,0.9)(1,1.15)
%\uput[l](0,0.25){1}
%\uput[ul](0.333,0.65){$\mathcal{C}$}
%\end{pspicture}
%\end{center}		 
%		\item Que dire de la valeur de $s_{n}$ fournie par l'algorithme proposé lorsque $n$ devient grand ? 
%	\end{enumerate} 
%	\item 
%\begin{enumerate}
%		\item Soient $u$ et $v$ les fonctions définies sur $\R$ par $u(x) = x$ et $v(x) = \text{e}^{\dfrac{1}{2}x}$. Vérifier que $f = 2\left(u'v + uv'\right)$. 
%		\item En déduire une primitive de $f$ sur $\R$ puis calculer la valeur exacte de $I$, enfin donner $\lim\limits_{n\to +\infty} s_n$.
%	\end{enumerate} 
%\end{enumerate} 
%
%\end{exoi}

\begin{center}

\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(5,6)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-3)(5,6)
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-3)(5,6)
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue]{-2.0}{5.0}{x+1+2.718281828^(-x+1)}
\psplot{-2}{5}{(--1--1*x)/1}
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=cyan]{-2.0}{5.0}{x+1-2.718281828^(-x+1)}
\rput[tl](-1.5,4.89){Courbe 1}
\rput[tl](-1.5,0.75){Courbe 2}
\rput[tl](0.2,-1.71){Courbe 3}
\end{pspicture*}
\end{center}

\pagebreak

\begin{exoi}\hfill (4 points)\\
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est exacte. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On dispose de trois urnes contenant chacune un certain nombre de boules colorées, comme indiqué dans le tableau ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
 & Boules Bleues & Boules Rouges\tabularnewline
\hline 
\hline 
Urne 1 & 1 & 3\tabularnewline
\hline 
Urne 2 & 3 & 2\tabularnewline
\hline 
Urne 3 & 4 & 2\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}\end{center}
On tire au hasard une urne, puis une boule de cette urne. 

La boule tirée est bleue, mais quelle est la probabilité qu'elle provienne de l'urne 1 ?
\end{footnotesize}

En notant $B$ l'événement la boule tirée est bleue et $U_1$ l'événement la boule provient de l'urne $1$, on a :
$$ p_B(U_1)=\dfrac{p(B\cap U_1)}{p(B)}=\dfrac{\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}}{\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{6}\right)}=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{15+36+40}{60}}=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{91}{60}}=\dfrac{60}{4\times 91}=\dfrac{15}{91}$$
\item\begin{footnotesize}
 Le ministre syldave a supprimé la faculté de médecine. L'unique dentiste de Gattaca \footnote{La capitale de la Syldavie.} est un ancien boxeur, aveugle et parkinsonien. Il arrache les dents de ses patients au hasard. Les syldaves venant le consulter ont toujours une seule dent de malade parmi les trente-deux qu'ils possèdent encore avant l'intervention des tenailles ou des poings, c'est selon. Le dentiste arrache toujours exactement une dent par patient (malade ou saine suivant la chance du patient). On note $X$ le nombre de dents malades extraites à bon escient après avoir traité $n$ patients par le dentiste.

Combien doit-il traiter de personnes au minimum pour extraire au moins
une dent malade avec une probabilité supérieure à $0,6$ ? 
\end{footnotesize}

$X$ suit une loi binomiale de paramètre $n$ et $\dfrac{1}{32}$ (on répète de manière indépendante la même épreuve de Bernoulli $n$ fois pour laquelle la probabilité de succès vaut $\dfrac{1}{32}$), par conséquent :
$$ p(X\geq 1)=1-p(X=0)=1-\left(\dfrac{31}{32}\right)^n$$
Enfin :
$$ 1-\left(\dfrac{31}{32}\right)^n\geq 0,6 \Longleftrightarrow -\left(\dfrac{31}{32}\right)^n\geq -0,4 \Longleftrightarrow \left(\dfrac{31}{32}\right)^n\leq 0,4 \Longleftrightarrow \ln \left(\dfrac{31}{32}\right)^n\leq \ln 0,4 \Longleftrightarrow n\ln \dfrac{31}{32}\leq \ln 0,4$$

et donc, du fait que $\ln \dfrac{31}{32}<0$ on a  :
$$ n\geq \dfrac{\ln 0,4}{\ln \dfrac{31}{32}}\simeq 28.8 \Longrightarrow n\geq 29$$
Ce cher dentiste doit traiter un minimum de $29$ patients pour avoir plus de $60\%$ de chance d'arracher au moins une dent malade.



	
\item {\footnotesize Dans un repère de l'espace, on considère les trois points $A(1~;~2~;~3)$, $B(-1~;~5~;~4)$ et $C(-1~;~0~;~4)$. La droite parallèle à la droite $(AB)$ passant par le point $C$ a pour représentation paramétrique :}

$\overrightarrow{AB}\left(-2;3;1\right)$,
\\
$$ M(x;y;z)\in (AB)\Longleftrightarrow \exists t\in \R, \overrightarrow{AB}=t \overrightarrow{CM}\Longleftrightarrow \begin{cases}
      x+1 = -2t \\ y=3t\qquad t\in \R \\ z-4=t
    \end{cases} \Longleftrightarrow\begin{cases}
      x = -2t-1 \\ y=3t\qquad t\in \R \\ z=t+4
    \end{cases}$$

réponse qui figure dans l'énoncé, donc c'est bon.

\item \begin{footnotesize}
Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $\mathscr P$ passant par le point $D(-1~;~2~;~3)$ et de vecteur normal $\vect{n}(-3~;~-5~;~1)$, et la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\begin{cases}
x = t - 7 \\ y = t + 3 \\ z = 2t + 5
  \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.
\end{footnotesize}

Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\overrightarrow{d}(1;1;2)$ et :
$$ \overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{n}=-3-5+2\neq 0$$
$\overrightarrow{n}$ n'est pas orthogonal à $\mathscr d$ donc le plan $\mathscr P$ n'est pas parallèle à la droite $\mathscr D$, donc $\mathscr P$ et $\mathscr D$ sont sécants. (réponse qui est présente donc inutile d'analyser les autres).
\end{enumerate}
\end{exoi}


\end{document}