  \documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2013-2014}	
\newcommand{\Profs}{O.Maze/D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\fancypagestyle{styleLyc}{%
%\fancyhf{} 
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
\fancyhead[C,L,R] {}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\lhead{Bac Blanc}
%\rhead{Avril 2014}

\quad
%\vspace{-17mm}
\vspace{-11mm}

\def\arete{3} 
\def\epaisseur{5} 
\def\rayon{3}
\newcommand{\ruban}{(0,0) 
	++(0:0.57735*\arete-0.57735*\epaisseur+2*\rayon) 
	++(-30:\epaisseur-1.73205*\rayon) 
	arc (60:0:\rayon)	-- ++(90:\epaisseur) 
	arc (0:60:\rayon)	-- ++(150:\arete) 
	arc (60:120:\rayon) -- ++(210:\epaisseur) 
	arc (120:60:\rayon) -- cycle}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[very thick,top color=white,bottom color=gray,scale=0.67] 
	\shadedraw \ruban; 
	\shadedraw [rotate=120] \ruban; 
	\shadedraw [rotate=-120] \ruban;
	\draw (-60:3.5) node[scale=3,rotate=30]{Sujet}; 
	\draw (-60:5) node[scale=3,rotate=30]{Bac Gris}; 
	\draw (180:4) node[scale=2,rotate=-90]{Terminale}; 
	\draw (180:5) node[scale=2,rotate=-90]{Scientifique}; 
	%\clip (0,-6) rectangle (6,6); % pour croiser \shadedraw \ruban;
	\draw (60:5) node [gray,scale=2,rotate=-30]{Maths}; 
	\draw (60:4) node [gray,xscale=-2,yscale=2,rotate=30]{Maths}; 
	\draw (0.2,1.2) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{Correction TS2-TS3}};
	\draw (0.2,0.4) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{Spécialité}};
	%\draw (0.2,-0.2) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{\&{}}};
	%\draw (0.2,-1) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{SpÃ©cialitÃ©}};
	%\draw (-90:1) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{TS1}};
	\draw (10:12.5) node[scale=0.67,rotate=90]{\textit{Lycée Jean Durand, Castelnaudary (Aude, France métropolitaine)}};
	\draw (0:-12.5) node[scale=0.5,rotate=90]{\quad };
\end{tikzpicture}
\end{center}





\begin{exoi}\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère l'équation $(E)$ où $x$ et $y$ désignent des nombres entiers :
$$ 135x-352y=1$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer le PGCD de $135$ et de $352$.}
\begin{eqnarray*}
&  352=135\times 2+82\\
& 135=82\times 1+53\\
& 82=53\times 1+29\\
& 53=29\times 1+24\\
& 29=24\times 1+5\\
& 24= 5\times 4+4\\
& 5=4\times 1+1
\end{eqnarray*}
donc le $PGCD(352,135)=1$
\item {\footnotesize Justifier que l'équation $(E)$ admet au moins une solution.}
\\
$352$ et $135$ sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Bezout il existe un couple d'entier $u$ et $v$ tels que :
$$ 135u+352v=1 \Longleftrightarrow 135u-352(-v)=1$$
Le couple $(u,-v)$ est alors solution de $(E)$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  {\footnotesize Montrer que si le couple $(x;y)$ est solution de $(E)$ alors on a $ 135x\equiv 1 [352]$}

Si $(x;y)$ est solution de $(E)$ alors on a :
$$ 135x-352y=1\Longleftrightarrow 135x-1=352y$$
donc $352|135x-1$ donc $$ 135x-1\equiv 0[352] \Longleftrightarrow 135x\equiv 1 [352$$
\item {\footnotesize Réciproquement, démontrer que si $x$ est un entier tel que $135x\equiv 1 [352]$ alors il existe un entier relatif $k$ tel que le couple $(x;k)$ soit solution de $(E)$.}

Si $x$ est un entier tel que $135x\equiv 1 [352]$ alors il existe un entier relatif $k$ tel que $135x-1=352k \Longleftrightarrow 135x-352k=1$ donc il existe un couple $(x;k)$ d'entier relatif solution de $(E)$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer, \og \textbf{en remontant l'algorithme d'Euclide} \fg, que le couple $(-73;-28)$ est solution de $(E)$. }

\begin{eqnarray*}
& 1=5-4\\
& 1=5-(24-5\times 4)\\
& 1=5\times 5-24\\
& 1=5(29-24)-24\\
& 1=5\times 29-6\times 24\\
& 1=5\times 29- 6\times (53-29)\\
& 1= 11\times 29-6\times 53\\
& 1=11(82-53)-6\times 53=11\times 82-17\times 53\\
& 1=11\times 82-17(135-82)=28\times 82-17\times 135\\
& 1=28(352-135\times 2)-17\times 135=-56\times 135-17\times 135+28\times 352\\
& 1= -73\times 135+ 28\times 352\\
&1= -73\times 135-(-28)\times 352 \qquad CQFD
\end{eqnarray*}
\item {\footnotesize Déterminer l'ensemble des couples solutions de l'équation $(E)$.}
\\
On cherche $x$ et $y$ tels que :
$135x-352y=1$ et on sait que $1= -73\times 135-(-28)\times 352$ donc :
$$ 135x-352y=-73\times 135+28\times 352$$
Par conséquent :
$$ 135x+73\times 135=352y+28\times 352 $$
ce qui équivant à :
$$ 135(x+73)=352(y+28)\qquad (E')$$
$135$ divise donc $352(y+28)$ mais étant premier avec $352$, en vertu du théorème de Gauss il divise $y+28$, il existe donc un entier relatif $k$ tel que :
$$ 135k=y+28 \Longleftrightarrow y=135k-28$$
Reprenons $(E')$ en substituant $y$ par $135k-28$ et on obtient :
$$ 135(x+73)=352(135k-28+28) \Longleftrightarrow x+73=352k \Longleftrightarrow x=352k-73$$
Après avoir vérifié que $x=352k-73$ et $y=135k-28$ sont bien solutions de $(E)$ nous concluons que l'ensemble des solutions est de la forme :
$$\mathscr S=\left\{(352k-73;135k-28), k\in \Z\right\}$$
\item {\footnotesize Montrer qu'il existe un unique nombre entier $x$ tel que $1<x<352$ et $135x\equiv 1 [352]$ puis déterminer cet entier.}

Si $135x\equiv 1[352]$ alors $x$ est solution de $(E)$ donc de la forme $352k-73$ avec $k\in \Z$, si de plus $1<x<352$ on obtient :
$$ 1<352k-73<352 \Longleftrightarrow 74<352k<425 \Longleftrightarrow \dfrac{73}{352}<k<\dfrac{425}{352} \Longleftrightarrow 0<k<2$$
donc $k=1$ est l'unique possibilité et pour $k=1$ on obtient :
$$ x=352-73=252+27=279$$
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Bob veut transmettre à Alice un message codé, mettons la date à laquelle ils vont organiser une surprise pour Emmy (par exemple, le 18). Bien entendu le message ne doit pas être intercepté par Emmy$\dots$
\\
\textbf{Protocole de cryptage} :\\
Alice diffuse au monde les nombres $n=391$ et $e=279$ (elle conserve en secret le nombre $d=135$). Toute personne peut envoyer un message crypter à Alice en respectant la procédure suivante :
\end{footnotesize}
\begin{itemize}
\item Pour crypter un message M, on détermine $0\leq C<n$ tel que $M^e\equiv C [n]$ que l'on envoie à Alice.
\item Pour décrypter le message $C$, Alice détermine $0\leq D<n$ tel que  $C^{d}\equiv D [n]$ qui vaut donc $D=M$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Donner la décomposition en produit de facteur premier de $279$.}

$$ 279=3^2\times 31$$
$31$ étant premier puisque chacun des nombres premiers inférieurs à sa racine carré ne le divise pas.
\\
{\footnotesize Vérifier que $18^{31}\equiv 35 [391]$}

Effectivement $18^{31}-35$ est bien un multiple de $391$.

\begin{footnotesize}
 
 puis en déduire $18^{279} [391]$
 \end{footnotesize}
 
 On obtient alors $\left(18^{31}\right)^9\equiv 35^9 [391] \Longleftrightarrow 18^{279}\equiv 188 [391]$.
 
  %puis $18^{30}\equiv [391]$, $\dots$, et enfin $18^{270}[391]$.\\
\begin{footnotesize}
En déduire le message crypté que Bob transmet à Alice.

\end{footnotesize}

Bob transmet $188$ à Alice.
\item {\footnotesize Vérifier qu'Alice peut décrypter le message correctement.}

Enfin on vérifie que $188^{135}\equiv 18 [391]$ ce qui montre qu'Alice décrypte correctement le message.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\renewcommand{\headrulewidth}{1pt}
\fancypagestyle{styleLyc}{%
%\fancyhf{} 
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
\fancyhead[C] {\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
\fancyhead[L]{Bac Gris}
\fancyhead[R]{Avril 2014}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}

\pagebreak
\begin{exoi}\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 2$ et $v_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n$,\index{suite}
  		 
\[u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + v_{n}}{3}	\quad \text{et}\quad	 v_{n+1} = 	\dfrac{u_{n} + 3v_{n}}{4}.\]
\end{footnotesize}
 
\partieBac{}
\medskip
 
{\footnotesize On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme}}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|lX|}\hline 
\textbf{Variables :}& 	$N$ et $K$ sont  des entiers, $U, V, W$ sont des réels\\ 
\textbf{Début :}& $K:=0$ et $U:=2$ et $V:=10$\\ 
&Saisir $N$\\ 
&Tant que $K < N$\\
&\hspace{0,6cm} Affecter $K + 1$ à $K$\\
&\hspace{0,6cm} Affecter $U$ à $W$\\ 
&\hspace{0,6cm} Affecter $\dfrac{2U+V}{3}$ à $U$\\ 
&\hspace{0,6cm}	Affecter $\dfrac{W+3V}{4}$	à $V$\\  
&Fin tant que\\ 
&Afficher $U$ et $V$ \\
\textbf{Fin}&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
{\footnotesize On  exécute cet algorithme en saisissant $N = 2$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous donnant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme.}

\begin{center}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
$K$& $W$&$U$&$V$\\ \hline 
0&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}X|}{\quad}& 2& 10\\ \hline 
1&2&$\dfrac{14}{3}$& $8$\\ \hline
2&$\dfrac{14}{3}$&$\dfrac{52}{9}
$&$\dfrac{43}{6}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\partieBac{}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Montrer que pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{5}{12} \left(v_{n} - u_{n}\right)$.}
		
		Pour tout entier naturel $n$ on a :
		$$ v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{u_n+3v_n}{4}-\dfrac{2u_n+v_n}{3}=\dfrac{3(u_n+3v_n)-4(2u_n+v_n)}{12}=\dfrac{3u_n-9v_n-8u_n-4v_n}{12}=\dfrac{5v_n-5u_n}{12}$$
		Au final on a :
		$$ v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{5}{12}\left(v_n-u_n\right)$$ 
		\item \begin{footnotesize}
		Pour tout entier naturel $n$ on pose $w_{n} = v_{n} - u_{n}$.
		 
Montrer que pour tout entier naturel $n,\: w_{n} = 8 \left(\dfrac{5}{12} \right)^n$. En déduire que $v_n-u_n>0$ pour tout entier naturel $n$.
		\end{footnotesize}
		
		$w_{n+1}=v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{5}{12}\left(v_n-u_n\right)=\dfrac{5}{12}w_n$.\\
		
		La suite $(w_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{5}{12}$ et de premier terme $w_0=v_0-u_0=10-2=8$, par conséquent pour tout entier naturel $n$ on a :
		$$ w_n=8\left(\dfrac{5}{12}\right)^n$$
		
		Or, trivialement $8\left(\dfrac{5}{12}\right)^2>0$ donc $w_n>0$ donc $v_n-u_n>0$ et ce pour tout entier naturel $n$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et que la suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante. }
		
		$\forall n\in \N$ on a :
		$$ u_{n+1}-u_n=\dfrac{2u_n+v_n}{3}-u_n=\dfrac{2u_n+v_n-3u_n}{3}=\dfrac{v_n-u_n}{3}=\dfrac{w_n}{3}$$
		Or on sait que $w_n>0$ donc $u_{n+1}-u_n>0\Longleftrightarrow u_{n+1}>u_n$ donc la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
		\\
		De même pour tout entier naturel $n$ on a :
		$$ v_{n+1}-v_n=\dfrac{u_n+3v_n}{4}-v_n=\dfrac{u_n+3v_n-4v_n}{4}=\dfrac{u_n-v_n}{4}=-\dfrac{w_n}{4}<0$$
		Par conséquent $v_{n+1}<v_n$ ce qui montre que la suite $(v_n)$ est strictement décroissante.
		\item {\footnotesize Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n} \leqslant 10$ et $v_{n} \geqslant 2$. }\\
		On a montré que $v_n-u_n>0\Longleftrightarrow v_n>u_n$, or $(u_n)$ est strictement croissante donc pour tout entier naturel $n$ $u_n\geq u_0\Longleftrightarrow u_n\geq 2$ donc $v_n>u_n\geq 2$, par conséquent $v_n>2$. De même puisque $(v_n)$ est strictement décroissante pour tout entier naturel $n$ on a $v_n\leq v_0=10$ donc $10\geq v_n>u_n$ et donc $u_n<10$.
		\item {\footnotesize En déduire que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes.}
		
		La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $10$, elle converge (d'après le théorème de convergence monotone) donc vers un réel $\ell\leq 10$, et la suite $(v_n)$ est décroissante et minorée par $2$, donc elle converge vers un réel $\ell'\geq 2$.
	\end{enumerate} 
\item {\footnotesize Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ont la même limite. }

On sait que $w_n=8\left(\dfrac{5}{12}\right)^n$, or $-1<\dfrac{5}{12}<1$ donc :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} w_n=0$$
Or, $w_n=v_n-u_n$ donc :
$$ \lim\limits_{n \to +\infty} w_n=\ell-\ell' \Longleftrightarrow 0=\ell -\ell'\Longleftrightarrow \ell = \ell'$$
Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ont donc même limite.
\item {\footnotesize Montrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ définie par $t_{n} = 3u_{n} + 4v_{n}$ est constante. }

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ t_{n+1}=3u_{n+1}+4v_{n+1}=2u_n+v_n+u_n+3v_n=3u_n+4v_n=t_n$$
ce qui prouve que la suite $(t_n)$ est constante.

{\footnotesize En déduire que la limite  commune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ est $\dfrac{46}{7}$. }

$t_0=3u_0+4v_0=6+40=46$ donc pour tout entier $n$ on a :
$$ t_n=46 \Longleftrightarrow 3u_n+4v_n=46$$
par passage à la limite (en notant $\ell$ la limite commune des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ on obtient :
$$ 3\ell +4\ell =46 \Longleftrightarrow 7\ell = 46 \Longleftrightarrow \ell =\dfrac{46}{7}$$
\end{enumerate}
\end{exoi}
		   
		   
\begin{exoi}\hfill (6 points)\\
\begin{footnotesize}
Dans tout ce qui suit, $m$ désigne un nombre réel quelconque.

\end{footnotesize}
\smallskip

\partieBac{}
\smallskip

\begin{footnotesize}
Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$ telle que:

\[f(x) = (x + 1)\text{e}^x.\]

\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$.}
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} x+1=+\infty \qquad \text{et} \qquad \lim\limits_{x\to +\infty} e^x=+\infty$$
Par produit on obtient :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$$
De plus $f(x)=xe^x+e^x$, or $\lim\limits_{x\to -\infty}e^x=0$ et par croissance comparé $\lim\limits_{x\to -\infty} xe^x=0$ donc par somme :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} xe^x=0$$
\item \begin{footnotesize}
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.\\
Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = (x + 2)\text{e}^x$.
\end{footnotesize}

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme produit de deux fonctions dérivables sur $\R$ et pour tout réel $x$ on a :
$$ f'(x)=(x+1)'e^x+(x+1)\left(e^x\right)'=e^x+(x+1)e^x=e^{x} (1+x+1)=e^x(x+2)$$
\item {\footnotesize Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\R$.}

On vient de démontrer que $f'(x)=(x+2)e^x$, or :
$$ \forall x\in \R : \qquad e^x>0$$
donc $f'(x)$ est du signe de $x+2$ expression affine qui s'annule pour $x=-2$ d'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)}&\txh{0}&\fd&\txb{-e^{-2}}&\fm&\txh{+\infty}\cr
}$$
\end{enumerate}

\smallskip

\partieBac{}
\smallskip

\begin{footnotesize}
On définie la fonction $g_m$ sur $\R$ par:

\[g_m(x) = x + 1 - m\text{e}^{-x}\]
et on note $\mathcal{C}_m$ la courbe de la fonction $g_m$ dans un repère \Oij du plan.
\end{footnotesize}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Démontrer que $g_m(x) = 0$ si et seulement si $f(x)=m$.}
		On a la suite d'équivalence :
		\begin{eqnarray*}
		& & g_m(x)=0\\
		&\Longleftrightarrow &x+1-me^{-x}=0\\
		&\Longleftrightarrow &x+1=me^{-x}\\
		&\Longleftrightarrow & (x+1)e^x=me^{-x}e^{x}\\
		&\Longleftrightarrow & f(x)=m
		\end{eqnarray*}
		\item {\footnotesize Déduire de la partie $A$, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_m$ avec l'axe des abscisses en fonction du réel $m$.}
		$\mathscr C_m$ coupe l'axe des abscisses si et seulement si $g_m(x)=0$, et donc le nombre de solution de cette équation donne le nombre de point d'intersection de $\mathscr C_m$ avec l'axe des abscisses.
		
		Compte tenu du tableau de variation de $f$ l'équation $f(x)=m$ admet :
		\begin{itemize}
		\item aucune solution si $m<-e^{-2}$.
		\item exactement une solution si $m=e^{-2}$.
		\item deux solutions si $-e^{-2}<m<0$
		\item une solution si $m>0$.
		\end{itemize}
		Il découle de la question précédente que $g_m(x)=0$ admet :
		\begin{itemize}
		\item aucune solution si $m<-e^{-2}$.
		\item exactement une solution si $m=e^{-2}$.
		\item deux solutions si $-e^{-2}<m<0$
		\item une solution si $m>0$.
		\end{itemize}
		
		
	\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
\begin{footnotesize}
On a représenté, page suivante, les courbes $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_{\e}$, et $\mathcal{C}_{-\text{e}}$ (obtenues en prenant respectivement pour $m$ les valeurs 0, $\text{e}$ et $-\text{e}$).

Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l'annexe en justifiant.
\end{footnotesize}

$g_0(x)=x+1$ donc $g_0$ est une fonction affine, sa courbe est donc une droite, il s'agit de la courbe $2$.
\\
$g_{-e}(x)=x+1+ee^{-x}=x+1+e^{1-x}\geq 0 \qquad \forall x\geq 0$

$\mathscr C_{-e}$ est donc la courbe $1$. $\mathscr C_e$ est donc la courbe restante, la courbe $3$.
\item \begin{footnotesize}
Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_m$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$ d'équation 

$y = x + 1$ suivant les valeurs du réel $m$.
\end{footnotesize}

Si $m=0$ on vient juste de voir que $\mathscr C_0$ et $\mathscr D$ sont confondus. 

De plus $\mathscr C_m$ est au dessus de $\mathscr D$ si et seulement si $$ g_m(x)>x+1 \Longleftrightarrow x+1-me^{-x}>x+1\Longleftrightarrow -me^{-x}>0 \Longleftrightarrow -m>0\Longleftrightarrow m<0$$

Enfin si $m>0$ $\mathscr C_m$ est au dessous de $\mathscr D$.

\end{footnotesize}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize On appelle $D_2$ la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{\text{e}}$, $\mathcal{C}_{-\text{e}}$, l'axe $(\text{O}y)$ et la droite $x = 2$. Hachurer $D_2$ sur la page suivante.}
		
		Il s'agit d'hachurer le domaine décrit ci-dessus...
		\item \begin{footnotesize}
		Dans cette question, $a$ désigne un réel positif, $D_a$ la partie du plan comprise entre $\mathcal{C}_{\text{e}}$, $\mathcal{C}_{-\text{e}}$, l'axe $(\text{O}y)$ et la droite $\Delta_a$ d'équation $x=a$. On désigne par $\mathcal{A}(a)$ l'aire de cette partie du plan, exprimée en unités d'aire.
		
Démontrer que pour tout réel $a$ positif: $\mathcal{A}(a) = 2\text{e} - 2\mathbf{\text{e}}^{1 - a}$.
		\end{footnotesize}
$\mathscr C_{-e}$ est au dessus de $\mathscr D$ et $\mathscr C_e$ est au dessous de $\mathscr D$, il en découle que $\mathscr C_{-e}$ est au dessus de $\mathscr C_e$, par conséquent :
		
L'aire du domaine compris entre les courbes $\mathscr C_{-e}$ et $\mathscr C_e$, puis entre l'axe des ordonnées et la droite \textbf{verticale }d'équation $x=a$ est :

$$ \mathscr A(a)=\int_0^a g_{-e}(x)-g_e(x)dx=\int_0^a e x+1+e^{-x}-(x+1-e^{1-x})dx=\int_0^a 2e^{1-x} dx$$
Une primitive de $h(x)=2e^{1-x}$ est $H(x)=-2e^{1-x}$ par conséquent d'après la formule de Newton-Leibniz on a :
$$ \mathscr A(a)=\int_0^a h(x) dx=[H(x)]_0^a=H(a)-H(0)=-2e^{1-a}+2e^{1-0}=2e-2e^{1-a}$$



\begin{footnotesize}
	En déduire la limite de $\mathcal{A}(a)$ quand $a$ tend vers $+ \infty$.

	\end{footnotesize}
	
	Lorsque $a$ tend vers $+\infty$ alors $1-a$ tend vers $-\infty$ et donc :
	$$ \lim\limits_{a\to +\infty} e^{1-a}=0$$
	
	On en déduit que :
	$$ \lim\limits_{a\to +\infty} \mathscr A(a)=2e$$
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}
		   
%\begin{exoi}\hfill (6 points)
%
%On considère la fonction $f$  définie sur $\R$ par :
%
%\[f(x) = (x + 2) \text{e}^{\frac{1}{2}x}.\]
%
%\begin{enumerate}
%\item
%	\begin{enumerate}
%	\item Vérifier que $ f(x)=2\left(e^{\frac{1}{2}x}+\dfrac{1}{2}xe^{\frac{1}{2}x}\right)$pour tout réel $x$.
%	   \item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. Interpréter graphiquement.
%		\item Démontrer que pour tout réel $x,\: f'(x) = \dfrac{1}{2}(x + 4)\text{e}^{\frac{1}{2}x}$. 
%		\item Etablir le tableau de variation de $f$ puis le tableau de signe de $f$ sur $\R$.
%	\end{enumerate} 
%\item On pose $I =  \displaystyle\int_{0}^1  f(x)\:\text{d}x$ 
%	\begin{enumerate}
%		\item Interpréter géométriquement le réel $I$.  
%
%On donne l'algorithme ci-dessous.
%
%\index{algorithme}
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|ll|}\hline
%Variables: 	&$k$ et $n$ sont des nombres entiers naturels.\\ 
%			&$s$ est un nombre réel.\\ 
%Entrée : 	&Demander à l'utilisateur la valeur de $n$.\\ 
%Initialisation :& Affecter à $s$ la valeur $0$.\\ 
%Traitement :& 	Pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$\\ 
%	& \hspace{0,5cm}| Affecter à $s$ la valeur $s + \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)$.\\ 
%	&Fin de boucle.\\ 
%Sortie :& 	Afficher $s$.\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
% 
%On note $s_{n}$ le nombre affiché par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de $n$. 
%		\item Justifier que $s_{3}$ représente l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur.
%		
%\begin{center}
%\psset{xunit=4cm,yunit=4cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,-0.2)(1.5,1.25)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.2)(1.5,1.25)
%\pscurve[linecolor=blue](0,0.5)(0.333,0.65)(0.666,0.9)(1,1.15)
%\psframe[fillstyle=vlines](0,0)(0.333,0.5)
%\psframe[fillstyle=vlines](0.333,0)(0.666,0.65)
%\psframe[fillstyle=vlines](0.666,0)(1,0.9)
%\psline[linestyle=dashed](1,0.9)(1,1.15)
%\uput[l](0,0.25){1}
%\uput[ul](0.333,0.65){$\mathcal{C}$}
%\end{pspicture}
%\end{center}		 
%		\item Que dire de la valeur de $s_{n}$ fournie par l'algorithme proposé lorsque $n$ devient grand ? 
%	\end{enumerate} 
%	\item 
%\begin{enumerate}
%		\item Soient $u$ et $v$ les fonctions définies sur $\R$ par $u(x) = x$ et $v(x) = \text{e}^{\dfrac{1}{2}x}$. Vérifier que $f = 2\left(u'v + uv'\right)$. 
%		\item En déduire une primitive de $f$ sur $\R$ puis calculer la valeur exacte de $I$, enfin donner $\lim\limits_{n\to +\infty} s_n$.
%	\end{enumerate} 
%\end{enumerate} 
%
%\end{exoi}

\begin{center}

\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(5,6)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-3)(5,6)
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-3)(5,6)
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue]{-2.0}{5.0}{x+1+2.718281828^(-x+1)}
\psplot{-2}{5}{(--1--1*x)/1}
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=cyan]{-2.0}{5.0}{x+1-2.718281828^(-x+1)}
\rput[tl](-1.5,4.89){Courbe 1}
\rput[tl](-1.5,0.75){Courbe 2}
\rput[tl](0.2,-1.71){Courbe 3}
\end{pspicture*}
\end{center}

\pagebreak

\begin{exoi}\hfill (4 points)\\
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est exacte. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On dispose de trois urnes contenant chacune un certain nombre de boules colorées, comme indiqué dans le tableau ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
 & Boules Bleues & Boules Rouges\tabularnewline
\hline 
\hline 
Urne 1 & 1 & 3\tabularnewline
\hline 
Urne 2 & 3 & 2\tabularnewline
\hline 
Urne 3 & 4 & 2\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}\end{center}
On tire au hasard une urne, puis une boule de cette urne. 

La boule tirée est bleue, mais quelle est la probabilité qu'elle provienne de l'urne 1 ?
\end{footnotesize}

En notant $B$ l'événement la boule tirée est bleue et $U_1$ l'événement la boule provient de l'urne $1$, on a :
$$ p_B(U_1)=\dfrac{p(B\cap U_1)}{p(B)}=\dfrac{\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}}{\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{6}\right)}=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{15+36+40}{60}}=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{91}{60}}=\dfrac{60}{4\times 91}=\dfrac{15}{91}$$
\item\begin{footnotesize}
 Le ministre syldave a supprimé la faculté de médecine. L'unique dentiste de Gattaca \footnote{La capitale de la Syldavie.} est un ancien boxeur, aveugle et parkinsonien. Il arrache les dents de ses patients au hasard. Les syldaves venant le consulter ont toujours une seule dent de malade parmi les trente-deux qu'ils possèdent encore avant l'intervention des tenailles ou des poings, c'est selon. Le dentiste arrache toujours exactement une dent par patient (malade ou saine suivant la chance du patient). On note $X$ le nombre de dents malades extraites à bon escient après avoir traité $n$ patients par le dentiste.

Combien doit-il traiter de personnes au minimum pour extraire au moins
une dent malade avec une probabilité supérieure à $0,6$ ? 
\end{footnotesize}

$X$ suit une loi binomiale de paramètre $n$ et $\dfrac{1}{32}$ (on répète de manière indépendante la même épreuve de Bernoulli $n$ fois pour laquelle la probabilité de succès vaut $\dfrac{1}{32}$), par conséquent :
$$ p(X\geq 1)=1-p(X=0)=1-\left(\dfrac{31}{32}\right)^n$$
Enfin :
$$ 1-\left(\dfrac{31}{32}\right)^n\geq 0,6 \Longleftrightarrow -\left(\dfrac{31}{32}\right)^n\geq -0,4 \Longleftrightarrow \left(\dfrac{31}{32}\right)^n\leq 0,4 \Longleftrightarrow \ln \left(\dfrac{31}{32}\right)^n\leq \ln 0,4 \Longleftrightarrow n\ln \dfrac{31}{32}\leq \ln 0,4$$

et donc, du fait que $\ln \dfrac{31}{32}<0$ on a  :
$$ n\geq \dfrac{\ln 0,4}{\ln \dfrac{31}{32}}\simeq 28.8 \Longrightarrow n\geq 29$$
Ce cher dentiste doit traiter un minimum de $29$ patients pour avoir plus de $60\%$ de chance d'arracher au moins une dent malade.



	
\item {\footnotesize Dans un repère de l'espace, on considère les trois points $A(1~;~2~;~3)$, $B(-1~;~5~;~4)$ et $C(-1~;~0~;~4)$. La droite parallèle à la droite $(AB)$ passant par le point $C$ a pour représentation paramétrique :}

$\overrightarrow{AB}\left(-2;3;1\right)$,
\\
$$ M(x;y;z)\in (AB)\Longleftrightarrow \exists t\in \R, \overrightarrow{AB}=t \overrightarrow{CM}\Longleftrightarrow \begin{cases}
      x+1 = -2t \\ y=3t\qquad t\in \R \\ z-4=t
    \end{cases} \Longleftrightarrow\begin{cases}
      x = -2t-1 \\ y=3t\qquad t\in \R \\ z=t+4
    \end{cases}$$

réponse qui figure dans l'énoncé, donc c'est bon.

\item \begin{footnotesize}
Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $\mathscr P$ passant par le point $D(-1~;~2~;~3)$ et de vecteur normal $\vect{n}(-3~;~-5~;~1)$, et la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\begin{cases}
x = t - 7 \\ y = t + 3 \\ z = 2t + 5
  \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.
\end{footnotesize}

Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\overrightarrow{d}(1;1;2)$ et :
$$ \overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{n}=-3-5+2\neq 0$$
$\overrightarrow{n}$ n'est pas orthogonal à $\mathscr d$ donc le plan $\mathscr P$ n'est pas parallèle à la droite $\mathscr D$, donc $\mathscr P$ et $\mathscr D$ sont sécants. (réponse qui est présente donc inutile d'analyser les autres).
\end{enumerate}
\end{exoi}
\end{document}