  \documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2013-2014}	
\newcommand{\Profs}{J.M.Bilheran/O.Maze/M.Rey-Cadours/D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	PRemière Page
%\pagestyle{empty}
%\begin{framed}
%\begin{center}
%\begin{LARGE}
% BACCALAUREAT GENERAL BLANC
%\end{LARGE}
%\end{center}
%\end{framed}
%
%
%\vfill
%
%\begin{Large}
%\begin{center}
%\underline{SESSION 2014}
%\end{center}
%\end{Large}
%
%\vfill
%
%
%\begin{Large}
%\begin{center}
%\textbf{MATHEMATIQUES-NON SPECIALISTE}
%\end{center}
%\end{Large}
%
%\vfill
%
%
%\begin{Large}
%\begin{center}
%Série : \textbf{S}
%\end{center}
%\end{Large}
%
%\vfill
%
%
%\begin{Large}
%\begin{center}
%DUREE DE L'EPREUVE : \textbf{4 Heures}. COEFFICIENT : \textbf{7}.
%\end{center}
%\end{Large}
%
%\vfill
%
%
%\begin{Large}
%\begin{center}
%\textbf{Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5.}
%\end{center}
%\end{Large}
%
%
%
%
%\begin{Large}
%\begin{center}
%L’utilisation de la calculatrice est autorisée.
%\end{center}
%\end{Large}
%
%\vfill
%\begin{framed}
%\begin{large}
%\begin{center}
%Le candidat doit traiter tous les exercices. 
%\end{center}
%Il est invité à faire sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il 
%aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des 
%raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. 
%\end{large}
%\end{framed}
%
%\pagebreak
%\clearpage
\pagenumbering{arabic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\fancypagestyle{styleLyc}{%
\fancyhf{} 
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Bac Blanc Corrigé}
\rhead{Février 2013}


\Cr{Correction du BAC BLANC}



%\begin{exoi}\hfill \textbf{Amérique du sud -2013}\\
%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
% 
%On considère l'équation 
%
%\[(E) :\quad  z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\]
% 
%\begin{enumerate}
%\item Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes. 
%\item On considère la suite $\left(M_{n}\right)$ des points d'affixes $z_{n} = 2^n \text{e}^{\text{i}(- 1)^n\frac{\pi}{6}}$, définie pour $n \geqslant 1$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Vérifier que $z_{1}$ est une solution de $(E)$. 
%		\item Écrire $z_{2}$ et $z_{3}$ sous forme algébrique. 
%		\item Placer les points $M_{1},\: M_{2},\: M_{3}$ et $M_{4}$ sur la figure donnée en annexe et tracer, sur la figure donnée en annexe, les segments $\left[M_{1}, M_{2}\right],\: \left[M_{2}, M_{3}\right]$ et $\left[M_{3}, M_{4}\right]$.
%	\end{enumerate} 
%\item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $z_{n} = 2^n \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{(- 1)^n \text{i}}{2}\right)$. 
%\item Calculer les longueurs $M_{1}M_{2}$ et $M_{2}M_{3}$.
%
%\medskip
%
%Pour la suite de l'exercice, on admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $M_{n}M_{n+1} = 2^n \sqrt{3}$. 
%\item On note $\ell_n = M_{1}M_{2} + M_{2}M_{3} + \cdots 	+ M_{n}M_{n+1}$.
%	\begin{enumerate}
%		\item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1,\: \ell_n = 2\sqrt{3}\left(2^n - 1\right)$. 
%		\item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\ell_n \geqslant  {1000}$.
%	\end{enumerate} 
%\end{enumerate}
%
%
%\begin{center}
%
%\psset{unit=0.66cm}
%\begin{pspicture}(-1,-9)(17,9)
%\multido{\n=0+2}{9}{\psline[linestyle=dashed](\n,-9)(\n,9)}
%\multido{\n=-8+2}{9}{\psline[linestyle=dashed](-0.5,\n)(17,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-0.9,-9)(17,9)
%\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\end{exoi}
%
%\pagebreak

\vspace{0.5cm}
\begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}\\
\begin{footnotesize}
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2~cm).

\end{footnotesize}

\medskip

\textbf{Partie A}



\medskip

\begin{footnotesize}
On considère l'équation :
$$ (E) : z^3+6z^2+12z+9=0$$

\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer que $z^3+6z^2+12z+9=(z+3)(z^2+3z+3)$}
\\
Pour tout $z\in \C$ on a :
$$ (z+3)(z^2+3z+3)=z^3+3z^2+3z+3z^2+9z+9=z^3+6z^2+12z+9$$ 
\item {\footnotesize En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$ dans $\C$.}
\\
$(z+3)(z^2+3z+3)=0\Longleftrightarrow z+3=0\qquad \text{ou} \qquad z^2+3z+3=0$.\\
D'où $z_1=-3$ ou $\Delta=9-12=-3<0$ donc deux autres racines complexes conjugués :
$$ z_2=\dfrac{-3- i\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{3}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad \text{ou}\qquad z_3=\dfrac{-3}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
Au final :
$$\mathscr S=\left\{-3;-\dfrac{3}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2};-\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right\}$$ 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
\begin{footnotesize}
 On considère les points A, B et C d' affixes respectives :
 \[ z_{\text{A}} = -\dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2},~z_{\text{B}}  = \overline{z_{\text{A}} }~\text{et}~ z_{\text{C}} =   - 3.\] 


 \end{footnotesize} 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. }
$|z_A|=\sqrt{9/4+3/4}=\sqrt{3}$. De plus $|z_B|=|\overline{z_A}|=\sqrt{3}$ et $|z_C|=|-3|=3$. Enfin un argument de $z_A$ vérifie :
$$ \cos \theta =\dfrac{-3/2}{\sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad \text{et} \qquad \sin \theta=\dfrac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}$$
On en déduit que $\theta=\dfrac{5\pi}{6}$. \\
Ainsi :
$$ z_A=\sqrt{3}e^{i\frac{5\pi}{6}}$$
Et donc $$ z_B=\overline{z_A}=\sqrt{3}e^{-i\frac{5\pi}{6}}$$
Et enfin $z_C=-3=3e^{i\pi}$.
\item {\footnotesize Placer les points A, B et C. }
\item {\footnotesize Démontrer que le triangle ABC est équilatéral. }
$$ AB=|z_B-z_A|=|-\dfrac{3}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}|=|-i \sqrt{3}|=\sqrt{3}$$
De même :
$$ AC=|z_C-z_A|=|-3+\dfrac{3}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}|=|z_B|=\sqrt{3}$$
Et enfin :
$$ BC=|z_C-z_B|=|-3+\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}|=|z_A|=\sqrt{3}$$
$AB=AC=BC$ donc le triangle $ABC$ est équilatéral.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 \begin{footnotesize}
Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{1}{3}\text{i}z^2$.
 
On note O$'$, A$'$, B$'$ et C$'$ les points respectivement associés par $f$ aux points O, A, B et C.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  {\footnotesize Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A$'$, B$'$ et C$'$. }
		\\
		Notons que $i=e^{i\frac{\pi}{2}}$ par conséquent :
		$$z_{A'}=\dfrac{1}{3}iz_A^2=\dfrac{1}{3}e^{i\frac{\pi}{2}}\times \left(\sqrt{3}e^{i\frac{5\pi}{6}}\right)^2=\dfrac{3}{3}e^{i\left(\frac{\pi}{2}+\frac{5\pi}{3}\right)}=e^{i\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right)}=e^{i\frac{\pi}{6}}$$
		De la même manière on trouve que :
		$$ z_B'=\dfrac{1}{3}e^{i\frac{\pi}{2}}\left(\sqrt{3}e^{-i\frac{5\pi}{6}}\right)^2=e^{i\left(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{3}\right)}=e^{i\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)}=e^{i\frac{5\pi}{6}}$$
		Et enfin :
		$$ z_{C'}=\dfrac{1}{3}i(-3)^2=3i=3e^{i\frac{\pi}{2}}$$
		\item \begin{footnotesize}
		Placer %, uniquement à l'aide du compas et d'une règle non graduée, 
		les points A$'$, B$'$ et C$'$ . 
		\end{footnotesize}
		\item {\footnotesize Démontrer l'alignement des points O, A et B$'$ ainsi que celui des points O, B et A$'$.}
		$$ z_{\overrightarrow{OB'}}=z_{B'}-z_O=z_{B'}=e^{i\frac{5\pi}{6}}$$
		$$ z_{\overrightarrow{OA}}=z_{A}-z_O=z_{A}=\sqrt{3}e^{i\frac{5\pi}{6}}$$
		On observe que $$z_{\overrightarrow{OA}}=\sqrt{3}z_{\overrightarrow{OB'}}\Longleftrightarrow \overrightarrow{OA}=\sqrt{3}\times \overrightarrow{OB'}$$
		Les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB'}$ sont colinéaires donc les points $O$, $A$ et $B'$ sont alignés.
		\\
		De même :
		$$ z_{\overrightarrow{OB}}=z_B-z_O=z_B=\overline{z_A}=-\dfrac{3}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
		et 
		$$ z_{\overrightarrow{OA'}}=z_{A'}-z_O=z_{A'}=e^{i\frac{\pi}{6}}=\cos \dfrac{\pi}{6}+i\sin \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i$$
		Et donc $$z_{\overrightarrow{OA'}}=-\sqrt{3}z_{\overrightarrow{OB}}\Longleftrightarrow \overrightarrow{OA'}=-\sqrt{3}\times \overrightarrow{OB}$$
		Les vecteurs $\overrightarrow{OA'}$ et $\overrightarrow{OB}$ sont colinéaires donc les points $O$, $A'$ et $B$ sont alignés.
	\end{enumerate}  
\item {\footnotesize Démontrer que si $M$ appartient à la droite (AB) alors $M'$ appartient à la parabole d'équation $y = - \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{3}{4}$. (On ne demande pas de tracer cette parabole)}
\\
Si $M$ appartient à la droite $(AB)$ alors il existe un réel $k$ tel que $$\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\Longleftrightarrow z_{\overrightarrow{AM}}=k\times z_{\overrightarrow{AB}}\Longleftrightarrow z_M-z_A=k(z_B-z_A)\Longleftrightarrow z_M=k\times \left(-\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+z_A$$
Ce qui donne :
$$ z_M=k\times \sqrt{3} i +z_A$$
Par conséquent $$ z_{M'}=\dfrac{1}{3}i \left(z_M\right)^2=\dfrac{1}{3}i\left(k\times \sqrt{3} i +z_A\right)^2=\dfrac{1}{3}i \left(-3k^2+2k\sqrt{3}iz_A+z_A^2\right)$$
Ce qui donne :
$$ z_{M'}=-k^2 i - \dfrac{2\sqrt{3}k}{3}z_A+\dfrac{1}{3}i z_A^2=-k^2i- \dfrac{2\sqrt{3}k}{3}z_A+z_{A'}$$
c'est-à-dire :
$$ z_{M'}=-k^2 i -\dfrac{2\sqrt{3}k}{3} \left(-\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2}$$
puis :
$$ z_{M'}=-k^2i+\sqrt{3}k-ki +\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}k+i\left(-k^2-k+\dfrac{1}{2}\right)$$
On obtient donc $\re{(z_{M'})}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}k$ et $\im{(z_{M'})}=-k^2-k+\dfrac{1}{2}$, Il faut encore vérifier que $$-\dfrac{1}{3}\re{(z_{M'})}^2+\dfrac{3}{4}=\im{(z_{M'})}$$
On a  :
$$ -\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}k\right)^2+\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{3}{4}+3k^2+3k\right)+\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{4}-k^2-k+\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}-k^2-k=\im{(z_{M'})}$$
Par conséquent le point $M'$ appartient à la parabole d'équation $y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{3}{4}$.
\end{enumerate} 
\end{exoi}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.86,-1.46)(3.05,3.16)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.86,-1.46)(3.05,3.16)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-3,0)(-1.5,0.87)(-1.5,-0.87)
\pscircle(0,0){2}
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0.5,-1.46)(0.5,3.16)
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt]{-3.86}{3.05}{(--0.87-0*x)/1}
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](-1.5,-1.46)(-1.5,3.16)
\psline[linecolor=zzttqq](-3,0)(-1.5,0.87)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.5,0.87)(-1.5,-0.87)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.5,-0.87)(-3,0)
\rput[tl](1.01,0.55){$\mathscr C$}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt]{-3.86}{3.05}{(--0.5-0*x)/1}
\psline(-1.5,0.87)(0,0)
\psline(0.87,0.5)(-1.5,-0.87)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](0.02,0.01){$O$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.5,0.87)
\rput[bl](0.53,0.88){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.5,0.87)
\rput[bl](-1.48,0.93){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.5,-0.87)
\rput[bl](-1.48,-0.86){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-3,0)
\rput[bl](-3.06,0.04){$C$}
\psdots[dotstyle=*](0.87,0.5)
\rput[bl](0.89,0.54){$A'$}
\psdots[dotstyle=*](-0.87,0.5)
\rput[bl](-0.89,0.57){$B'$}
\psdots[dotstyle=*](0,3)
\rput[bl](0.02,3.04){$C'$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\pagebreak

\begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~6[$ par 
\[f(x) = \dfrac{9}{6 - x}\]

On définit pour tout entier naturel $n$ la suite $\left(u_{n}\right)$ par

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}&=&-3\\
u_{n+1}&=&f\left(u_{n}\right)\\
\end{array}\right.\]
\end{footnotesize}

\begin{enumerate}
\item  \begin{footnotesize}
La courbe représentative de la fonction $f$  est donnée sur la feuille jointe accompagnée de celle de la droite d'équation $y = x$. Construire, sur cette feuille annexe les points $M_{0}\left(u_{0}~;~ 0\right),~
M_{1}\left(u_{1}~;~0\right),~ M_{2}\left(u_{2}~;~0\right),~ M_{3}\left(u_{3}~;~0\right)$ et $M_{4}\left(u_{4}~;~0\right)$.
\end{footnotesize}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\begin{center}

%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-1.6)(6,5.6)
\def\xmin{-4} \def\xmax{5.5} \def\ymin{-1} \def\ymax{5}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4.5,-1.6)(6.5,5.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-3,0)(-3,1)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-3,1)(0,1)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1)(1,1)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,1.8)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,1.8)(0,1.8)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,1.8)(0,1.8)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1.8)(1.8,1.8)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.8,1.8)(1.8,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1.8,1.8)(1.8,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.8,0)(1.8,2.14285)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1.8,0)(1.8,2.14285)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.8,2.14285)(0,2.14285)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1.8,2.14285)(0,2.14285)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,2.14285)(2.14285,2.14285)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,2.14285)(2.14285,2.14285)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.14285,2.14285)(2.14285,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(2.14285,2.14285)(2.14285,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.14285,0)(2.14285,2.33333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(2.14285,0)(2.14285,2.33333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.14285,2.33333)(0,2.33333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(2.14285,2.33333)(0,2.33333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,2.33333)(2.33333,2.33333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,2.33333)(2.33333,2.33333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.33333,2.33333)(2.33333,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(2.33333,2.33333)(2.33333,0)
\def\F{9 6 x sub div}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-6}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{8}{\F}
\uput[0](3,6.5){$C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){ O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){ $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){ $\vec{\jmath}$}
\uput[-90](-3,0){ $u_0$}
\uput[180](0,1){ $u_1$}
\uput[-90](1,0){ $u_1$}
\uput[180](0,1.8){ $u_2$}
\uput[-90](1.8,0){ $u_2$}
\uput[180](0,2.14285){ $u_3$}
\uput[-90](2.14285,0){ $u_3$}
\uput[180](0,2.33333){ $u_4$}
\uput[-90](2.33333,0){ $u_4$}
\end{pspicture*}


\end{center}
\begin{footnotesize}

Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et la convergence éventuelle de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
\end{footnotesize}

Il semble que la suite$(u_n)$  soit strictement croissante  et converge vers $3$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  \begin{footnotesize}
		Démontrer que si $x < 3$  alors 	$\dfrac{9}{6 - x}< 3$.
				\end{footnotesize}
Si $x>3$ alors $-x>-3$ et donc $6-x>6-3$ c'est-à-dire $6-x>3$. Par passage à l'inverse on obtient :
$$ \dfrac{1}{6-x}<\dfrac{1}{3}\Longrightarrow \dfrac{9}{6-x}<\dfrac{9}{3}=3$$
\begin{footnotesize}
		
En déduire que $u_{n} < 3$ pour tout entier naturel $n$.

		\end{footnotesize}		
		
		Notons $\mathscr P(n)$ la propriété : $u_n<3$ et montrons la par récurrence.
		\begin{itemize}
		\item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $
		n=0$ on a bien $u_0=-3<3$.
		\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $u_n<3$ alors $u_{n+1}<3$.\\
		D'après la question précédente si $x<3$ on a $f(x)<3$, appliquons ce résultat pour $x=u_n$ et on obtient puisque $u_n<3$ :
		$$ f(u_n)<3\Longleftrightarrow u_{n+1}<3$$
		\item \textbf{\textit{Conclusion}} : La propriété $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc pour tout $n\in \N$ on a :
		$$ u_n<3$$
		\end{itemize}
		\item  {\footnotesize Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.}
		\\
		Pour tout entier naturel $n$ on a :
		$$ u_{n+1}-u_n=\dfrac{9}{6-u_n}-u_n=\dfrac{9-u_n(6-u_n)}{6-u_n}=\dfrac{9-6u_n+u_n^2}{6-u_n}=\dfrac{(u_n-3)^2}{6-u_n}$$
		Puisque $u_n<3\Longrightarrow (u_n-3)^2>0$. De plus puisque $u_n<3\Longrightarrow -u_n>-3\Longrightarrow 6-u_n>3>0$ autrement dit :
		$$ \dfrac{(u_n-3)^2}{6-u_n}>0\Longleftrightarrow u_{n+1}-u_n>0\Longleftrightarrow u_{n+1}>u_n$$
		On en déduit que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
		\item  {\footnotesize Que peut-on déduire des questions $2. (a)$ et $2. (b)$ ?}
		
		On a démontré que la suite $(u_n)$ est majorée par $3$ (question $2. (a)$) et strictement croissante (question $2. (b)$), par conséquent $(u_n)$ converge vers un réel $\ell\leq 3$.
	\end{enumerate}
\item  {\footnotesize On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie par $v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 3}$ 	pour tout entier naturel $n$.}
	\begin{enumerate}
		\item  {\footnotesize Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison  $- \dfrac{1}{3}$.}
		
		Pour tout entier naturel $n$ on a :
		$$ v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{u_{n+1}-3}-v_n=\dfrac{1}{\frac{9}{6-u_n}-3}-\dfrac{1}{u_n-3}=\dfrac{1}{\frac{9-3(6-u_n)}{6-u_n}}-\dfrac{1}{u_n-3}=\dfrac{6-u_n}{9-18+3u_n}-\dfrac{1}{u_n-3}=\dfrac{6-u_n}{-9+3u_n}-\dfrac{3}{3u_n-9}$$
		ce qui donne au final :
		$$ v_{n+1}-v_n=\dfrac{6-u_n-3}{3u_n-9}=\dfrac{3-u_n}{-3(3-u_n)}=-\dfrac{1}{3}$$
		Par conséquent la suite $(v_n)$ est arithmétique de raison $-\dfrac{1}{3}$.
		\item  {\footnotesize Déterminer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$.}
		
		Puisque $(v_n)$ est arithmétique on a pour tout entier naturel $n$ :
		$$ v_n=v_0+nr=\dfrac{1}{u_0-3}-\dfrac{1}{3}n=-\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{3}n$$ 
		
		Par conséquent pour tout entier naturel $n$ on a :
		$$ v_n=\dfrac{1}{u_n-3}\Longleftrightarrow u_n-3=\dfrac{1}{v_n}\Longleftrightarrow u_n=\dfrac{1}{v_n}+3$$
		Et donc on peut conclure que :
		$$\forall n\in \N,\qquad u_n=\dfrac{1}{-\frac{1}{6}-\frac{1}{3}n}+3 $$
		\item  {\footnotesize Calculer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.}
		
		On a $\lim\limits_{n\to +\infty} -\frac{1}{6}-\frac{1}{3}n=-\infty$ par conséquent on a par quotient :
		$$ \lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{-\frac{1}{6}-\frac{1}{3}n}=0$$
		Et au final :
		$$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{-\frac{1}{6}-\frac{1}{3}n}+3=3 \Longrightarrow \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=3$$
		\item \begin{footnotesize}
		On considère l'algorithme\index{algorithme}  suivant : 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline
Variables		& $K$ et $J$ sont des entiers naturels, $U$ est un nombre réel\\ 
Initialisation 	&$U$ prend la valeur $-3$\\ 
				&$J$ prend la valeur $0$\\ 
Entrée			& Saisir la valeur de $K$\\ 
Traitement		&Tant que $U< 3 - 10^{- \text{K}}$\\ 
				&\quad $U$ prend la valeur $\dfrac{9}{6-U}$\\
				&\quad  $J$ prend la valeur $J + 1$\\ 
				&Fin tant que \\
Sortie			&Afficher $J$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Qu'affiche l'algorithme si l'utilisateur entre $K=0$ ?}
 
 Si l'utilisateur rentre $K=0$ alors $3-10^{-0}=3-1=2$. Puisque $U=-3$ on \og entre \fg{} dans le tant que.
 
 $U=\dfrac{9}{6+3}=1$ et $J=1$. Puisque $U=1<2$ on recommence.
 
 $U=\dfrac{9}{6-1}=\dfrac{9}{5}=1,8$ et $J=2$. Puisque $U=1,8<2$ on recommence.
 
 $U=\dfrac{9}{6-9/5}=\dfrac{9}{21/5}=\dfrac{45}{21}>2$ et $J=3$. Puisque $U>2$ on sort du tant que et l'algorithme affiche $J=3$.
\item {\footnotesize À quoi correspond l'affichage final J ?}
$J$ est le premier rang à partir duquel $u_J\geq 3-10^{-K}$.
 
\begin{footnotesize}
Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ?
\end{footnotesize}

Quelque soit la valeur de $K$, puisque $(u_n)$ est croissante et convergente vers $3$ il existe un entier $n_0$ tel que $3-10^{-K}\leq u_{n_0}<3$.  Par conséquent l'algorithme s'arrête.
\end{enumerate}
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak
\begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}\\
\begin{footnotesize}
Chaque année, deux villages A et B organisent un concours sportif. Les concurrents tirent au sort un moyen de transport puis doivent relier le village A au village B le plus rapidement possible en utilisant ce moyen de transport et un parcours adapté. Pour le tirage, on utilise une urne contenant 4 jetons indiscernables au toucher. Sur un premier jeton figure la lettre V , sur le second la lettre R, sur le troisième la lettre P et sur le dernier la lettre L.

\end{footnotesize}
\medskip
 
\begin{footnotesize}
 Un concurrent tire au hasard un jeton :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre V, il effectuera le trajet à vélo, 
\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre R, Il effectuera le trajet en roller, 
\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre P, il effectuera le trajet à pied, 
\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisira librement son mode de transport parmi les trois précédents.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On observe que lorsqu'un concurrent tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisit le vélo dans 70\,\% des cas, il choisit le roller dans 20\,\% des cas et il décide de faire le parcours à pied dans 10\,\% des cas.

 \end{footnotesize} 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Construire un arbre pondéré correspondant à la situation.}
 
 
 %:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
\begin{center}
% Racine à Gauche, développement vers la droite
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{feuille}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white,draw]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{2}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(1.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(2.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$ $};
\node[feuille] (Ra) at ({\NiveauB},{(0)*\InterFeuilles}) {$V$};
\node[feuille] (Rb) at ({\NiveauB},{(1)*\InterFeuilles}) {$P$};
\node[feuille] (Rc) at ({\NiveauB},{(2)*\InterFeuilles}) {$R$};
\node[noeud] (Rd) at ({\NiveauB},{(4)*\InterFeuilles}) {$L$};
\node[feuille] (Rda) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$Vélo$};
\node[feuille] (Rdb) at ({\NiveauC},{(4)*\InterFeuilles}) {$Pied$};
\node[feuille] (Rdc) at ({\NiveauC},{(5)*\InterFeuilles}) {$Rolleur$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$1/4$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$1/4$};
\draw[fleche] (R)--(Rc) node[etiquette] {$1/4$};
\draw[fleche] (R)--(Rd) node[etiquette] {$1/4$};
\draw[fleche] (Rd)--(Rda) node[etiquette] {$0.7$};
\draw[fleche] (Rd)--(Rdb) node[etiquette] {$0.1$};
\draw[fleche] (Rd)--(Rdc) node[etiquette] {$0.2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin

\emph{Pour les questions suivantes, on donnera les résultats arrondis au millième.} 


\item {\footnotesize Vérifier que la probabilité qu'un concurrent effectue le trajet en vélo est $0,425$. }

En notant $V$ cet événement on obtient :
$$ p(V)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\times \dfrac{70}{100}=\dfrac{170}{400}=\dfrac{85}{200}=\dfrac{42,5}{100}=0,425$$
\item {\footnotesize Sachant qu'un concurrent a effectué le trajet à vélo, quelle est la probabilité qu'il ait tiré le jeton sur lequel figure la lettre L ? }
$$ p_{V}(L)=\dfrac{p(L\cap V)}{p(V)}=\dfrac{\frac{1}{4}\times \frac{70}{100}}{\frac{170}{400}}=\dfrac{70}{170}=\dfrac{7}{17}$$
\item \begin{footnotesize}
On admet que les résultats des différentes années sont indépendants les uns des autres.
 
L'expérience des années précédentes permet de considérer que la probabilité, pour le vainqueur, d'avoir effectué le trajet à vélo est $\dfrac{2}{3}$. 

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'épreuves remportées par un concurrent \og  cycliste \fg{} lors des six prochaines années.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Quelle loi suit la variable aléatoire $X$ ? En déduire $p(X=2)$.}

On répète $6$ fois la même épreuve de Bernoulli (identique et indépendante) admettant $2/3$ pour probabilité de succès, la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit donc une loi binomiale de paramètres $6$ et $\dfrac{2}{3}$ ce que l'on résume ainsi :
$$ X\hookrightarrow B(6;2/3)$$

$$ p(X=2)=\binom{2}{6}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^2\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^4=15\times \dfrac{4}{3^6}=\dfrac{20}{3^5}=\dfrac{20}{243}$$
\item {\footnotesize Calculer la probabilité qu'au cours des six prochaines années l'épreuve soit remportée au moins une fois par un concurrent \og  cycliste \fg. }

$$ p(X\geq 1)=1-p(X=0)=1-\dfrac{1}{3^6}=\dfrac{3^6-1}{3^6}=\dfrac{728}{729}$$
\item {\footnotesize Calculer $E(X)$, interpréter.}

Puisque $X\hookrightarrow B(6;2/3)$ on a $E(X)=6\times \dfrac{2}{3}=4$. 

Si l'on répète un grand nombre de fois ces $6$ épreuves de Bernoulli on peut espérer observer une moyenne de $4$ succès cyclistes (pour $6$ épreuve donc).
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}


\end{exoi}

\pagebreak
\begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}\\\begin{footnotesize}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - x}.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal \Oij donné en annexe.

\vspace{0,5cm}

\partieBac{Restitution Organisée de Connaissances} 
\emph{On suppose connus les résultats suivants :
\begin{itemize}
\item[\textit{Propriété 1 :}] Soit $x_0\in \R$, si pour tout réel $x\geq x_0$ on a $ h(x)\leq k(x)$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)=+\infty$ alors $\lim\limits_{x\to +\infty} k(x)=+\infty$.
\item[\textit{Propriété 2 :}] $x\longmapsto e^x$ est l'unique fonction égale à sa dérivée qui vaut $1$ en $0$ c'est-à-dire $(e^x)'=e^x$ et $e^0=1$.
\item[\textit{Propriété 3 :}] La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$.
\end{itemize}}
\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^x- x - 1$.

\end{footnotesize}
\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Étudier les variations de la fonction $g$ sur 
$\R$. En déduire le signe de $g$.
\end{footnotesize}

$g$ est la somme de deux fonctions dérivables sur $\R$ donc est dérivable sur $\R$ et pour tout $x\in \R$ on a :
$$ g'(x)=e^x-1$$

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ donc pour tout réel $x>0$ on a $e^x>e^0\Longleftrightarrow e^x>1\Longleftrightarrow e^x-1>0\Longleftrightarrow g'(x)>0$.

On en déduit que $g$ est strictement croissante sur $\R^{+*}$ et que $g$ est strictement décroissante sur $\R^{-*}$. 
\item {\footnotesize Justifier que pour tout $x,~ \left(\text{e}^x -x\right)$ est strictement positif.}

Des variations de la fonction $g$ on déduit que $g$ admet un minium atteint pour $x=0$ qui vaut :
$$ g(0)=e^0-0-1=1-1=0$$

Par conséquent pour tout réel $x$ on a :
$$ g(x)\geq 0\Longleftrightarrow e^x-x-1\geq 0\Longleftrightarrow e^x-x\geq 1\Longrightarrow e^x-x>0$$
\item {\footnotesize En déduire que $\lim\limits_{x\to +\infty} e^x=+\infty$.}

On a pour tout réel $x$ :
$$ e^x-x>0\Longleftrightarrow e^x>x$$

Par comparaison, de $\lim\limits_{x\to +\infty} x=+\infty$ on tire :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\partieBac{Etude de la fonction $f$.}
\medskip

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item \begin{footnotesize}
	 	 Calculer les limites de 
la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
	 	 \end{footnotesize}
	 	 En $+\infty$ nous avons besoin de modifier l'écriture de $f(x)$ pour calculer sa limite, et pour tout $x\neq 0$ on a :
	 	 $$ f(x)=\dfrac{x}{x\left(\dfrac{e^x}{x}-1\right)}=\dfrac{1}{\frac{e^x}{x}-1}$$
	 	 D'après le cours on sait que $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty$, par conséquent $ \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{e^x}{x}-1=+\infty$.
	 	 
	 	 Puisque $\lim\limits_{X\to +\infty} \dfrac{1}{X}=0$ on conclut par composition que :
	 	 $$ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$$
	 	 
	 	 En $-\infty$ on a $\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{e^x}{x}=0$ donc 
	 	 $\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{e^x}{x}-1=-1$ et on conclut par quotient que  :
	 	 $$ \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-1$$
		\item {\footnotesize Interpréter graphiquement les résultats précédents.}
		
		Puisque $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$, $\mathscr C$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=0$ en $+\infty$ (il s'agit de l'axe des abscisses) et puisque $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-1$, $\mathscr C$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=-1$ en $-\infty$
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Calculer $f'(x),\: f'$ désignant la fonction dérivée de $f$.}
		
		$f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ on a :
		$$ f'(x)=\dfrac{e^x-x-x(e^x-1)}{(e^x-x)^2}=\dfrac{e^x-x-xe^x+x}{(e^x-x)^2}=\dfrac{e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}$$
		\item {\footnotesize Étudier le sens de variations de $f$ puis dresser son tableau de variations.}
		
		$f'(x)$ est du signe de $1-x$ puisque $e^x>0$ et $(e^x-x)^2>0$ pour tout réel $x$.
		
		On en déduit immédiatement que :
		
		%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$1$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$f'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-1$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$1/(e-1)$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$0$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin

%:>>>>> code du tableau à ré-injecter
%[
%	["x", "f'(x)", "f(x)"],
%	["-\\infty", "", "+", "-1"],
%	["1", "0", "-", "1/(e-1)"],
%	["+\\infty", "", "?", "0"]
%]

	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate} 
	 	\item {\footnotesize Déterminer une équation de la tangente $T$  à la courbe $\mathcal{C}$  au point d'abscisse $0$.}
	 	
	 	Cette équation est du type 
	 	$$ y=f'(0)(x-0)+f(0)\Longleftrightarrow y=f'(0)x+f(0)$$
	 	
	 	Or, $f'(0)=\dfrac{e^0}{(e^0-0)^2}=\dfrac{1}{1}=1$ et $f(0)=\dfrac{0}{e^0-0}=0$ d'où l'équation de $T$ :
	 	$$ T: y=x$$
		\item \begin{enumerate}
		\item \begin{footnotesize}
		Montrer que pour tout réel $x$ on a :
		 $$f(x)-x=-\dfrac{xg(x)}{e^x-x}$$
		\end{footnotesize}
		
		Pour tout réel $x$ on a :
		$$ f(x)-x=\dfrac{x}{e^x-x}-x=\dfrac{x-x(e^x-x)}{e^x-x}=\dfrac{x-xe^x+x^2}{e^x-x}=\dfrac{-x(-1+e^x-x)}{e^x-x}=-\dfrac{xg(x)}{e^x-x}$$
		 \item {\footnotesize En déduire le signe de $f(x)-x$ en fonction de $x$ puis en déduire le position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $T$.}
		 
		 Etablissons le tableau de signe de $f(x)-x$, qui est du signe de $-xg(x)$ puisque $e^x-x>0, \forall x\in \R$ d'où :
		 
		 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{-x}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{g(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)-x}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$

On a donc $f(x)-x>0$ pour $x<0$ c'est-à-dire $ f(x)>x$ pour $x<0$. On en déduit que sur $]-\infty;0[$ $\mathscr C$ est au dessus de $T$. Les deux courbes s'intersectent au point d'abscisse $0$ (normal pour la tangente...) et sur $]0;+\infty[$ la tangente $T$ est au dessus de $\mathscr C$.

		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\item {\footnotesize Tracer la droite $T$ et les asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$ sur le graphique donné en annexe.}

\begin{center}

\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.1,-2.23)(3.05,1.87)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.1,-2.23)(3.05,1.87)
\psplot[linecolor=red]{-2.1}{3.05}{(-0--1*x)/1}
\psplot[linecolor=qqzzqq]{-2.1}{3.05}{(-1-0*x)/1}
\rput[tl](1.02,1){$\red{T}$}
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{-2.1044444444444457}{3.0511111111111155}{x/(2.718281828^(x)-x)}
\rput[tl](2.09,0.64){$\qqqqcc{\mathscr C}$}
\psplot[linecolor=qqzzqq]{-2.1}{3.05}{(-0-0*x)/1}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}


\end{exoi}
		


%\newpage
%		
%\begin{center}
%\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}
%	\end{center}	
%\bigskip
%\textbf{ANNEXE (exercice 2)}
%
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=1]{graph2.eps}
%\end{center}
%
%\textbf{ANNEXE (exercice 4)}
%
%
%\bigskip
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=1]{graph1.eps} \end{center}
		   
\end{document}