  \documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2013-2014}	
\newcommand{\Profs}{J.M.Bilheran/O.Maze/M.Rey-Cadours/D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	
\clearpage
\pagenumbering{arabic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
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	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
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\lhead{Bac Blanc Corrigé}
\rhead{Février 2013}


\Cr{Correction du BAC BLANC}



%\begin{exoi}\hfill \textbf{Amérique du sud -2013}\\
%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
% 
%On considère l'équation 
%
%\[(E) :\quad  z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\]
% 
%\begin{enumerate}
%\item Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes. 
%\item On considère la suite $\left(M_{n}\right)$ des points d'affixes $z_{n} = 2^n \text{e}^{\text{i}(- 1)^n\frac{\pi}{6}}$, définie pour $n \geqslant 1$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Vérifier que $z_{1}$ est une solution de $(E)$. 
%		\item Écrire $z_{2}$ et $z_{3}$ sous forme algébrique. 
%		\item Placer les points $M_{1},\: M_{2},\: M_{3}$ et $M_{4}$ sur la figure donnée en annexe et tracer, sur la figure donnée en annexe, les segments $\left[M_{1}, M_{2}\right],\: \left[M_{2}, M_{3}\right]$ et $\left[M_{3}, M_{4}\right]$.
%	\end{enumerate} 
%\item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $z_{n} = 2^n \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{(- 1)^n \text{i}}{2}\right)$. 
%\item Calculer les longueurs $M_{1}M_{2}$ et $M_{2}M_{3}$.
%
%\medskip
%
%Pour la suite de l'exercice, on admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $M_{n}M_{n+1} = 2^n \sqrt{3}$. 
%\item On note $\ell_n = M_{1}M_{2} + M_{2}M_{3} + \cdots 	+ M_{n}M_{n+1}$.
%	\begin{enumerate}
%		\item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1,\: \ell_n = 2\sqrt{3}\left(2^n - 1\right)$. 
%		\item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\ell_n \geqslant  {1000}$.
%	\end{enumerate} 
%\end{enumerate}
%
%
%\begin{center}
%
%\psset{unit=0.66cm}
%\begin{pspicture}(-1,-9)(17,9)
%\multido{\n=0+2}{9}{\psline[linestyle=dashed](\n,-9)(\n,9)}
%\multido{\n=-8+2}{9}{\psline[linestyle=dashed](-0.5,\n)(17,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-0.9,-9)(17,9)
%\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\end{exoi}
%
%\pagebreak

\vspace{0.5cm}
\begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}\\
\begin{footnotesize}
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2~cm).

\end{footnotesize}

\medskip

\textbf{Partie A}



\medskip

\begin{footnotesize}
On considère l'équation :
$$ (E) : z^3+6z^2+12z+9=0$$

\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer que $z^3+6z^2+12z+9=(z+3)(z^2+3z+3)$}
\\
Pour tout $z\in \C$ on a :
$$ (z+3)(z^2+3z+3)=z^3+3z^2+3z+3z^2+9z+9=z^3+6z^2+12z+9$$ 
\item {\footnotesize En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$ dans $\C$.}
\\
$(z+3)(z^2+3z+3)=0\Longleftrightarrow z+3=0\qquad \text{ou} \qquad z^2+3z+3=0$.\\
D'où $z_1=-3$ ou $\Delta=9-12=-3<0$ donc deux autres racines complexes conjugués :
$$ z_2=\dfrac{-3- i\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{3}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad \text{ou}\qquad z_3=\dfrac{-3}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
Au final :
$$\mathscr S=\left\{-3;-\dfrac{3}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2};-\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right\}$$ 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
\begin{footnotesize}
 On considère les points A, B et C d' affixes respectives :
 \[ z_{\text{A}} = -\dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2},~z_{\text{B}}  = \overline{z_{\text{A}} }~\text{et}~ z_{\text{C}} =   - 3.\] 


 \end{footnotesize} 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. }
$|z_A|=\sqrt{9/4+3/4}=\sqrt{3}$. De plus $|z_B|=|\overline{z_A}|=\sqrt{3}$ et $|z_C|=|-3|=3$. Enfin un argument de $z_A$ vérifie :
$$ \cos \theta =\dfrac{-3/2}{\sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad \text{et} \qquad \sin \theta=\dfrac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}$$
On en déduit que $\theta=\dfrac{5\pi}{6}$. \\
Ainsi :
$$ z_A=\sqrt{3}e^{i\frac{5\pi}{6}}$$
Et donc $$ z_B=\overline{z_A}=\sqrt{3}e^{-i\frac{5\pi}{6}}$$
Et enfin $z_C=-3=3e^{i\pi}$.
\item {\footnotesize Placer les points A, B et C. }
\item {\footnotesize Démontrer que le triangle ABC est équilatéral. }
$$ AB=|z_B-z_A|=|-\dfrac{3}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}|=|-i \sqrt{3}|=\sqrt{3}$$
De même :
$$ AC=|z_C-z_A|=|-3+\dfrac{3}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}|=|z_B|=\sqrt{3}$$
Et enfin :
$$ BC=|z_C-z_B|=|-3+\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}|=|z_A|=\sqrt{3}$$
$AB=AC=BC$ donc le triangle $ABC$ est équilatéral.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 \begin{footnotesize}
Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{1}{3}\text{i}z^2$.
 
On note O$'$, A$'$, B$'$ et C$'$ les points respectivement associés par $f$ aux points O, A, B et C.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  {\footnotesize Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A$'$, B$'$ et C$'$. }
		\\
		Notons que $i=e^{i\frac{\pi}{2}}$ par conséquent :
		$$z_{A'}=\dfrac{1}{3}iz_A^2=\dfrac{1}{3}e^{i\frac{\pi}{2}}\times \left(\sqrt{3}e^{i\frac{5\pi}{6}}\right)^2=\dfrac{3}{3}e^{i\left(\frac{\pi}{2}+\frac{5\pi}{3}\right)}=e^{i\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right)}=e^{i\frac{\pi}{6}}$$
		De la même manière on trouve que :
		$$ z_B'=\dfrac{1}{3}e^{i\frac{\pi}{2}}\left(\sqrt{3}e^{-i\frac{5\pi}{6}}\right)^2=e^{i\left(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{3}\right)}=e^{i\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)}=e^{i\frac{5\pi}{6}}$$
		Et enfin :
		$$ z_{C'}=\dfrac{1}{3}i(-3)^2=3i=3e^{i\frac{\pi}{2}}$$
		\item \begin{footnotesize}
		Placer %, uniquement à l'aide du compas et d'une règle non graduée, 
		les points A$'$, B$'$ et C$'$ . 
		\end{footnotesize}
		\item {\footnotesize Démontrer l'alignement des points O, A et B$'$ ainsi que celui des points O, B et A$'$.}
		$$ z_{\overrightarrow{OB'}}=z_{B'}-z_O=z_{B'}=e^{i\frac{5\pi}{6}}$$
		$$ z_{\overrightarrow{OA}}=z_{A}-z_O=z_{A}=\sqrt{3}e^{i\frac{5\pi}{6}}$$
		On observe que $$z_{\overrightarrow{OA}}=\sqrt{3}z_{\overrightarrow{OB'}}\Longleftrightarrow \overrightarrow{OA}=\sqrt{3}\times \overrightarrow{OB'}$$
		Les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB'}$ sont colinéaires donc les points $O$, $A$ et $B'$ sont alignés.
		\\
		De même :
		$$ z_{\overrightarrow{OB}}=z_B-z_O=z_B=\overline{z_A}=-\dfrac{3}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
		et 
		$$ z_{\overrightarrow{OA'}}=z_{A'}-z_O=z_{A'}=e^{i\frac{\pi}{6}}=\cos \dfrac{\pi}{6}+i\sin \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i$$
		Et donc $$z_{\overrightarrow{OA'}}=-\sqrt{3}z_{\overrightarrow{OB}}\Longleftrightarrow \overrightarrow{OA'}=-\sqrt{3}\times \overrightarrow{OB}$$
		Les vecteurs $\overrightarrow{OA'}$ et $\overrightarrow{OB}$ sont colinéaires donc les points $O$, $A'$ et $B$ sont alignés.
	\end{enumerate}  
\item {\footnotesize Démontrer que si $M$ appartient à la droite (AB) alors $M'$ appartient à la parabole d'équation $y = - \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{3}{4}$. (On ne demande pas de tracer cette parabole)}
\\
Si $M$ appartient à la droite $(AB)$ alors il existe un réel $k$ tel que $$\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\Longleftrightarrow z_{\overrightarrow{AM}}=k\times z_{\overrightarrow{AB}}\Longleftrightarrow z_M-z_A=k(z_B-z_A)\Longleftrightarrow z_M=k\times \left(-\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+z_A$$
Ce qui donne :
$$ z_M=k\times \sqrt{3} i +z_A$$
Par conséquent $$ z_{M'}=\dfrac{1}{3}i \left(z_M\right)^2=\dfrac{1}{3}i\left(k\times \sqrt{3} i +z_A\right)^2=\dfrac{1}{3}i \left(-3k^2+2k\sqrt{3}iz_A+z_A^2\right)$$
Ce qui donne :
$$ z_{M'}=-k^2 i - \dfrac{2\sqrt{3}k}{3}z_A+\dfrac{1}{3}i z_A^2=-k^2i- \dfrac{2\sqrt{3}k}{3}z_A+z_{A'}$$
c'est-à-dire :
$$ z_{M'}=-k^2 i -\dfrac{2\sqrt{3}k}{3} \left(-\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2}$$
puis :
$$ z_{M'}=-k^2i+\sqrt{3}k-ki +\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}k+i\left(-k^2-k+\dfrac{1}{2}\right)$$
On obtient donc $\re{(z_{M'})}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}k$ et $\im{(z_{M'})}=-k^2-k+\dfrac{1}{2}$, Il faut encore vérifier que $$-\dfrac{1}{3}\re{(z_{M'})}^2+\dfrac{3}{4}=\im{(z_{M'})}$$
On a  :
$$ -\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}k\right)^2+\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{3}{4}+3k^2+3k\right)+\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{4}-k^2-k+\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}-k^2-k=\im{(z_{M'})}$$
Par conséquent le point $M'$ appartient à la parabole d'équation $y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{3}{4}$.
\end{enumerate} 
\end{exoi}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.86,-1.46)(3.05,3.16)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.86,-1.46)(3.05,3.16)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-3,0)(-1.5,0.87)(-1.5,-0.87)
\pscircle(0,0){2}
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0.5,-1.46)(0.5,3.16)
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt]{-3.86}{3.05}{(--0.87-0*x)/1}
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\psline[linecolor=zzttqq](-3,0)(-1.5,0.87)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.5,0.87)(-1.5,-0.87)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.5,-0.87)(-3,0)
\rput[tl](1.01,0.55){$\mathscr C$}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt]{-3.86}{3.05}{(--0.5-0*x)/1}
\psline(-1.5,0.87)(0,0)
\psline(0.87,0.5)(-1.5,-0.87)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](0.02,0.01){$O$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.5,0.87)
\rput[bl](0.53,0.88){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.5,0.87)
\rput[bl](-1.48,0.93){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.5,-0.87)
\rput[bl](-1.48,-0.86){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-3,0)
\rput[bl](-3.06,0.04){$C$}
\psdots[dotstyle=*](0.87,0.5)
\rput[bl](0.89,0.54){$A'$}
\psdots[dotstyle=*](-0.87,0.5)
\rput[bl](-0.89,0.57){$B'$}
\psdots[dotstyle=*](0,3)
\rput[bl](0.02,3.04){$C'$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\pagebreak
\begin{exoi}\textbf{exercice de spécialité}\hfill \textbf{5 points}\\
\begin{footnotesize}
On définit les suite\index{suite} $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sur l'ensemble $\N$ des entiers naturels par:
\[
u_0=0~;~v_0=1~,~\text{et}~
\left\{
\begin{array}{rcl}
u_{n+1}&=&\dfrac{u_n+v_n}{2}\\
v_{n+1}&=&\dfrac{u_n+2v_n}{3}
\end{array}
\right.
\]
Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item
\begin{footnotesize}
Calculer $u_1$ et $v_1$.
\end{footnotesize}
$$ u_1=\dfrac{u_0+v_0}{2}=\dfrac{1}{2}$$
et $$ v_1=\dfrac{u_0+2v_0}{3}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}$$
\item {\footnotesize On considère l'algorithme\index{algorithme} suivant :}
	\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize On exécute cet algorithme en saisissant $N = 2$.\\ Compléter le tableau (celui donné en annexe) contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme.}
\begin{center}
%\includegraphics[scale=1]{graph2.eps}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$k$ & $w$ & $u$ & $v$ \\
\hline
1& 0& $\frac{1}{2}$ & $\frac{2}{3}$\\
\hline
2& $\frac{1}{2}$ & $\frac{7}{12}$ & $\frac{11}{18}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
		\item P{\footnotesize our un nombre $N$ donné, à quoi correspondent les valeurs affichées par l'algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice~?}
		\\
		L'algorithme affiche $u_N$ et $v_N$.
	\end{enumerate}
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{8cm}
\textbf{Variables} : $u$, $v$ et $w$ des réels, $N$ et $k$ des entiers.\\
\textbf{Initialisation} : $u$ prend la valeur 0\\
\phantom{Initialisation:} $v$ prend la valeur 1\\
\textbf{Début de l'algorithme}\\
\phantom{xxxx}Entrer la valeur de $N$\\
\phantom{xxxx}Pour $k$ variant de 1 à $N$\\
\phantom{xxxxxxxx} $w$ prend la valeur $u$\\
\phantom{xxxxxxxx} $u$ prend la valeur $\dfrac{w+v}{2}$\\
\phantom{xxxxxxxx} $v$ prend la valeur $\dfrac{w+2v}{3}$\\
\phantom{xxxx}Fin du Pour\\
\phantom{xxxx}Afficher $u$ et afficher $v$\\
\textbf{Fin de l'algorithme}
\end{minipage}
}
\end{center}
	\end{multicols}
\item \begin{footnotesize}
Pour tout entier naturel $n$ on définit le vecteur colonne $X_n$ par $X_n=\begin{pmatrix}
u_n\\v_n
\end{pmatrix}$ et la matrice\index{matrice} $A$ par \begin{small}
$A=\begin{pmatrix}
\frac12&\frac12\\
\\\frac13&\frac23
\end{pmatrix}$
\end{small}.
\end{footnotesize}
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1}= AX_n$.}
		\\
		On a pour tout entier naturel $n$ :
		$$ AX_n=\begin{pmatrix}
\frac12&\frac12\\
\\\frac13&\frac23
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
u_n\\v_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}u_n+\frac{1}{2}v_n\\
\frac{1}{3}u_n+\frac{2}{3}v_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{u_n+v_n}{2}\\
\frac{u_n+2v_n}{3}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
u_{n+1}\\
v_{n+1}
\end{pmatrix}=X_{n+1}$$
		\item {\footnotesize Démontrer par récurrence que $X_n = A^nX_0$ pour tout entier naturel $n$.}
		Notons $\mathscr P(n)$ la propriété $X_n=A^nX_0$ et démontrons la par récurrence.
		\begin{itemize}
		\item \textit{\textbf{Initialisation}} : pour $n=0$ on a :
		$A^0X_0=I_2X_0=X_0$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.
		\item \textit{\textbf{Hérédité}} : Montrons que si $X_n=A^nX_0$ alors $X_{n+1}=A^{n+1}X_0$. \\
		$X_{n+1}=AX_n=A\times A^nX_0=A^{n+1}X_0$.\\
		Donc la propriété $\mathscr P$ est héréditaire.
		\item \textit{\textbf{Conclusion}} : La propriété est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc pour tout entier naturel $n$ on a :
		$$ X_n=A^nX_0$$
		\end{itemize}
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On définit les matrices $P$, $P'$ et $B$ par \begin{small}
$P = \begin{pmatrix}
\frac45&\frac65\\\\-\frac65&\frac65
\end{pmatrix}$, $P'=\begin{pmatrix}
\frac12&-\frac12\\\\\frac12&\frac13
\end{pmatrix}$ 
\end{small}
et 
$B=\begin{pmatrix}
1&0\\0&\frac16
\end{pmatrix}$.
\end{footnotesize}
	\begin{enumerate}
		\item
{\footnotesize Calculer le produit $PP'$. \textbf{On admet que $P'BP=A$}.\\}
$$ PP'=\begin{pmatrix}
\frac45&\frac65\\\\-\frac65&\frac65
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
\frac12&-\frac12\\\\\frac12&\frac13
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{4}{5}\times \frac{1}{2}+\frac{6}{5}\times \frac{1}{2} & -\frac{4}{5}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{6}{5}\times \dfrac{1}{3} \\\\
  -3/5+3/5& +3/5+2/5 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}$$
\begin{footnotesize}
		Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $A^n=P'B^nP$.
		\end{footnotesize}	
		Notons $\mathscr Q(n)$ la propriété définit au rang $n$ par $A^n=P'B^nP$ et montrons la par récurrence.
		\begin{itemize}
		\item \textit{\textbf{Initialisation}} : pour $n=0$ on a d'une part $A^0=I_2$ et d'autre part $P'B^0P=P'P=I_2$ donc la propriété est initialisée à partir de $n=0$.
		\item \textit{\textbf{Hérédité}} : Montrons que si $A^n=P'B^nP$ alors $A^{n+1}=P'B^{n+1}P$. On a :
		$$ A^{n+1}=A^n\times A=P'B^nPP'BP=P'B^nBP=P'B^{n+1}P$$
		Donc la propriété est héréditaire.
		\item \textbf{\textit{Conclusion}} $\mathscr Q$ étant initialisée à partir de $n=0$ et étant héréditaire on a démontré par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ on a :
		$$ A^n=P'B^nP$$
		\end{itemize}
			\item \begin{footnotesize}
			On admet que pour tout entier naturel $n$, $B^n=\begin{pmatrix}
1&0\\0&\left(\frac16\right)^n
\end{pmatrix}$.\\En déduire l'expression de la matrice $A^n$ en fonction de $n$.
			\end{footnotesize}\\
			On a donc pour tout entier naturel $n$ :
			$$A^n=P'B^nP=\begin{pmatrix}
\frac12&-\frac12\\\\\frac12&\frac13
\end{pmatrix}\times 	\begin{pmatrix}
1&0\\0&\left(\frac16\right)^n
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
\frac45&\frac65\\\\-\frac65&\frac65
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac12 & -\frac12\times \left(\frac{1}{6}\right)^n\\\\
\frac12 & \frac13\times \left(\frac{1}{6}\right)^n 
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
\frac45&\frac65\\\\-\frac65&\frac65
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{2}{5}+\frac{3}{5}\times \left(\frac{1}{6}\right)^n & \frac{3}{5}-\frac{3}{5}\times \left(\frac{1}{6}\right)^n\\\\
\frac{2}{5}-\frac{2}{5}\times \left(\frac{1}{6}\right)^n & \frac{3}{5}+\frac{2}{5}\times \left(\frac{1}{6}\right)^n 
\end{pmatrix} $$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \begin{footnotesize}
		Montrer que \begin{small}
		$X_n=\begin{pmatrix}
\frac35-\frac35\left(\frac16\right)^n\\\\
\frac35+\frac25\left(\frac16\right)^n
\end{pmatrix}$
		\end{small} pour tout entier naturel $n$.\\
		\end{footnotesize}
		\\
		Pour tout entier naturel $n$ on a :
		$$ X_n=A^nX_0=\begin{pmatrix}
\frac{2}{5}+\frac{3}{5}\times \left(\frac{1}{6}\right)^n & \frac{3}{5}-\frac{3}{5}\times \left(\frac{1}{6}\right)^n\\\\
\frac{2}{5}-\frac{2}{5}\times \left(\frac{1}{6}\right)^n & \frac{3}{5}+\frac{2}{5}\times \left(\frac{1}{6}\right)^n 
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
0 & 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac35-\frac35\left(\frac16\right)^n\\\\
\frac35+\frac25\left(\frac16\right)^n
\end{pmatrix}$$
\begin{footnotesize}
		En déduire les expressions de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
		\end{footnotesize}	
\\
Immédiatement on en déduit que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_n=\frac35-\frac35\left(\frac16\right)^n \qquad \text{et} \qquad v_n=\frac35+\frac25\left(\frac16\right)^n$$		
			\item {\footnotesize Déterminer alors les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.}
			\\
			Puisque $-1<1/6<1$ on a $\lim\limits_{n\to +\infty}  \frac25\left(\frac16\right)^n=0=\lim\limits_{n\to +\infty}  -\frac35\left(\frac16\right)^n$ d'où :
			$$\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\frac{3}{5}\qquad \text{et} \qquad \lim\limits_{n\to +\infty}  v_n=\frac{3}{5} $$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak
\begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}\\
\begin{footnotesize}
Chaque année, deux villages A et B organisent un concours sportif. Les concurrents tirent au sort un moyen de transport puis doivent relier le village A au village B le plus rapidement possible en utilisant ce moyen de transport et un parcours adapté. Pour le tirage, on utilise une urne contenant 4 jetons indiscernables au toucher. Sur un premier jeton figure la lettre V , sur le second la lettre R, sur le troisième la lettre P et sur le dernier la lettre L.

\end{footnotesize}
\medskip
 
\begin{footnotesize}
 Un concurrent tire au hasard un jeton :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre V, il effectuera le trajet à vélo, 
\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre R, Il effectuera le trajet en roller, 
\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre P, il effectuera le trajet à pied, 
\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisira librement son mode de transport parmi les trois précédents.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On observe que lorsqu'un concurrent tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisit le vélo dans 70\,\% des cas, il choisit le roller dans 20\,\% des cas et il décide de faire le parcours à pied dans 10\,\% des cas.

 \end{footnotesize} 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Construire un arbre pondéré correspondant à la situation.}
 
 
 %:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
\begin{center}
% Racine à Gauche, développement vers la droite
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{feuille}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white,draw]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{2}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(1.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(2.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$ $};
\node[feuille] (Ra) at ({\NiveauB},{(0)*\InterFeuilles}) {$V$};
\node[feuille] (Rb) at ({\NiveauB},{(1)*\InterFeuilles}) {$P$};
\node[feuille] (Rc) at ({\NiveauB},{(2)*\InterFeuilles}) {$R$};
\node[noeud] (Rd) at ({\NiveauB},{(4)*\InterFeuilles}) {$L$};
\node[feuille] (Rda) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$Vélo$};
\node[feuille] (Rdb) at ({\NiveauC},{(4)*\InterFeuilles}) {$Pied$};
\node[feuille] (Rdc) at ({\NiveauC},{(5)*\InterFeuilles}) {$Rolleur$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$1/4$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$1/4$};
\draw[fleche] (R)--(Rc) node[etiquette] {$1/4$};
\draw[fleche] (R)--(Rd) node[etiquette] {$1/4$};
\draw[fleche] (Rd)--(Rda) node[etiquette] {$0.7$};
\draw[fleche] (Rd)--(Rdb) node[etiquette] {$0.1$};
\draw[fleche] (Rd)--(Rdc) node[etiquette] {$0.2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin

\emph{Pour les questions suivantes, on donnera les résultats arrondis au millième.} 


\item {\footnotesize Vérifier que la probabilité qu'un concurrent effectue le trajet en vélo est $0,425$. }

En notant $V$ cet événement on obtient :
$$ p(V)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\times \dfrac{70}{100}=\dfrac{170}{400}=\dfrac{85}{200}=\dfrac{42,5}{100}=0,425$$
\item {\footnotesize Sachant qu'un concurrent a effectué le trajet à vélo, quelle est la probabilité qu'il ait tiré le jeton sur lequel figure la lettre L ? }
$$ p_{V}(L)=\dfrac{p(L\cap V)}{p(V)}=\dfrac{\frac{1}{4}\times \frac{70}{100}}{\frac{170}{400}}=\dfrac{70}{170}=\dfrac{7}{17}$$
\item \begin{footnotesize}
On admet que les résultats des différentes années sont indépendants les uns des autres.
 
L'expérience des années précédentes permet de considérer que la probabilité, pour le vainqueur, d'avoir effectué le trajet à vélo est $\dfrac{2}{3}$. 

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'épreuves remportées par un concurrent \og  cycliste \fg{} lors des six prochaines années.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Quelle loi suit la variable aléatoire $X$ ? En déduire $p(X=2)$.}

On répète $6$ fois la même épreuve de Bernoulli (identique et indépendante) admettant $2/3$ pour probabilité de succès, la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit donc une loi binomiale de paramètres $6$ et $\dfrac{2}{3}$ ce que l'on résume ainsi :
$$ X\hookrightarrow B(6;2/3)$$

$$ p(X=2)=\binom{2}{6}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^2\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^4=15\times \dfrac{4}{3^6}=\dfrac{20}{3^5}=\dfrac{20}{243}$$
\item {\footnotesize Calculer la probabilité qu'au cours des six prochaines années l'épreuve soit remportée au moins une fois par un concurrent \og  cycliste \fg. }

$$ p(X\geq 1)=1-p(X=0)=1-\dfrac{1}{3^6}=\dfrac{3^6-1}{3^6}=\dfrac{728}{729}$$
\item {\footnotesize Calculer $E(X)$, interpréter.}

Puisque $X\hookrightarrow B(6;2/3)$ on a $E(X)=6\times \dfrac{2}{3}=4$. 

Si l'on répète un grand nombre de fois ces $6$ épreuves de Bernoulli on peut espérer observer une moyenne de $4$ succès cyclistes (pour $6$ épreuve donc).
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}


\end{exoi}

\pagebreak
\begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}\\\begin{footnotesize}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - x}.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal \Oij donné en annexe.

\vspace{0,5cm}

\partieBac{Restitution Organisée de Connaissances} 
\emph{On suppose connus les résultats suivants :
\begin{itemize}
\item[\textit{Propriété 1 :}] Soit $x_0\in \R$, si pour tout réel $x\geq x_0$ on a $ h(x)\leq k(x)$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)=+\infty$ alors $\lim\limits_{x\to +\infty} k(x)=+\infty$.
\item[\textit{Propriété 2 :}] $x\longmapsto e^x$ est l'unique fonction égale à sa dérivée qui vaut $1$ en $0$ c'est-à-dire $(e^x)'=e^x$ et $e^0=1$.
\item[\textit{Propriété 3 :}] La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$.
\end{itemize}}
\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^x- x - 1$.

\end{footnotesize}
\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Étudier les variations de la fonction $g$ sur 
$\R$. En déduire le signe de $g$.
\end{footnotesize}

$g$ est la somme de deux fonctions dérivables sur $\R$ donc est dérivable sur $\R$ et pour tout $x\in \R$ on a :
$$ g'(x)=e^x-1$$

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ donc pour tout réel $x>0$ on a $e^x>e^0\Longleftrightarrow e^x>1\Longleftrightarrow e^x-1>0\Longleftrightarrow g'(x)>0$.

On en déduit que $g$ est strictement croissante sur $\R^{+*}$ et que $g$ est strictement décroissante sur $\R^{-*}$. 
\item {\footnotesize Justifier que pour tout $x,~ \left(\text{e}^x -x\right)$ est strictement positif.}

Des variations de la fonction $g$ on déduit que $g$ admet un minium atteint pour $x=0$ qui vaut :
$$ g(0)=e^0-0-1=1-1=0$$

Par conséquent pour tout réel $x$ on a :
$$ g(x)\geq 0\Longleftrightarrow e^x-x-1\geq 0\Longleftrightarrow e^x-x\geq 1\Longrightarrow e^x-x>0$$
\item {\footnotesize En déduire que $\lim\limits_{x\to +\infty} e^x=+\infty$.}

On a pour tout réel $x$ :
$$ e^x-x>0\Longleftrightarrow e^x>x$$

Par comparaison, de $\lim\limits_{x\to +\infty} x=+\infty$ on tire :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\partieBac{Etude de la fonction $f$.}
\medskip

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item \begin{footnotesize}
	 	 Calculer les limites de 
la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
	 	 \end{footnotesize}
	 	 En $+\infty$ nous avons besoin de modifier l'écriture de $f(x)$ pour calculer sa limite, et pour tout $x\neq 0$ on a :
	 	 $$ f(x)=\dfrac{x}{x\left(\dfrac{e^x}{x}-1\right)}=\dfrac{1}{\frac{e^x}{x}-1}$$
	 	 D'après le cours on sait que $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty$, par conséquent $ \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{e^x}{x}-1=+\infty$.
	 	 
	 	 Puisque $\lim\limits_{X\to +\infty} \dfrac{1}{X}=0$ on conclut par composition que :
	 	 $$ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$$
	 	 
	 	 En $-\infty$ on a $\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{e^x}{x}=0$ donc 
	 	 $\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{e^x}{x}-1=-1$ et on conclut par quotient que  :
	 	 $$ \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-1$$
		\item {\footnotesize Interpréter graphiquement les résultats précédents.}
		
		Puisque $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$, $\mathscr C$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=0$ en $+\infty$ (il s'agit de l'axe des abscisses) et puisque $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-1$, $\mathscr C$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=-1$ en $-\infty$
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Calculer $f'(x),\: f'$ désignant la fonction dérivée de $f$.}
		
		$f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ on a :
		$$ f'(x)=\dfrac{e^x-x-x(e^x-1)}{(e^x-x)^2}=\dfrac{e^x-x-xe^x+x}{(e^x-x)^2}=\dfrac{e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}$$
		\item {\footnotesize Étudier le sens de variations de $f$ puis dresser son tableau de variations.}
		
		$f'(x)$ est du signe de $1-x$ puisque $e^x>0$ et $(e^x-x)^2>0$ pour tout réel $x$.
		
		On en déduit immédiatement que :
		
		%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$1$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$f'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-1$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$1/(e-1)$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$0$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin

%:>>>>> code du tableau à ré-injecter
%[
%	["x", "f'(x)", "f(x)"],
%	["-\\infty", "", "+", "-1"],
%	["1", "0", "-", "1/(e-1)"],
%	["+\\infty", "", "?", "0"]
%]

	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate} 
	 	\item {\footnotesize Déterminer une équation de la tangente $T$  à la courbe $\mathcal{C}$  au point d'abscisse $0$.}
	 	
	 	Cette équation est du type 
	 	$$ y=f'(0)(x-0)+f(0)\Longleftrightarrow y=f'(0)x+f(0)$$
	 	
	 	Or, $f'(0)=\dfrac{e^0}{(e^0-0)^2}=\dfrac{1}{1}=1$ et $f(0)=\dfrac{0}{e^0-0}=0$ d'où l'équation de $T$ :
	 	$$ T: y=x$$
		\item \begin{enumerate}
		\item \begin{footnotesize}
		Montrer que pour tout réel $x$ on a :
		 $$f(x)-x=-\dfrac{xg(x)}{e^x-x}$$
		\end{footnotesize}
		
		Pour tout réel $x$ on a :
		$$ f(x)-x=\dfrac{x}{e^x-x}-x=\dfrac{x-x(e^x-x)}{e^x-x}=\dfrac{x-xe^x+x^2}{e^x-x}=\dfrac{-x(-1+e^x-x)}{e^x-x}=-\dfrac{xg(x)}{e^x-x}$$
		 \item {\footnotesize En déduire le signe de $f(x)-x$ en fonction de $x$ puis en déduire le position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $T$.}
		 
		 Etablissons le tableau de signe de $f(x)-x$, qui est du signe de $-xg(x)$ puisque $e^x-x>0, \forall x\in \R$ d'où :
		 
		 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{-x}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{g(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)-x}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$

On a donc $f(x)-x>0$ pour $x<0$ c'est-à-dire $ f(x)>x$ pour $x<0$. On en déduit que sur $]-\infty;0[$ $\mathscr C$ est au dessus de $T$. Les deux courbes s'intersectent au point d'abscisse $0$ (normal pour la tangente...) et sur $]0;+\infty[$ la tangente $T$ est au dessus de $\mathscr C$.

		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\item {\footnotesize Tracer la droite $T$ et les asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$ sur le graphique donné en annexe.}

\begin{center}

\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.1,-2.23)(3.05,1.87)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.1,-2.23)(3.05,1.87)
\psplot[linecolor=red]{-2.1}{3.05}{(-0--1*x)/1}
\psplot[linecolor=qqzzqq]{-2.1}{3.05}{(-1-0*x)/1}
\rput[tl](1.02,1){$\red{T}$}
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{-2.1044444444444457}{3.0511111111111155}{x/(2.718281828^(x)-x)}
\rput[tl](2.09,0.64){$\qqqqcc{\mathscr C}$}
\psplot[linecolor=qqzzqq]{-2.1}{3.05}{(-0-0*x)/1}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}


\end{exoi}
		

%\newpage
%		
%\begin{center}
%\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}
%	\end{center}	
%	
%	
%\bigskip
%
%\textbf{ANNEXE (exercice 2)}
%
%\begin{center}
%%\includegraphics[scale=1]{graph2.eps}
%\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
%\hline
%$k$ & $w$ & $u$ & $v$ \\
%\hline
%1& & & \\
%\hline
%2& & & \\
%\hline
%\end{tabular}
%
%\end{center}
%
%\textbf{ANNEXE (exercice 4)}
%
%
%\bigskip
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=1]{graph1.eps} \end{center}


\end{document}