\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction Bac Blanc 1}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Expo - Proba - Suites - Espace - Arithmétique}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{Tout élève traitera  au moins un exercice.}

\begin{exoi}
\partieBac{ROC}
\begin{enumerate}
\item $g$ est dérivable sur $\R$ comme somme de deux fonctions dérivables sur $\R$ et pour tout réel $x$ on a :
$$ g'(x)=e^x-x$$
Puisque $e^x>x$ on en déduit que $g'(x)>0$ (ce qui est plus fort que $g'(x)\geq 0$).
\item $g'>0$ donc $g$ est une fonction croissante sur $\R$, en particulier pour tout réel $x>0$ on a :
$$ g(x)>g(0)=e^0-0/2=1\Longrightarrow g(x)>0\Longrightarrow e^x>\dfrac{x^2}{2}$$
ce qui en divisant par $x>0$ implique :
$$ \dfrac{e^x}{x}>\dfrac{x}{2}$$
Enfin $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{2}=+\infty$ donc par comparaison :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty$$
\item On a $$\lim\limits_{X\to +\infty} \dfrac{e^X}{X}=+\infty\Longleftrightarrow \lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{e^{-x}}{-x}=+\infty \Longleftrightarrow \lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{1}{-xe^x}=+\infty\Longleftrightarrow \lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{1}{xe^x}=-\infty$$
ce qui permet de conclure que :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} xe^x=0$$
\end{enumerate}
\partieBac{Etude d'une première fonction}
\begin{enumerate}
\item Sur $[0;+\infty[$, $x\geq 0$ évidemment et $\dfrac{1}{4}e^{-\frac{x}{2}}>0$ puisque pour tout réel $X$ on sait que $e^X>0$. Par produit on en déduit que :
$$ f(x)\geq 0 \qquad \forall x\geq 0$$
\item On a $f(x)=\dfrac{1}{4}xe^{-\frac{x}{2}}=-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{2}xe^{-\frac{x}{2}}\right)$. En posant $X=-\dfrac{x}{2}$ on trouve que $$ f(X)=-\dfrac{1}{2}Xe^X$$
Lorsque $x\to +\infty$ alors $X\to -\infty$ et d'après le $3.$ de la partie $A$ on a :
$$ \lim\limits_{X\to -\infty}Xe^X=0\Longrightarrow \lim\limits_{X\to -\infty} -\dfrac{1}{2}Xe^X=0\Longrightarrow \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$$
On en déduit l'existence d'une asymptote horizontale à $\mathscr C$ en $+\infty$.
\item Sur $[0;+\infty[$ $f$ est une fonction fort sympathique et parfaitement dérivable et de dérivée :
\\
Rq : On utilise la dérivée du produit $(uv)'=u'v+uv'$ et $(e^u)'=u'e^u$. En particulier $\left(e^{\frac{-x}{2}}\right)'=-\dfrac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}$
$$ f'(x)=\dfrac{1}{4}\left(e^{-\frac{x}{2}}-\dfrac{1}{2} xe^{-\frac{x}{2}}\right)=\dfrac{1}{4}e^{-\dfrac{x}{2}}\left(1-\dfrac{1}{2}x\right)$$
Cette dérivée est du signe de $1-\dfrac{1}{2}x$ puisque $\dfrac{1}{4}e^{-\dfrac{x}{2}}>0$. Enfin $1-\dfrac{1}{2}x>0\Longleftrightarrow x<2$ d'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f(x)}&\txb{0}&\fm&\txh{0,5e^{-1}}&\fd&\txb{0}\cr
}$$
\end{enumerate}
\partieBac{Etude d'une deuxième fonction}
\begin{enumerate}
\item $F$ étant la somme et la composée de fonctions élémentaires toutes parfaitement dérivable sur $\R$ elle l'est par force dérivable sur $\R$, et plus particulièrement sur $[0;+\infty[$. De plus :
$$ F'(x)=0+\dfrac{1}{2}e^{\frac{-x}{2}}-\left(\dfrac{1}{2}e^{\frac{-x}{2}}-\dfrac{x}{4}e^{-\frac{-x}{2}}\right)=\dfrac{1}{2}e^{\frac{-x}{2}}-\dfrac{1}{2}e^{\frac{-x}{2}}+\dfrac{x}{4}e^{-\frac{-x}{2}}=\dfrac{x}{4}e^{-\frac{-x}{2}}=f(x)$$
\item Dans un premier temps $\lim\limits_{x\to +\infty} 1-e^{\frac{-x}{2}}=1$ puis en posant $X=-\dfrac{x}{2}$ on a :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} -\dfrac{x}{2}e^{-\frac{-x}{2}}=\lim\limits_{X\to -\infty} Xe^{X}=0$$
Par somme on obtient :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} F(x)=1$$
On sait d'après la partie $B$ que $f(x)\geq 0$ sur $\R^+$ donc $F'(x)\geq 0$ sur $\R^+$ ce qui donne :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f(x)}&&\tx{+}&\cr
\tx{F(x)}&\txb{0}&\fm&\txh{1}\cr
}$$
\item $F$ est une fonction strictement croissante sur $\R^+$ et continue (puisque dérivable) sur ce même intervalle à valeurs dans l'intervalle $[0;1[$. Puisque $0,5\in [0;1[$, on en déduit d'après un corollaire souvent utilisé du TVI que l'équation $F(x)=0,5$ admet une unique solution $\alpha$ qui vaut  environ :
$$ \alpha \simeq 3,36$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
\partieBac{expérience 1}
\begin{enumerate}
\item Le vaillant lecteur pourra s'aider d'un arbre qu'il effectuera luri-même pour mieux comprendre ce corrigé.
Notons $B$ l'événement :\og le cube tirée est bleu\fg{} et $L$ l'événement \og le cube tiré est marqué d'un losange \fg{}. On a alors :
$$ p(L)=p(L\cap B)+p(L\cap \overline{B})=0,6\times 0,2+0,4\times x=0,12+0,4x$$
\item La probabilité que le cube tiré soit marqué d'une étoile est :
$$ 0,6\times 0,4+0,4\times (1-0,2-x)=0,24+0,32-0,4x=0,56-0,4x$$
On cherche $x$ pour que :
$$ 0,56-0,4x=0,12+0,4x\Longleftrightarrow 0,8x=0,44\Longleftrightarrow x=\dfrac{44}{80}=\dfrac{22}{40}=\dfrac{11}{20}$$
\item On a $p(B)=0,6$ et $p(L)=0,12+0,4x$ puis $p(B\cap L)=0,12$.
\\
$B$ et $L$ sont indépendants si et seulement si on a $p(B\cap L)=p(B)\times p(L)$ ce qui donne :
$$ 0,12=0,6(0,12+0,4x) \Longleftrightarrow 0,2=0,12+0,4x\Longleftrightarrow x=\dfrac{0,08}{0,4}=0,2$$
\item On cherche $p_L(B)$ qui vaut :
$$ p_L(B)=\dfrac{p(B\cap L)}{p(L)}=\dfrac{0,12}{0,12+0,4\times 0,5}=\dfrac{0,12}{0,32}=\dfrac{12}{32}=\dfrac{3}{8}$$
\end{enumerate}
\partieBac{expérience 2}
\begin{enumerate}
\item On effectue $3$ tirages identiques et indépendants. $X$ compte le nombre de cubes rouges parmi les $3$ cubes obtenus, or $p(\overline{B})=0,4$, donc $X$ suit une loi binomiale de paramètre $3$ et $0,4$.
\item Sans utiliser la formule de la loi binomiale, en imaginant simplement l'arbre on obtient $$p(X=1)=3\times 0,4\times 0,6^2$$
\item $$ p(X\geq 1)=1-p(X=0)=1-0,6^3$$
\item $$ p(X=0)+p(X=3)=0,6^3+0,4^3$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
\partieBac{}
\begin{enumerate}
\item $M(x;y;z)\in (IJ)\Longleftrightarrow \exists t\in \R, \overrightarrow{IM}=t \overrightarrow{IJ}$. Or, $\overrightarrow{IJ}\left(-1;\dfrac{1}{3};1\right)$ d'où :
$$ \left\{ \begin{array}{l} x-1=-t \\y-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}t\\ z=t  \end{array} \right.\qquad t\in \R \Longleftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=-t+1 \\y=\dfrac{1}{3}t+\dfrac{1}{3}\\ z=t  \end{array} \right.\qquad t\in \R$$
\item Un vecteur directeur de $(KL)$ est $\overrightarrow{KL}\left(a-\dfrac{3}{4};1;-1\right)$ et le point de coordonnée $\left(\dfrac{3}{4};0;1\right)$ est le point $K$ donc un point de $(KL)$ par conséquent immédiatement (d'après le cours bien sûr) on trouve que la droite $(KL)$ admet pour représentation paramétrique :
$$ \left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{3}{4}+t'\left(a-\dfrac{3}{4}\right) \\y-=t'\\ z=1-t'  \end{array} \right.\qquad t'\in \R$$
\item Premièrement les vecteurs $\overrightarrow{KL}\left(a-\dfrac{3}{4};1;-1\right)$ et $\overrightarrow{IJ}\left(-1;\dfrac{1}{3};1\right)$ ne sont pas colinéaires, en effet pour passer de l'ordonnée du premier à l'ordonnée du deuxième on multiplie par $\dfrac{1}{3}$ et on multiplie par $-1$ pour passer des côtes de l'un au côte de l'autre. Par conséquent les droites $(IJ)$ et $(KL)$ sont sécantes ou non coplanaires, par conséquent le système suivant :
$$ \left\{ \begin{array}{l} -t+1=\dfrac{3}{4}+t'\left(a-\dfrac{3}{4}\right) \\\dfrac{1}{3}t+\dfrac{1}{3}=t'\\ t=1-t'  \end{array} \right. $$
admet exactement un couple solution (dans le cas où les droites sont sécantes) ou aucune solution dans le cas où les droites ne sont pas coplanaires. On résout les deux dernières équations :
$$  \left\{ \begin{array}{l}  \dfrac{1}{3}t+\dfrac{1}{3}=t'\\ t=1-t'  \end{array} \right.\Longleftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} t+1=3t'\\t=1-t' \end{array} \right. \Longleftrightarrow   \left\{ \begin{array}{l} 1-t'-3t'=-1\\t=1-t' \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t'=0,5\\t=0,5 \end{array} \right.$$
Les droites sont sécantes si et seulement si le système admet une unique solution si et seulement si $t=t'=0,5$. Ainsi on trouve :
$$ \dfrac{3}{4}+0,5\left(a-\dfrac{3}{4}\right)=-0,5+1\Longleftrightarrow 0,5a-3/8=-0,25\Longleftrightarrow a-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow a=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}$$
Par conséquent les droites sont sécantes si et seulement si $a=\dfrac{1}{4}$.
\end{enumerate}
\partieBac{}
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{IL}\left(-\dfrac{3}{4};\dfrac{2}{3};0\right)$ et $\overrightarrow{KJ}\left(-\dfrac{3}{4};\dfrac{2}{3};0\right)$ donc $$\overrightarrow{IL}=\overrightarrow{KJ}\Longleftrightarrow IKJL \text{ est un parallélogramme}$$
\item 
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.05,-0.73)(4.48,4.86)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.25,3.25)(3,4)(4,2.2)(3.75,0.75)(1,0)(0,1.8)
\psline(3,0)(4,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](4,1)(1,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1,1)(0,0)
\psline(0,0)(3,0)
\psline(0,0)(0,3)
\psline(0,3)(1,4)
\psline(1,4)(4,4)
\psline(3,3)(4,4)
\psline(4,4)(4,1)
\psline(3,0)(3,3)
\psline(3,3)(0,3)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1,1)(1,4)
\psline(0.25,3.25)(3,4)
\psplot{-1.05}{3}{(-8.75-0.75*x)/-2.75}
\psplot{-1.05}{3}{(-9-0*x)/-3}
\psline(-0.67,3)(1,0)
\psline(0.25,3.25)(0,1.8)
\psplot{-1.05}{4.48}{(-2.66--2.66*x)/9.76}
\psplot{-1.05}{4.48}{(--37.28-10.3*x)/-1.78}
\psline(4,2.2)(3,4)
\psline[linecolor=zzttqq](0.25,3.25)(3,4)
\psline[linecolor=zzttqq](3,4)(4,2.2)
\psline[linecolor=zzttqq](4,2.2)(3.75,0.75)
\psline[linecolor=zzttqq](3.75,0.75)(1,0)
\psline[linecolor=zzttqq](1,0)(0,1.8)
\psline[linecolor=zzttqq](0,1.8)(0.25,3.25)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,1)
\rput[bl](1.06,1.04){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4,1)
\rput[bl](4.07,1.04){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](0.07,0.03){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3,0)
\rput[bl](3.07,0.03){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,3)
\rput[bl](0.07,3.03){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3,3)
\rput[bl](3.07,3.03){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4,4)
\rput[bl](4.07,4.03){$H$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,4)
\rput[bl](1.06,4.03){$E$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.25,3.25)
\rput[bl](0.31,3.35){\darkgray{$K$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1,0)
\rput[bl](1.06,0.09){\darkgray{$I$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,4)
\rput[bl](3.07,4.09){\darkgray{$J$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.67,3)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,1.8)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3.75,0.75)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](4,2.2)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$n$ & $a$ & $b$ & $u$ &$v$\\\hline
$0$ & $4$ & $9$ & $4$& $9$ \\ \hline
$1$ &    $ 6,5$    &    $ \simeq 6,964$     & $6,5$ & $\sqrt{97/2}\simeq 6,964 $\\ \hline
$2$ &     $\simeq 6,732$   &   $\simeq 6,736$   & $\simeq 6,734$ & $\simeq 6,734$ \\ \hline
\end{tabular}
\item 
\begin{enumerate}
\item Notons $\mathscr P(n)$ la propriété : $u_n>0$ et $v_n>0$ :
\begin{itemize}
\item \textit{\textbf{Initialisation}} : $u_0=a>0$ et $v_0=b>0$.
donc la propriété $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons l'implication :
$$ u_n>0\quad \text{et} \quad v_n>0\Longrightarrow u_{n+1}>0\quad \text{et} \quad v_{n+1}>0$$
$u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}$ et puisqu'on suppose $u_n>0$ et $v_n>0$, à l'évidence on a :
$$ u_{n+1}>0$$
De plus $u_n^2>0$ et $v_n^2>0$ donc $\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}>0$ et donc $v_{n+1}>0$.
\\
La propriété $\mathscr P$ est héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc pour tout entier naturel $n$ on a $u_n>0$ et $v_n>0$.
\end{itemize}
\item Pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ v_{n+1}^2-u_{n+1}^2=\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}-\left(\dfrac{u_n+v_n}{2}\right)^2=\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}-\dfrac{u_n^2+v_n^2+2u_nv_n}{4}=\dfrac{2u_n^2+2v_n^2-u_n^2-v_n^2-2u_nv_n}{4}=\dfrac{u_n^2+v_n^2-2u_nv_n}{4}$$
ce qui donne enfin :
$$ v_{n+1}^2-u_{n+1}^2=\left(\dfrac{u_n-v_n}{2}\right)^2$$
On en déduit que $$v_{n+1}^2-u_{n+1}^2\geq 0 \Longrightarrow v_{n+1}^2\geq u_{n+1}^2$$
et puisque les deux suites sont positives on en déduit que  :
$$ v_{n+1}\geq u_{n+1}$$
et ceci pour tout entier naturel $n$, de plus $v_0=b>u_0=a$ donc pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_n\leq v_n$$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n+v_n}{2}-u_n=\dfrac{v_n-u_n}{2}$$
or, $v_n\geq u_n\Longleftrightarrow v_n-u_n\geq 0$ on en conclut donc que :
$$ u_{n+1}-u_n\geq 0\Longleftrightarrow u_{n+1}\geq u_n$$
La suite $(u_n)$ est donc croissante.
\item Pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ v_{n+1}^2-v_n^2=\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}-v_n^2=\dfrac{u_n^2-v_n^2}{2}$$
Enfin puisque $u_n\leq v_n$ on a $u_n^2\leq v_n^2$ par conséquent :
$$ v_{n+1}^2-v_n^2\leq 0 \Longleftrightarrow v_{n+1}^2\leq v_n^2$$
Et comme $v_n>0$ quelque soit l'entier $n$ on en déduit que :
$$ v_{n+1}\leq v_n$$
ce qui prouve que $(v_n)$ est une suite décroissante.
\end{enumerate}
\item $(v_n)$ est une suite décroissante et minorée par $0$ donc $(v_n)$ converge.
\\
De plus pour tout entier naturel $n$ $v_n<v_0$ et donc $u_n\leq v_n<v_0$, par conséquent $(u_n)$ est majorée par $v_0$ c'est-à-dire par $b$ en plus d'être une suite croissante donc $(u_n)$ converge.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item $N_1=11\times 12^2+1\times 12+10=1606$, $N_1$ s'écrit en base $10$ : $$ 1606$$
\item  \begin{enumerate}
\item  Pour $a=7$, $b=10$ et $c=3$ on a :
$$ 144\times 7+12\times 10+3=1131$$
\item Par conséquent $N_2=\overline{7\alpha3}^{12}$ 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item $$ N=a_n12^n+a_{n-1}12^{n-1}+\dots+a_1 \times 12+a_0$$
Puisque $3|12$, $3|12^n$ pour tout entier naturel $n$ non nul et donc 
$$ N-a_0=12\left(a_n12^{n-1}+\dots+ a_1\right)=3\times 4\left(a_n12^{n-1}+\dots+ a_1\right)$$
$N-a_0$ est donc un multiple de $3$ donc :
$$N-a_0 \equiv 0[3]\Longrightarrow N\equiv a_0[3] $$
$N$ est divisible par $3$ si et seulement si il se termine par $0$, $3$, $6$ ou $9$.
\item $N_2$ se termine par $c=3$ en base $12$ donc $N_2$ est divisble par $3$. Effectivement $1+1+3+1=6=3\times 2$ confirme bien que $1131$ est un multiple de $3$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item $$ 12\equiv 1[11]\Longrightarrow 12^n\equiv 1^n[11]$$
Par conséquent pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ a_n12^n\equiv a_n[11]$$
Et donc :
$$ N\equiv a_n+\dots +a_1+a_0[11]$$
Un nombre en base $12$ est divisible par $11$ si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de $11$.
\item  La somme des chiffres de $N_1$ est $11+1+10=22=2\times 11$ donc $N_1$ est divisible par $11$. On a vu que $N_1=1606$ et $1606=11\times 146$, confirmation que $N_1$ est un multiple de $11$.
\end{enumerate}
\item $N$ est divisble par $3$ si $y=0$ ou $y=3$ ou $y=6$ ou $y=9$.
\\
Si de plus il est divisble par $11$ alors $x+4+y$ est un multiple de $11$.
\\
Dans le cas où $y=0$ il faut que $x+4$ soit un multiple de $11$, possible si $x=7$.
\\
Dans le cas où $y=3$ il faut que $x+7$ soit un multiple de $11$, possible si $x=4$.
\\
Dans le cas où $y=6$ il faut que $x+10$ soit un multiple de $11$, possible si $x=1$.
\\
Dans le cas où $y=9$ il faut que $x+13$ soit un multiple de $11$, possible si $x=9$. Ainsi l'ensemble de toutes les solutions est le suivant :
$$ \mathscr S=\{\overline{740}^{12};\overline{443}^{12}; \overline{146}^{12}; \overline{949}^{12}\}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}
\end{document}
