\title{
\Huge \vspace{-2cm} \textsc{
Baccalaur\'eat Scientifique $2014$
\\\medskip
\Large Sujet et corrig\'e de l'\'epreuve de Math\'ematiques - M\'etropole
} \\
%\vspace{3mm} \textbf{\Large 5 exercices \small(enoncé et corrigé)}
}

\input macrodebut.tex
\begin{document}

\begin{tikzpicture}[every node/.style={inner sep=0pt}]   
\node[text width= \linewidth-2cm](Text){%
~ 
\bigskip\\
{\LARGE Session 2014}  \hfill {\large  Lycée Jean Durand} \\
~ \bigskip \\
 \centerline{\LARGE \normalfont Sujet et corrig\'e de l'\'epreuve de Math\'ematiques - M\'etropole }
} ;
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\end{tikzpicture}


\section*{Fonctions - Suites d'intégrales}


%\subsection*{\'Enoncé}

\begin{exo}

\textbf{Partie A} 

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par  $\mathcal{C}_1$ la courbe représentative de la fonction $f_1$  définie sur $\R$ par : 

\[f_1(x) = x +  \text{e}^{-x}.\]


\begin{enumerate}
\item  Justifier que $\mathcal{C}_1$ passe par le point A de coordonnées (0~;~1). 
\item  Déterminer le tableau de variation de la fonction $f_1$. On précisera les limites de $f_1$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L’objet de cette partie est d'étudier la suite $\left(I_n\right)$ définie sur $\N$ par : 

\[I_n = \int_0^1 \left(x + \text{e}^{- nx}\right)\:\text{d}x.\] 


\begin{enumerate}
\item  Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(0; \vec{i},\vec{j})$ , pour tout entier naturel $n$, on note 
$\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n $ définie sur $\R$ par 

\[f_n(x) = x + \text{e}^{- nx}. \]

Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe  $\mathcal{C}_n$ pour plusieurs valeurs de l'entier $n$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $x = 1$. 

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{courbe1.eps}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement l'intégrale $I_{n}$. 
		\item En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de   variation de la suite $\left(I_n\right)$ et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie   pour conjecturer. 
	\end{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, 

 
\[I_{n+1} - I_{n} = \int_{0}^1 \text{e}^{-(n + 1)x} \left(1 - \text{e}^{x}\right)\:\text{d}x.\] 
 

En déduire le signe de $I_{n+1} - I_{n}$ puis démontrer que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente. 
\item Déterminer l'expression de $I_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $\left(I_n\right)$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

%\subsection*{Correction}
\begin{sol}
\\
\textbf{Partie A}\\
\begin{enumerate}
\item $f_1(0)=0+e^{-0}=0+1=1$ donc le point de coordonnées $(0;1)$ appartient à $\mathscr C_1$.
\item Pour tout $x\in \R$ on a :
$$ f'_1(x)=1-e^{-x}$$
Or, $1-e^{-x}>0\Longleftrightarrow 1>e^{-x}\Longleftrightarrow \ln 1>\ln e^{-x}\Longleftrightarrow 0>-x \Longleftrightarrow x>0$.

Ainsi $f'_1(x)>0$ si et seulement si $x>0$ d'où :

\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'_1(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f_1(x)}&&\fd&\txb{1}&\fm&\cr
}$$

De plus :
 
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} e^{-x}=0 \Longrightarrow \lim\limits_{x\to +\infty} x+e^{-x}=+\infty$$

Enfin, $ f_1(x)=x+e^{-x}=x+\dfrac{1}{e^x}=\dfrac{x e^x+1}{e^x}$. Or, d'après le cours $\lim\limits_{x\to -\infty} xe^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} e^x=0^+$ d'où :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} f_1(x)=\lim\limits_{X\to 0^+} \dfrac{1}{X}=+\infty $$
\end{enumerate}

\textbf{Partie B} \\

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Comme $f_n(x)\geq 0$ sur l'intervalle $[0;1]$, $I_n$ désigne l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr C_n$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
\item Compte tenu du fait qu'il semble que $\mathscr C_{n+1}$ soit au dessous de $\mathscr C_n$ sur $[0;1]$ il suit que la suite $(I_n)_{n\geq 0}$ semble décroissante ; de plus puisque $f_n(x)=x+e^{-nx}\geq x$ il suit que :
$$ I_n\geq \int_0^1 x dx=\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1=\dfrac{1}{2}-0=\dfrac{1}{2}$$

La suite $(I_n)$ est donc minorée par $\dfrac{1}{2}$ puis semble décroissante, on peut donc conjecturer qu'elle est convergente vers un réel supérieur à $\dfrac{1}{2}$

\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $n\geq 1$ on a :

\[I_{n+1}-I_n=\int_0^1 \left(x+e^{-(n+1)x}\right)dx-\int_0^1 \left(x+e^{-nx}\right)dx=\int_0^1 \left(x+e^{-(n+1)x}\right)-\left(x+e^{-nx}\right) dx=\int_0^1e^{-(n+1)x}-e^{-nx} dx \]

Enfin on a $e^{-(n+1)x}\left(1-e^{x}\right)=e^{-(n+1)x}-e^{-(n+1)x+x}=e^{-(n+1)x}-e^{-nx-x+x}=e^{-(n+1)x}-e^{-nx}$ et donc, pour tout $n\geq 1$ il suit que :

\[I_{n+1}-I_n=\int_0^1 e^{-(n+1)x}\left(1-e^{x}\right) dx\]

De plus pour tout réel $x\in [0;1]$ et pour tout $n\geq 1$ on a $e^{-(n+1)x}>0$ donc $ $ est du signe de $1-e^{x}$.\\

Or, $0\leq x\leq 1\Longleftrightarrow e^0\leq e^x\leq e \Longleftrightarrow 1\leq e^x\leq e \Longleftrightarrow -e\leq -e^x\leq -1 \Longleftrightarrow 1-e\leq 1-e^x\leq 0$.

On vient donc de démontrer que, pour $x\in [0;1]$ et pour $n\geq 1$ :
$$ 1-e^x\leq 0 \Longrightarrow e^{-(n+1)x}\left(1-e^{x}\right) \leq 0\Longrightarrow \int_0^1 e^{-(n+1)x}\left(1-e^{x}\right) dx \leq 0 \Longrightarrow I_{n+1}-I_n\leq 0 \Longrightarrow I_{n+1}\leq I_n$$

La suite $(I_n)_{n\geq 0}$ est donc décroissante. On a déjà prouver qu'elle était minorée par $\dfrac{1}{2}$ ainsi il suit que la suite $(I_n)_{n\geq 0}$ est convergente vers un réel $\ell\geq \dfrac{1}{2}$.

\item Pour $n\geq 1$ : \[I_n=\int_0^1 \left(x+e^{-nx}\right)dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{n}e^{-nx}\right]_0^1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n}e^{-n}-\left(0-\dfrac{1}{n}e^0\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n}e^{-n}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{n}\left(1-e^{-n}\right)\]

Puis il suit que $\lim\limits_{n\to +\infty} e^{-n}=0 \Longrightarrow \lim\limits_{n\to +\infty]} 1-e^{-n}=1$ et comme $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$ on en déduit que :

\[\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{n}\left(1-e^{-n}\right)=\dfrac{1}{2}+0\times 1=\dfrac{1}{2}\]
\end{enumerate}
\end{sol}
\pagebreak

\section*{Probabilité (conditionnelle et loi normale)}


%\subsection*{\'Enoncé}

\begin{exo}
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment. 

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip 

Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes : 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item la probabilité qu'une personne malade présente un test positif est $0,99$ ;
\item la probabilité qu'une personne saine présente un test positif est $0,001$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour une maladie qui vient d'apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d'estimer que le pourcentage de personnes malades parmi la population d'une métropole est égal à 0,1\,\%. On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test. 

On note $M$ l'évènement \og la personne choisie est malade\fg{} et $T$ l'évènement \og le test est positif \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire l'énoncé sous la forme d'un arbre pondéré. 
		\item Démontrer que la probabilité $p(T)$ de l'évènement $T$ est égale à $1,989 \times 10^{-3}$. 
		\item L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse. 

Affirmation : \og Si le test est positif, il y a moins d'une chance sur deux que la personne soit malade \fg.
	\end{enumerate} 
\item Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la probabilité qu'une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à $0,95$. On désigne par $x$ la proportion de personnes atteintes d'une certaine maladie dans la population. 

À partir de quelle valeur de $x$ le laboratoire commercialise-t-il le test correspondant ? 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
La chaine de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé  
d'un médicament.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 890 et 920 mg. On admet que la masse en milligrammes d'un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu,~\sigma^2\right)$, de moyenne $\mu = 900$ et d'écart-type $\sigma = 7$.   
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à $10^{-2}$. 
		\item Déterminer l'entier positif $h$ tel que $P(900 - h \leqslant  X \leqslant  900 + h) \approx  0,99$ à $10^{-3}$ près. 
	\end{enumerate}
\item La chaine de production a été réglée dans le but d'obtenir au moins $97\%$ de comprimés conformes. Afin d'évaluer l'efficacité des réglages, on effectue un contrôle en prélevant un échantillon de {1000}~comprimés dans la production. La taille de la production est supposée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à {1000}~tirages successifs avec remise. 

Le contrôle effectué a permis de dénombrer $53$~comprimés non conformes sur l'échantillon prélevé. 

Ce contrôle remet-il en question les réglages faits par le laboratoire ? On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%. 
\end{enumerate}

\end{exo}
%\subsection*{Correction}
\begin{sol}

\textbf{Partie A} \\

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item \includegraphics[scale=1]{arbre1.eps}

\item \[p(T)=p(M)\times p_M(T)+p(\overline{M})\times p_{\overline{M}}(T)=0,001\times 0,99+0,999\times 0,001=0,001989\]
\item \[p_T(M)=\dfrac{p(M\cap T)}{p(T)}=\dfrac{0,001\times 0,99}{0,001989}\simeq 0,498\]
En effet si le test est positif, il y a un peu moins d'une chance sur deux que la personne soit malade.
\end{enumerate}
\item 

On cherche $x$ tel que $p_T(M)\geq 0,95$ sachant que $p(M)=x$ ; pour cela utilisons l'arbre suivant :

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{arbre2.eps}
\end{center}

Puis on obtient :

\[p_T(M)\geq 0,95\Longleftrightarrow \dfrac{p(M\cap T)}{p(T)}\geq 0,95  \Longleftrightarrow \dfrac{0,99x}{0,99x+(1-x)\times 0,001}\geq 0,95 \Longleftrightarrow\dfrac{0,99x}{0,989x+0,001}\geq 0,95 \]

ce qui équivaut à :

\[ 0,99x\geq 0,95\times (0,989x +0,001) \Longleftrightarrow 0,99x-0,93955x \geq 0,00095 \Longleftrightarrow x\geq \dfrac{0,00095}{0,05045}\simeq 0,019\]

Pour une proportion de personnes atteintes d'une certaine maladie de plus de $2\%$ la probabilité qu'une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à $0,95$
\end{enumerate}

\textbf{Partie B} \\

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item 

D'après la calculatrice :
\[p(890\leq X\leq 920)\simeq 0,92\]

\item Notons $Z=\dfrac{X-900}{7}$, on a alors $Z\hookrightarrow \mathscr N(0;1)$ ; de plus :
\[p(900-h\leq X\leq 900+h)\simeq 0,99  \Longleftrightarrow p\left(-\dfrac{h}{7}\leq Z\leq \dfrac{h}{7}\right)\simeq 0,99\]

Compte tenu de la symétrie de la courbe de Gauss par rapport à l'axe des ordonnées il suit que $p(Z\leq 0)=0,5$ et que $p\left(-\dfrac{h}{7}\leq Z\leq \dfrac{h}{7}\right)=2p\left(0\leq Z\leq \dfrac{h}{7}\right)=2p\left(Z\leq \dfrac{h}{7}\right)-2p(Z\leq 0)=2p\left(Z\leq \dfrac{h}{7}\right)-1$

Ainsi $h$ doit vérifier :

\[2p\left(Z\leq \dfrac{h}{7}\right)-1\simeq 0,99 \Longleftrightarrow p\left(Z\leq \dfrac{h}{7}\right)\simeq \dfrac{1,99}{2}\]

D'après la calculatrice $\dfrac{h}{7}\simeq 2,57583 \Longrightarrow h\simeq 18$
\end{enumerate}
\item Ici $n=1000$ et $p=0,97$. Les trois conditions $n\geq 30$, $np\geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$ sont vérifiées, les bornes de l'intervalle de fluctuation asymptotique aux seuil $0,95$ sont :

\[0,97-1,96\times \dfrac{\sqrt{0,97\times 0,03}}{\sqrt{1000}}\simeq 0,959\qquad \text{et}\qquad 0,97+1,96\times \dfrac{\sqrt{0,97\times 0,03}}{\sqrt{1000}}\simeq 0,981\]

Or, la fréquence de comprimés non conformes vaut $\dfrac{1000-53}{1000}=0,947$ et n'est pas comprise entre $0,959$ et $0,981$ comme attendu dans $95\%$ des cas, il est donc raisonnable de remettre en question les réglages faits par le laboratoire.
\end{enumerate}
\end{sol}
\pagebreak

\section*{Complexes}

%\subsection*{\'Enoncé}

\begin{exo}
On désigne par (E) l'équation 

\[z^4 + 4z^2 + 16 = 0\]

 d'inconnue complexe $z$. 

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $Z^2 +4Z + 16 = 0$. 

Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle. 
\item On désigne par $a$ le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à $\dfrac{\pi}{3}$. 

Calculer $a^2$ sous forme algébrique. 

En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation $z^2 = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$. On écrira les solutions sous forme algébrique. 
\item \textbf{Restitution organisée de connaissances} 

On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe $z = x + \text{i}y$ où $x \in \R$ et $y \in R$, le conjugué de $z$ est le nombre complexe $z$ défini par $z = x - \text{i} y$. 

Démontrer que : 

\begin{itemize}
\item Pour tous nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$,\: $\overline{z_{1}z_{2}} = \overline{z_{1}}\:\overline{z_{2}}$. 
\item Pour tout nombre complexe $z$ et tout entier naturel non nul $n,\: \overline{z^{n}} = \left(\overline{z}\right)^n$.
\end{itemize} 
\item Démontrer que si $z$ est une solution de l'équation (E) alors son conjugué $\overline{z}$ est également une solution de (E). 

En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions. 
\end{enumerate}
\end{exo}
%\subsection*{Correction}
\begin{sol}

\begin{enumerate}
\item
\[\Delta=b^2-4ac=16-4\times 16=-48\]

L'équation $Z^2 +4Z + 16 = 0$ admet donc deux solutions complexes conjugués qui sont :

\[Z_1=\dfrac{-4+i\sqrt{48}}{4}=-2+2i\sqrt{3}\qquad \text{et}\qquad Z_2=\dfrac{-4-i\sqrt{48}}{4}=-2-2i\sqrt{3}\]

De plus $\vert Z_1\vert=\sqrt{4+4\times 3}=4$, et si on note $\theta=arg(Z_1)$ alors on obtient :

$$ \cos \theta =\dfrac{-2}{4}=\dfrac{-1}{2}\qquad \text{et}\qquad \sin \theta =\dfrac{2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

On en déduit que $\theta = \dfrac{2\pi}{3} [2\pi]$ et par conséquent :

\[Z_1=4e^{2i\frac{\pi}{3}}\qquad \text{et}\qquad Z_2=\overline{Z_1}=\overline{4e^{2i\frac{\pi}{3}}}=4e^{-2i\frac{\pi}{3}}\]

\item Puisque $a=2e^{i\frac{\pi}{3}}$ il suit que :
\[a^2=4e^{i\frac{2\pi}{3}}=4\left(\cos \dfrac{2\pi}{3}+i\sin \dfrac{2\pi}{3}\right)=4\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{i\sqrt{3}}{2}\right)=-2+2i\sqrt{3}\]

Par conséquent $a$ est solution de l'équation $z^2 = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$.

Par conséquent on obtient $z^2=a^2 \Longleftrightarrow z^2-a^2=0 \Longleftrightarrow (z-a)(z+a)=0 \Longleftrightarrow z-a=0 \qquad \text{ou} \qquad z+a=0\Longleftrightarrow z=a\qquad \text{ou}\qquad z=-a$

Les solutions de l'équations $z^2 = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$ sont les nombres complexes $z_1=2e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $z_2=-2e^{i\frac{\pi}{3}}=2e^{i\frac{\pi}{3}+\pi}=2e^{i\frac{4\pi}{3}}$

\item Si $z_1=x_1+iy_1$ et $z_2=x_2+iy_2$ alors \[z_1\times z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2+iy_1x_2+i x_1y_2-y_1y_2=x_1x_2-y_1y_2+i(y_1x_2+x_1y_2)\]

Par conséquent :

\[\overline{z_1z_2}=x_1x_2-y_1y_2-i(y_1x_2+x_1y_2)\]

et de plus :

\[\overline{z_1}\times \overline{z_2}=(x_1-iy_1)(x_2-iy_2)=x_1x_2-ix_1y_2-iy_1x_2-y_1y_2=x_1x_2-y_1y_2-i(y_1x_2+x_1y_2)=\overline{z_1z_2}\]

Montrons la deuxième propriété par récurrence.

\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : Pour $n=1$ on a :
\[\overline{z^{1}} = \overline{z}=\left(\overline{z}\right)^1\]
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que  \[\overline{z^{n}} = \left(\overline{z}\right)^n\Longrightarrow \overline{z^{n+1}} = \left(\overline{z}\right)^{n+1}\]

En appliquant le premier point du R.O.C on a :
\[\overline{z^{n+1}} =\overline{z^n\times z}= \overline{z^n}\times \overline{z}=\left(\overline{z}\right)^{n+1}\]

La propriété étant héréditaire et initialisée à partir de $n=1$ on a pour tout $n\geq 1$ :
 \[\overline{z^{n}} = \left(\overline{z}\right)^n\]
 
 
\end{itemize}
\item Si $z$ est solution de $(E)$ alors $z^4+4z^2+16=0$.
 
 En appliquant les propriétés du conjugué on obtient :
 \[\overline{z^4+4z^2+16}=\overline{0}\Longrightarrow \overline{z^4}+4\overline{z^2}+16=0\Longrightarrow \overline{z}^4+4\overline{z}^2+16=0\]
 
 ce qui montre que $\overline{z}$ est solution de $(E)$.
 
 En posant $Z=z^2$ l'équation $(E)$ devient :
 \[Z^2+4Z+16=0\]
 
 qui admet d'après la première question deux solutions $Z_1=-2+2i\sqrt{3}$ et $Z_2=-2-2i\sqrt{3}$
 
 Pour résoudre l'équation $(E)$ on est donc amené à résoudre $z^2=-2+2i\sqrt{3}$ et $z^2=-2-2i\sqrt{3}$. La première équation admet d'après la question $2$ deux solutions $z=2e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $z=2e^{i\frac{4\pi}{3}}=2e^{-i\frac{2\pi}{3}}$.
 
D'après la question $3$ les conjugués de ces deux solutions sont encore solutions de $(E)$ c'est-à-dire les nombres complexes $z= 2e^{-i\frac{\pi}{3}}$ et $z=2e^{i\frac{2\pi}{3}}$ sont solutions de $(E)$
 ce qui porte à $4$ le nombre de solutions de l'équation $(E)$, par conséquent on connaît toutes les solutions de $(E)$ qui sont :
 
 \[\mathscr S=\left\{2e^{i\frac{\pi}{3}};2e^{-i\frac{\pi}{3}};2e^{i\frac{4\pi}{3}};2e^{i\frac{2\pi}{3}}\right\}\]
\end{enumerate}
\end{sol}

\pagebreak

\section*{Espace (Tétraèdre)}
%\subsection*{\'Enoncé}

\begin{exo}
Dans l'espace, on considère un tétraèdre ABCD dont les faces ABC, ACD et ABD sont des 
triangles rectangles et isocèles en A. On désigne par E, F et G les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [CA].  

\medskip

On choisit AB pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AC}}, \overrightarrow{\text{AD}}\right)$ de l'espace.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item On désigne par $\mathcal{P}$ le plan qui passe par A et qui est orthogonal à la droite (DF). 

On note H le point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite (DF). 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées des points D et F. 
		\item Donner une représentation para métrique de la droite (DF). 
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$. 
		\item Calculer les coordonnées du point H. 
		\item Démontrer que l'angle $\widehat{\text{EHG}}$ est un angle droit. 
	\end{enumerate}
\item On désigne par $M$ un point de la droite (DF) et par $t$ le réel tel que $\overrightarrow{\text{D}M} = t\overrightarrow{\text{DF}}$. On note $\alpha$ la mesure en radians de l'angle géométrique $\widehat{\text{E}M\text{G}}$. 

Le but de cette question est de déterminer la position du point $M$ pour que $\alpha$ soit maximale. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $M\text{E}^2 = \dfrac{3}{2}t^2 - \dfrac{5}{2}t + \dfrac{5}{4}$. 
		\item Démontrer que le triangle $M$EG est isocèle en $M$.
		
		En déduire que $M\text{E}\sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right) = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$. 
		\item Justifier que $\alpha$ est maximale si et seulement si $\sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right)$ est maximal. 

En déduire que $\alpha$ est maximale si et seulement si $M\text{E}^2$ est minimal. 
		\item Conclure. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}
%\subsection*{Correction}

\begin{sol}
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item Le point $D(0;0;1)$, $F$ est le milieu du segment $[BC]$ et $B(1;0;0)$ et $C(0;1;0)$ par conséquent :
\[F\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right)\]
\item Le point $M(x;y;z)\in (DF)$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{DM}=t\overrightarrow{DF}$.

Or, $\overrightarrow{DF}\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};-1\right)$ et $\overrightarrow{DM}(x;y;z-1)$ ainsi une représentation paramétrique de $(DF)$ est :

\[\left\{\begin{array}{c}
x=\dfrac{1}{2}t\\
y=\dfrac{1}{2}t
\\
z=-t+1
\end{array}\right.\qquad t\in\R\]
\item Le vecteur $\overrightarrow{DF}$ est normal au plan $\mathscr P$ et $\mathscr P$ passe par $A$, ainsi  $M(x;y;z)\in \mathscr P$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{DF}=0$

ce qui donne :
$$ \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}y-z=0$$
Ainsi une équation cartésienne de $\mathscr P$ est  par exemple :
$$ x+y-2z=0$$
\item Les coordonnées de $H$ vérifient simultanément les équations de $(DF)$ et de $\mathscr P$ donc :

$$ \dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{2}t+2t-2=0\Longleftrightarrow 3t-2=0\Longleftrightarrow t=\dfrac{2}{3}$$

On en déduit que \[H\left(\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{3};\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{3}+1\right)\Longleftrightarrow H\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)\]
\item $\widehat{\text{E}H\text{G}}$ est droit si et seulement si $\overrightarrow{HE}\cdot \overrightarrow{HG}=0$

En tant que milieu de $[AB]$, $E$ a pour coordonnées $E(0.5;0;0)$ et de même $G(0;0.5;0)$
par conséquent $\overrightarrow{HE}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3}\right)$ c'est-à-dire $\overrightarrow{HE}\left(\dfrac{1}{6};-\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3}\right)$ et de la même manière $\overrightarrow{HG}\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{6};-\dfrac{1}{3}\right)$ ; ainsi :
\[\overrightarrow{HE}\cdot \overrightarrow{HG}=-\dfrac{1}{18}-\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{9}=0\]

Par conséquent l'angle $\widehat{\text{E}H\text{G}}$ est droit.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item $M\in (DF)$ avec $\overrightarrow{\text{D}M} = t\overrightarrow{\text{DF}}$ donc $M\left(\dfrac{1}{2}t;\dfrac{1}{2}t;
-t+1\right)$ ainsi $\overrightarrow{ME}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}t;-\dfrac{1}{2}t;t-1\right)$ donc 
\[ME^2=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}t\right)^2+\left(-\dfrac{1}{2}t\right)^2+\left(t-1\right)^2=0,25-\dfrac{1}{2}t+0,25t^2+0,25t^2+t^2-2t+1=1,5t^2-2,5t 1,25\]
\item $\overrightarrow{MG}\left(-\dfrac{1}{2}t;\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}t;t-1\right)$ donc 
\[MG^2=\left(-\dfrac{1}{2}t\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}t\right)^2+\left(t-1\right)^2=0,25-\dfrac{1}{2}t+0,25t^2+0,25t^2+t^2-2t+1=1,5t^2-2,5t+ 1,25=ME^2\]
Ainsi $ME=MG$ ce qui prouve que $MEG$ est isocèle en $M$.

Dans le triangle $MEG$ isocèle en $M$, considérons la hauteur issue de $M$ et notons $Z$ le pied de cette hauteur alors :

\[\sin \alpha/2 =\dfrac{EZ}{ME}\]
Or $EZ=EG/2$ et $EG=\sqrt{0.25+0.25+0}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
 
 d'où :
 
 $\sin \alpha/2=\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{2}}}{ME}\Longleftrightarrow ME\sin \alpha/2=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$
\item $\alpha$ désigne la mesure en radians de l'angle géométrique $\widehat{\text{E}M\text{G}}$ donc $\alpha\in]0;\pi[$, ainsi $\dfrac{\alpha}{2}\in \left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$.

$\alpha$ est maximal si et seulement si $\dfrac{\alpha}{2}$ est maximal. Le sinus étant croissant sur $\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$ il suit que $\alpha$ est maximal si et seulement si $\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)$.

Enfin puisque $ME\sin \alpha/2=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\Longleftrightarrow ME=\dfrac{1}{2\sqrt{2}\sin(\alpha/2)}$, $\sin(\alpha/2)$ est maximal si et seulement si $ME$ est minimal.
\item Notons $f$ la fonction qui à tout réel $t$ associe le réel $ME^2=1,5t^2-2,5t 1,25$.

Maximiser $\alpha$ revient à minimiser $f$.

$f'(t)=3t-2,5$ et $f'(t)=0 \Longleftrightarrow 3t-2,5=0 \Longleftrightarrow t=\dfrac{2,5}{3}=\dfrac{5}{6}$.

Dressons le tableau de variation de $f$ sur $\R$ :

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{variation1.eps}
\end{center}

On vient de démontrer que $ME$ est minimal lorsque $t=\dfrac{5}{6}$ c'est-à-dire $\alpha$ est maximal lorsque $t=\dfrac{5}{6}$ c'est-à-dire l'angle $\widehat{\text{E}M\text{G}}$ lorsque $M$ a pour coordonnées :

\[M\left(\dfrac{1}{2}\times \dfrac{5}{6}; \dfrac{1}{2}\times \dfrac{5}{6}; -\dfrac{5}{6}+1\right)\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{sol}
\pagebreak

\section*{(spé) - Matrice}

%\subsection*{\'Enoncé}

\begin{exo}
Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l'élevage de ses poissons. Tous les ans à la même période : 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item il vide le bassin B et vend tous les poissons qu'il contenait et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B ; 
\item la vente de chaque poisson permet l'achat de deux petits poissons destinés au bassin A.

Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus $200$~poissons pour le bassin A et $100$~poissons pour le bassin B.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, on note respectivement $a_{n}$ et $b_{n}$ les effectifs de poissons des bassins A et B au bout de $n$ années. 

En début de première année, le nombre de poissons du bassin A est $a_{0} = 200$ et celui du bassin B est $b_{0} = 100$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $a_{1} = 400$ et $b_{1} = 300$ puis calculer $a_{2}$ et $b_{2}$. 
\item On désigne par $A$ et $B$ les matrices telles que $A = \begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}200\\100\end{pmatrix}$ et pour tout entier 
naturel $n$, on pose $X_{n} = \begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} = AX_{n} + B$.
		\item Déterminer les réels $x$ et $y$ tels que $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + B$. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $Y_{n} = \begin{pmatrix}a_{n} + 400\\ 
b_{n} + 300\end{pmatrix}$. 

Démontrer que pour tout entier naturel $n,\:\: Y_{n+1} = AY_{n}$. 
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $Z_{n} = Y_{2n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n,\: Z_{n+1} = A^2 Z_{n}$. En déduire que pour tout entier naturel $n, Z_{n+1} = 2Z_{n}$. 
		\item On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel $n$, 

\[Y_{2n} = 2^nZ_{0}.\] 

En déduire que $Y_{2n + 1} = 2^nY_{1}$ puis démontrer que pour tout entier naturel $n$, 

\[a_{2n} = 600 \times 2^n - 400\quad  \text{et}\quad  a_{2n+1} = 800 \times 2^n - 400.\]
 
	\end{enumerate} 
\item Le bassin A a une capacité limitée à {10000} poissons.
	\begin{enumerate}
		\item On donne l'algorithme suivant. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline
Variables :		& $a, p$ et $n$ sont des entiers naturels.\\ 
Initialisation :& Demander à l'utilisateur la valeur de $p$.\\ 
Traitement :	& Si $p$ est pair \\
				&\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
Affecter à $n$ la valeur $\dfrac{p}{2}$\\ 
Affecter à $a$ la valeur $600 \times 2^n - 400$.\\
\end{tabular}\\ 
&Sinon \\
				&\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
Affecter à $n$ la valeur $\dfrac{p - 1}{2}$\\
Affecter à $a$ la valeur $800 \times 2^n - 400$.\\
\end{tabular}\\ 
				&Fin de Si.\\ 
Sortie :		& Afficher $a$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

Que fait cet algorithme ? Justifier la réponse. 
		\item Écrire un algorithme qui affiche le nombre d'années pendant lesquelles le pisciculteur pourra utiliser le bassin A. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}
%\subsection*{Correction}


\begin{sol}
\begin{enumerate}
\item On note que $a_{n+1}=2b_n+200$ et $b_{n+1}=a_n+100$ ainsi on trouve que :
$$ a_1=2b_0+200=400\qquad \text{et}\qquad b_1=a_0+100=300$$
puis de même :
$$ a_2=2b_1+200=600+200=800\qquad \text{et}\qquad b_2=a_1+100=500$$
\item
\begin{enumerate}
\item \[AX_n+B=\begin{pmatrix}
0 & 2\\
1 & 0
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
a_n\\
b_n
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
200\\
100
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2b_n\\
a_n
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
200\\
100
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2b_n+200\\
a_n+100
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a_{n+1}\\
b_{n+1}
\end{pmatrix}=X_{n+1}\]
\item \[\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + B\Longleftrightarrow \begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2y+200\\x+100
\end{pmatrix}\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{c}
x=2(x+100)+200\\
y=x+100
\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{c}
x=-400\\
y=-300
\end{array}\right.\]
\item \[Ay_n=\begin{pmatrix}
0 & 2\\
1 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a_n+400\\
b_n+300
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2b_n+600\\
a_n+400
\end{pmatrix}\]
et 
\[Y_{n+1}=\begin{pmatrix}
a_{n+1}+400\\
b_{n+1}+300
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2b_n+200+400
\\
a_n+100+300
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2b_n+600\\
a_n+400
\end{pmatrix}\]
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n \in \N$, on a :
\[Z_{n+1}=Y_{2(n+1)}=Y_{2n+2}=AY_{2n+1}=A\times A Y_{2n}=A^2 Y_{2n}\]
Or,
\[A^2=\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
0 & 2 \\
1 & 0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}=2I_2
\] 
Et ainsi pour tout $n\in \N$ on a :
\[Z_{n+1}=2 I_2 Y_{2n}=2 Y_{2n}\]
\item De $Y_{2n} = 2^nY_{0}.$  on déduit que :
\[Y_{2n+1}=AY_{2n}=A\times 2^n Y_0=2^n AY_0=2^n Y_1\]
Or, $Y_0=\begin{pmatrix}
600\\
400
\end{pmatrix}$ et $Y_1=\begin{pmatrix}
800\\
600
\end{pmatrix}$. $Y_{2n} = 2^nY_{0}\Longleftrightarrow \begin{pmatrix}
a_{2n}+400\\
b_{2n}+300
\end{pmatrix}=2^n\begin{pmatrix}
600\\
400
\end{pmatrix}$ d'où \[a_{2n}+400=2^n\times 600 \Longleftrightarrow a_{2n}=2^n\times 600-400 \]

Puis comme $Y_{2n+1}=2^n Y_1 \Longleftrightarrow \begin{pmatrix}
a_{2n+1}+400\\
b_{2n+1}+300
\end{pmatrix}=2^n\begin{pmatrix}
800\\
600
\end{pmatrix}$ d'où :

\[a_{2n+1}+400=2^n\times 800 \Longleftrightarrow a_{2n+1}=2^n\times 800 -400\]
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Cet algorithme affiche le nombre de poisson que contient le bassin $A$ au bout de $p$ années compte tenu des résultats de la question précédent (en effet si $p$ est pair alors il existe un entier naturel $n$ tel que $p=2n$ et sinon $p=2n+1$.)
\item \begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X X|}\hline
Variables :		& $a, p$ et $n$ sont des entiers naturels.\\ 
Initialisation :& $p=0$ et $a=0$\\ 
Traitement :	& Tant que $a\leq 10000$ faire 
%\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
\\
  & Si $p$ est pair \\
				&\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
Affecter à $n$ la valeur $\dfrac{p}{2}$\\ 
Affecter à $a$ la valeur $600 \times 2^n - 400$.\\
\end{tabular}\\ 
&Sinon \\
				&\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
Affecter à $n$ la valeur $\dfrac{p - 1}{2}$\\
Affecter à $a$ la valeur $800 \times 2^n - 400$.\\
\end{tabular}\\ 
				&Fin de Si.\\ 
& Affecter à $p$ la valeur $p+1$\\
				& Fin du tant Que \\

%\end{tabular}
Sortie :		& Afficher $p-2$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Dans le cas présent l'algorithme renvoie la valeur $8$ c'est-à-dire que le pisciculteur peut utilise le bassin $A$ durant $8$ ans de la manière indiqué par l'énoncé.

Voici une version codé à l'aide de Python :

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{bacalgo.eps}
\end{center}

qui affiche donc :

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{affichealgo.eps}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{sol}
\end{document} 