  \documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2013-2014}	
\newcommand{\Profs}{J.M.Bilheran/O.Maze/M.Rey-Cadours/D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	
\clearpage
\pagenumbering{arabic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\fancypagestyle{styleLyc}{%
\fancyhf{} 
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
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}
\pagestyle{styleLyc}
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%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Bac Blanc}
\rhead{Février 2013}


\Cr{BAC BLANC}



%\begin{exoi}\hfill \textbf{Amérique du sud -2013}\\
%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
% 
%On considère l'équation 
%
%\[(E) :\quad  z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\]
% 
%\begin{enumerate}
%\item Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes. 
%\item On considère la suite $\left(M_{n}\right)$ des points d'affixes $z_{n} = 2^n \text{e}^{\text{i}(- 1)^n\frac{\pi}{6}}$, définie pour $n \geqslant 1$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Vérifier que $z_{1}$ est une solution de $(E)$. 
%		\item Écrire $z_{2}$ et $z_{3}$ sous forme algébrique. 
%		\item Placer les points $M_{1},\: M_{2},\: M_{3}$ et $M_{4}$ sur la figure donnée en annexe et tracer, sur la figure donnée en annexe, les segments $\left[M_{1}, M_{2}\right],\: \left[M_{2}, M_{3}\right]$ et $\left[M_{3}, M_{4}\right]$.
%	\end{enumerate} 
%\item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $z_{n} = 2^n \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{(- 1)^n \text{i}}{2}\right)$. 
%\item Calculer les longueurs $M_{1}M_{2}$ et $M_{2}M_{3}$.
%
%\medskip
%
%Pour la suite de l'exercice, on admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $M_{n}M_{n+1} = 2^n \sqrt{3}$. 
%\item On note $\ell_n = M_{1}M_{2} + M_{2}M_{3} + \cdots 	+ M_{n}M_{n+1}$.
%	\begin{enumerate}
%		\item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1,\: \ell_n = 2\sqrt{3}\left(2^n - 1\right)$. 
%		\item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\ell_n \geqslant  {1000}$.
%	\end{enumerate} 
%\end{enumerate}
%
%
%\begin{center}
%
%\psset{unit=0.66cm}
%\begin{pspicture}(-1,-9)(17,9)
%\multido{\n=0+2}{9}{\psline[linestyle=dashed](\n,-9)(\n,9)}
%\multido{\n=-8+2}{9}{\psline[linestyle=dashed](-0.5,\n)(17,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-0.9,-9)(17,9)
%\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\end{exoi}
%
%\pagebreak

\vspace{0.5cm}
\begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}\\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2~cm).


\medskip

\textbf{Partie A}



\medskip

On considère l'équation :
$$ (E) : z^3+6z^2+12z+9=0$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $z^3+6z^2+12z+9=(z+3)(z^2+3z+3)$
\item En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$ dans $\C$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
On considère les points A, B et C d' affixes respectives :
 \[ z_{\text{A}} = -\dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2},~z_{\text{B}}  = \overline{z_{\text{A}} }~\text{et}~ z_{\text{C}} =   - 3.\] 

 
\begin{enumerate}
\item Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. 
\item Placer les points A, B et C. 
\item Démontrer que le triangle ABC est équilatéral. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{1}{3}\text{i}z^2$.
 
On note O$'$, A$'$, B$'$ et C$'$ les points respectivement associés par $f$ aux points O, A, B et C.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A$'$, B$'$ et C$'$. 
		\item Placer %, uniquement à l'aide du compas et d'une règle non graduée, 
		les points A$'$, B$'$ et C$'$ . 
		\item Démontrer l'alignement des points O, A et B$'$ ainsi que celui des points O, B et A$'$.
	\end{enumerate}  
\item Démontrer que si $M$ appartient à la droite (AB) alors $M'$ appartient à la parabole d'équation $y = - \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{3}{4}$. (On ne demande pas de tracer cette parabole)
\end{enumerate} 
\end{exoi}

\pagebreak
\begin{exoi}\textbf{exercice de spécialité}\hfill \textbf{5 points}\\
On définit les suite\index{suite} $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sur l'ensemble $\N$ des entiers naturels par:
\[
u_0=0~;~v_0=1~,~\text{et}~
\left\{
\begin{array}{rcl}
u_{n+1}&=&\dfrac{u_n+v_n}{2}\\
v_{n+1}&=&\dfrac{u_n+2v_n}{3}
\end{array}
\right.
\]
Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.
\begin{enumerate}
\item
Calculer $u_1$ et $v_1$.
\item On considère l'algorithme\index{algorithme} suivant :
	\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item On exécute cet algorithme en saisissant $N = 2$.\\ Compléter le tableau (celui donné en annexe) contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme.
\begin{center}
%\includegraphics[scale=1]{graph2.eps}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$k$ & $w$ & $u$ & $v$ \\
\hline
1& & & \\
\hline
2& & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
		\item Pour un nombre $N$ donné, à quoi correspondent les valeurs affichées par l'algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice~?
	\end{enumerate}
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{8cm}
\textbf{Variables} : $u$, $v$ et $w$ des réels, $N$ et $k$ des entiers.\\
\textbf{Initialisation} : $u$ prend la valeur 0\\
\phantom{Initialisation:} $v$ prend la valeur 1\\
\textbf{Début de l'algorithme}\\
\phantom{xxxx}Entrer la valeur de $N$\\
\phantom{xxxx}Pour $k$ variant de 1 à $N$\\
\phantom{xxxxxxxx} $w$ prend la valeur $u$\\
\phantom{xxxxxxxx} $u$ prend la valeur $\dfrac{w+v}{2}$\\
\phantom{xxxxxxxx} $v$ prend la valeur $\dfrac{w+2v}{3}$\\
\phantom{xxxx}Fin du Pour\\
\phantom{xxxx}Afficher $u$ et afficher $v$\\
\textbf{Fin de l'algorithme}
\end{minipage}
}
\end{center}
	\end{multicols}
\item Pour tout entier naturel $n$ on définit le vecteur colonne $X_n$ par $X_n=\begin{pmatrix}
u_n\\v_n
\end{pmatrix}$ et la matrice\index{matrice} $A$ par \begin{small}
$A=\begin{pmatrix}
\frac12&\frac12\\
\\\frac13&\frac23
\end{pmatrix}$
\end{small}.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1}= AX_n$.
		\item Démontrer par récurrence que $X_n = A^nX_0$ pour tout entier naturel $n$.
\end{enumerate}
\item On définit les matrices $P$, $P'$ et $B$ par \begin{small}
$P = \begin{pmatrix}
\frac45&\frac65\\\\-\frac65&\frac65
\end{pmatrix}$, $P'=\begin{pmatrix}
\frac12&-\frac12\\\\\frac12&\frac13
\end{pmatrix}$ 
\end{small}
et 
$B=\begin{pmatrix}
1&0\\0&\frac16
\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item
Calculer le produit $PP'$. \textbf{On admet que $P'BP=A$}.\\
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $A^n=P'B^nP$.
		\item On admet que pour tout entier naturel $n$, $B^n=\begin{pmatrix}
1&0\\0&\left(\frac16\right)^n
\end{pmatrix}$.\\En déduire l'expression de la matrice $A^n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que \begin{small}
		$X_n=\begin{pmatrix}
\frac35-\frac35\left(\frac16\right)^n\\\\
\frac35+\frac25\left(\frac16\right)^n
\end{pmatrix}$
		\end{small} pour tout entier naturel $n$.\\
En déduire les expressions de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer alors les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak
\begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}\\
Chaque année, deux villages A et B organisent un concours sportif. Les concurrents tirent au sort un moyen de transport puis doivent relier le village A au village B le plus rapidement possible en utilisant ce moyen de transport et un parcours adapté. Pour le tirage, on utilise une urne contenant 4 jetons indiscernables au toucher. Sur un premier jeton figure la lettre V , sur le second la lettre R, sur le troisième la lettre P et sur le dernier la lettre L.

\medskip
 
Un concurrent tire au hasard un jeton :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre V, il effectuera le trajet à vélo, 
\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre R, Il effectuera le trajet en roller, 
\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre P, il effectuera le trajet à pied, 
\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisira librement son mode de transport parmi les trois précédents.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On observe que lorsqu'un concurrent tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisit le vélo dans 70\,\% des cas, il choisit le roller dans 20\,\% des cas et il décide de faire le parcours à pied dans 10\,\% des cas.
 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré correspondant à la situation.
 
\emph{Pour les questions suivantes, on donnera les résultats arrondis au millième.} 
\item Vérifier que la probabilité qu'un concurrent effectue le trajet en vélo est $0,425$. 
\item Sachant qu'un concurrent a effectué le trajet à vélo, quelle est la probabilité qu'il ait tiré le jeton sur lequel figure la lettre L ? 
\item On admet que les résultats des différentes années sont indépendants les uns des autres.
 
L'expérience des années précédentes permet de considérer que la probabilité, pour le vainqueur, d'avoir effectué le trajet à vélo est $\dfrac{2}{3}$. 

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'épreuves remportées par un concurrent \og  cycliste \fg{} lors des six prochaines années.
\begin{enumerate}
\item Quelle loi suit la variable aléatoire $X$ ? En déduire $p(X=2)$.
\item Calculer la probabilité qu'au cours des six prochaines années l'épreuve soit remportée au moins une fois par un concurrent \og  cycliste \fg. 
\item Calculer $E(X)$, interpréter.
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}


\end{exoi}

\pagebreak
\begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - x}.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal \Oij donné en annexe.

\vspace{0,5cm}

\partieBac{Restitution Organisée de Connaissances} 
\emph{On suppose connus les résultats suivants :
\begin{itemize}
\item[\textit{Propriété 1 :}] Soit $x_0\in \R$, si pour tout réel $x\geq x_0$ on a $ h(x)\leq k(x)$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)=+\infty$ alors $\lim\limits_{x\to +\infty} k(x)=+\infty$.
\item[\textit{Propriété 2 :}] $x\longmapsto e^x$ est l'unique fonction égale à sa dérivée qui vaut $1$ en $0$ c'est-à-dire $(e^x)'=e^x$ et $e^0=1$.
\item[\textit{Propriété 3 :}] La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$.
\end{itemize}}
\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^x- x - 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $g$ sur 
$\R$. En déduire le signe de $g$.
\item Justifier que pour tout $x,~ \left(\text{e}^x -x\right)$ est strictement positif.
\item En déduire que $\lim\limits_{x\to +\infty} e^x=+\infty$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\partieBac{Etude de la fonction $f$.}
\medskip

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item Calculer les limites de 
la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
		\item Interpréter graphiquement les résultats précédents.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x),\: f'$ désignant la fonction dérivée de $f$.
		\item Étudier le sens de variations de $f$ puis dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate} 
	 	\item Déterminer une équation de la tangente $T$  à la courbe $\mathcal{C}$  au point d'abscisse $0$.
		\item \begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x$ on a :
		 $$f(x)-x=-\dfrac{xg(x)}{e^x-x}$$
		 \item En déduire le signe de $f(x)-x$ en fonction de $x$ puis en déduire le position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $T$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\item Tracer la droite $T$ et les asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$ sur le graphique donné en annexe.
\end{enumerate}


\end{exoi}
		

\newpage
		
\begin{center}
\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}
	\end{center}	
	
	
\bigskip

\textbf{ANNEXE (exercice 2)}

\begin{center}
%\includegraphics[scale=1]{graph2.eps}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$k$ & $w$ & $u$ & $v$ \\
\hline
1& & & \\
\hline
2& & & \\
\hline
\end{tabular}

\end{center}

\textbf{ANNEXE (exercice 4)}


\bigskip
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{graph1.eps} \end{center}


\end{document}