\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Annales 2013}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Suites}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav



\begin{exoi}
\medskip

Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par : 

\[u_{0} = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } \:n, \:u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_{n} + \dfrac{1}{3}n + 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$. On pourra en donner des valeurs approchées à $10^{- 2}$ près. 
		\item Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.\\
	\end{enumerate} 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, 

\[u_{n} \leqslant n + 3.\]
 
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, 
 
\[u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{1}{3} \left(n + 3 - u_{n}\right).\]
 
		\item En déduire une validation de la conjecture précédente.\\
	\end{enumerate} 
	
\item On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite d\'efinie sur $\textbf{N}$ par $v_{n} = u_{n} - n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite g\'eom\'etrique de raison $\dfrac{2}{3}$. 
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$,
		
		\[u_{n} = 2\left(\dfrac{2}{3} \right)^n + n\]
		 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.\\
	\end{enumerate} 
	
\item Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose: 
 
\[S_{n} = \sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}\quad \text{et}  
\quad T_{n} = \dfrac{S_{n}}{n^2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(T_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\end{exoi}

\begin{exoi}
Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe.

\medskip
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Un salarié malade est absent 
\item[$\bullet~~$] La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade. 
\item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,04$. 
\item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,24$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par $E_{n}$ l'évènement \og le salarié est absent pour cause de maladie la $n$-ième semaine \fg. On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $E_{n}$.
 
On a ainsi : $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : $0 \leqslant  p_{n} < 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $p_{3}$ à l'aide d'un arbre de probabilité. 
		\item Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilité donné ci-dessous
		
\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$E_{n}$}\taput{$p_{n}$}}
	  { 
		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{E_{n}}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots}		  
	  }
}
\end{center}

		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1,
		
		 $p_{n+ 1} = 0,2p_{n} + 0,04$. 
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 par $u_{n} = p_{n} - 0,05$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison $r$.
		
En déduire l'expression de $u_{n}$ puis de $p_{n}$ en fonction de $n$ et $r$. 
		\item En déduire la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$. 
		\item On admet dans cette question que la suite $\left(p_{n}\right)$ est croissante. On considère l'algorithme  suivant : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline
Variables		& K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel\\ 
Initialisation 	&P prend la valeur $0$\\ 
				&J prend la valeur $1$\\ 
Entrée			& Saisir la valeur de K\\ 
Traitement		&Tant que P $< 0,05 - 10^{- \text{K}}$\\ 
				&\quad P prend la valeur $0,2 \times \text{P} + 0,04$\\
				&\quad  J prend la valeur J $+ 1$\\ 
				&Fin tant que \\
Sortie			&Afficher J \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

À quoi correspond l'affichage final J ?
 
Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ?
	\end{enumerate} 
		\end{enumerate} 

\end{exoi}


\begin{exoi}
On considère la suite numérique $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 

$$\left\{\begin{array}{l c l}
v_{0} &=& 1\\ 	 
v_{n + 1}&=& \dfrac{9}{6 - v_{n}}
\end{array}\right.$$

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite, du rang $0$ au rang $n$.
 
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

\medskip

\hspace{-1cm} 
\begin{small}
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|X|c|X|c|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 1}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 2}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 3}}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\
$v$ est un réel&&$v$ est un réel&&$v$ est un réel\\ 
$i$ et $n$ sont des entiers naturels&&$i$ et $n$ sont des entiers naturels&&$i$ et $n$ sont des entiers naturels\\
~&&&&\\ 
\textbf{Début de l'algorithme :}&&\textbf{Début de l'algorithme :}&& \textbf{Début de l'algorithme :}\\ 
Lire $n$&&Lire $n$&&Lire $n$\\ 
$v$ prend la valeur $1$&&Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire&&$v$ prend la valeur $1$\\ 
Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire&&$v$ prend la valeur $1$&& Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire\\ 
\hspace{0.2cm}$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$&&\hspace{0.2cm}Afficher $v$&& \hspace{0.2cm}Afficher $v$\\  
Fin pour&&$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$&&$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$\\
Afficher $v$&&Fin pour&&Fin pour\\
&&&&Afficher $v$\\
\textbf{Fin algorithme}&&\textbf{Fin algorithme}&&\textbf{Fin algorithme}\\  \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}
\end{small}

 
\item Pour $n = 10$ on obtient l'affichage suivant :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
1&1,800&2,143&2,333&2,455&2,538&2,600&2,647&2,684&2,714\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

Pour $n = 100$, les derniers termes affichés sont :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
2,967&2,968&2,968&2,968&2,969&2,969&2,969&2,970&2,970&2,970\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(v_{n}\right)$ ? 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < v_{n} < 3$.  
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{\left(3 - v_{n} \right)^2}{6 - v_{n}}$. 
 
La suite $\left(v_{n}\right)$ est-elle monotone ? 
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B Recherche de la limite de la suite } \boldmath $\left(v_{n}\right)$ \unboldmath

\medskip

On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par 

\[w_{n} = \dfrac{1}{v_{n} - 3}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$ 
\item En déduire l'expression de $\left(w_{n}\right)$, puis celle de $\left(v_{n}\right)$ en fonction de $n$. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$. 
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel~$n$, 

\[u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}\]

\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Calculer $u_1$ et $u_2$.
  \item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n$.
  \end{enumerate}
\item On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n<1$.
  \begin{enumerate}
  \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
  \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
  \end{enumerate}
\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \dfrac{u_n}{1 - u_n}$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 3.
  \item Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
  \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{3^n}{3^n+1}$.
  \item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exoi}

\pagebreak
\begin{exoi}
L'objet de cet exercice est l'étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par son premier terme $u_{1} = \dfrac{3}{2}$ et la relation  de récurrence : $u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}$.\\

\textbf{Partie A - Algorithmique et conjectures }

\medskip

\parbox{6cm}{Pour calculer et afficher le terme $u_{9}$ de la suite, un élève propose l'algorithme ci-contre.

Il a oublié de compléter deux lignes.}\hfill
\parbox{8cm}{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\arraybackslash}X|}} \hline
Variables&$n$ est un entier naturel \\
&$u$ est un réel \\
\hline
Initialisation &Affecter à  $n$ la valeur 1\\
&Affecter à  $u$ la valeur 1,5 \\
\hline
Traitement &Tant que $n<9 $\\
&\hspace*{1cm} Affecter à  $u$ la valeur \dots\\ 
&\hspace*{1cm} Affecter à  $n$ la valeur \dots\\
%\hline
&Fin Tant que \\
\hline
Sortie& Afficher la variable $u$ \\
\hline
\end{tabularx}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension. 
\item Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de $u_{2}$ jusqu'à  $u_{9}$ ? 
\item  Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
n &1&2 &3 &4 &5 &6 &\dots&99 &100 \\
\hline
$u_{n}$ &1,5 &0,625 &0,375 &0,2656 &{0,2063} &{0,1693}&\dots&\ {0,0102} &{0,0101} \\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Etude mathématique }

\medskip

On définit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ par : pour tout entier $n\geqslant 1$, $v _{n} = nu_{n} -1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. 

\item En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $u_{n}= \dfrac{1+(0,5)^{n}}{n}$.

\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

\item Justifier que, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a : $u_{n+1}- u_{n}=- \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}$.

En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Retour sur l'algorithme }

En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme qui affiche le plus petit entier $n$ tel que $u_n<0,001$.

\medskip

\end{exoi}
\pagebreak
\begin{exoi}
\textbf{Partie A}
\\On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ : 

\[u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}.\] 
 
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Etablir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$.
		\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 

En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
\\On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ 	d\'efinie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ :

\[ u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}.\]
 
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 

On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c |l|}\hline
 Entrée& Soit un entier naturel non nul $n$\\ \hline 
Initialisation &Affecter à  $u$ la valeur 2\\ \hline 
\multirow{4}{1.2cm}{Traitement et sortie }&POUR $i$ allant de 1 à  $n$\\ 
&\hspace{1cm}Affecter \`a $u$ la valeur $\dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}$\\  
&\hspace{1cm}Afficher $u$\\ \hline 
&FIN POUR\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$i$&1&2& 3\\ \hline 
$u$&&&\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center} 
\item Pour $n = 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$i$&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
$u$&\footnotesize{1,0083}&\footnotesize{0,9973}&\footnotesize{1,0009}&\footnotesize{0,9997}&\footnotesize{1,0001}&\footnotesize {0,99997}&\footnotesize{1,00001}&\footnotesize {0,999996}&\footnotesize {1,000001}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ à  l'infini. 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$. 
		\item Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n} \neq 1$. 
		\item montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.  
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}