\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Annales}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Le Produit Scalaire}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{Exercices}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav


\section{Nouvelle Calédonie 2014}

Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle tel que AB = 2, AD = 3 et AE = 1.
 
On appelle respectivement I, J et P les milieux respectifs des segments [CD], [EF] et [AB].
 
On note Q le point défini par $\vect{\text{AQ}}= \dfrac{1}{3}\vect{\text{AD}}$. 

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(13,7)
%\psgrid
\psframe(10.3,3.5)%BCGF
\psline(10.3,0)(12,2.1)(12,6.1)(10.3,3.5)%CDHG
\psline(12,6.1)(1.7,6.1)(0,3.5)%HEF
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.7,2.1)(1.7,6.1)%BAE
\psline[linestyle=dashed](1.7,2.1)(12,2.1)%AD
\uput[l](1.7,2.1){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](10.3,0){C} 
\uput[r](12,2.1){D} \uput[ul](1.7,6.1){E} \uput[l](0,3.5){F} 
\uput[dr](10.3,3.5){G} \uput[ur](12,6.1){H} \uput[ul](11.15,1.05){I} 
\uput[ul](0.85,4.8){J} \uput[ul](0.85,1.05){P}\uput[u](5.11,2.1){Q}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.7,2.1)(0.85,1.05)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.7,2.1)(5.11,2.1)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.7,2.1)(1.7,6.1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6](0.85,1.05)(5.11,2.1)(0.85,4.8)(11.15,1.05) 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

On appelle \textbf{plan médiateur d'un segment} le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu. 

L'objectif de l'exercice est de déterminer les coordonnées du centre d'une sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ (c'est-à-dire une sphère qui passe par les quatre points A, B, I, J).
 
L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AP}},~\vect{\text{AQ}},~\vect{\text{AE}}\right)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que les quatre points A, B, I et J ne sont pas coplanaires. 
\item Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur 
$\left(P_{1}\right)$ du segment [AB]. 
\item Soit $\left(P_{2}\right)$ le plan d'équation cartésienne $3y - z - 4 = 0$. 

Montrer que le plan $\left(P_{2}\right)$ est le plan médiateur du segment [IJ]. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les plans $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$ sont sécants. 
		\item Montrer que leur intersection est une droite $(\Delta)$ dont une représentation paramétrique est 
 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1\\ 
y &=& t\\
z &=& 3t - 4
\end{array}\right.\: \text{où }\: t\: \text{décrit l'ensemble des nombres réels } \:\R.\]
  
		\item Déterminer les coordonnées du point $\Omega$ de la droite $(\Delta)$ tel que $\Omega$A = $\Omega$I. 
		\item Montrer que le point $\Omega$ est centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak
 \section{Liban 2013}


\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des propositions est correcte.\\ 
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie.}

\medskip
 
L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk. 

Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A$(1~;~-1~;~2)$, B$(3~;~3~;~8)$, C$(-3~;~5~;~4)$ et D(1~;~2~;~3). 
 
On note $\mathcal{D}$ la droite ayant pour représentation paramétrique 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t + 1\\
y &=& 2t - 1\\   
z &=& 3t+2
\end{array}\right., t \in \R$ 
 
et $\mathcal{D}'$ la droite ayant pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& k + 1\\
y &=& k + 3\\
z &=&-k + 4
\end{array}\right.,  k \in \R$.
  
On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x + y - z + 2 = 0$. 

\medskip

\textbf{Question 1 :}
 
Proposition \textbf{a.~} Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont parallèles. 

Proposition \textbf{b.~} Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont coplanaires.
 
Proposition \textbf{c.~} Le point C appartient à la droite $\mathcal{D}$.

Proposition \textbf{d.~} Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont orthogonales. 

\medskip

\textbf{Question 2 :}
 
Proposition \textbf{a.~} Le plan $\mathcal{P}$ contient la droite $\mathcal{D}$ et est parallèle à la droite $\mathcal{D}'$.
 
Proposition \textbf{b.~} Le plan $\mathcal{P}$ contient la droite $\mathcal{D}'$ et est parallèle à la droite $\mathcal{D}$.
 
Proposition \textbf{c.~} Le plan $\mathcal{P}$ contient la droite $\mathcal{D}$ et est orthogonal à la droite $\mathcal{D}'$.
 
Proposition \textbf{d.~} Le plan $\mathcal{P}$ contient les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$.

\medskip

\textbf{Question 3 :}
 
Proposition \textbf{a.~} Les points A, D et C sont alignés.
 
Proposition \textbf{b.~} Le triangle ABC est rectangle en A.
 
Proposition \textbf{c.~} Le triangle ABC est équilatéral.
 
Proposition \textbf{d.~} Le point D est le milieu du segment [AB]. 
 

\medskip

\textbf{Question 4 :}
 
On note $\mathcal{P}'$ le plan contenant la droite $\mathcal{D}'$ et le point A. Un vecteur normal à ce plan est :
 
Proposition \textbf{a.~} $\vect{n}(-1~;~5~;~4)$
 
Proposition \textbf{b.~} $\vect{n}(3~;~-1~;~2)$
 
Proposition \textbf{c.~} $\vect{n}(1~;~2~;~3)$
 
Proposition \textbf{d.~} $\vect{n}(1~;~1~;~-1)$


\pagebreak

\section{Pondichery 2013}


\emph{Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune des questions indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Il en est de même dans le cas où plusieurs réponses sont données pour une même question.}

\medskip
 
L'espace est rapporté à un repère orthonormal. $t$ et $t'$ désignent des paramètres réels.

Le plan (P) a pour équation $x - 2y + 3z + 5 = 0$. 

Le plan (S) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 2 + t + 2t'\\
y&=&- t - 2t'\\
z&=&- 1 - t + 3t'
\end{array}\right.$ 

La droite (D) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 2 + t\\
y&=&- t \\
z&=&- 1 - t
\end{array}\right.$
 
On donne les points de l'espace M$(-1~;~2~;~3)$ et N$(1~;~-2~;~9)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une représentation paramétrique du plan (P) est : 

\medskip
\scriptsize{\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t\\y&=& 1- 2t\\ z&=& -1 + 3t \end{array}\right.$&
\textbf{b.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t + 2t'\\y&=& 1- t + t'\\z&=& - 1 - t\end{array}\right.$&
\textbf{c.~}$\left\{\begin{array}{l c l} 	 
x&=&t + t'\\ y&=& 1 - t- 2t'\\z&=& 1 - t - 3t'\end{array}\right.$& 
\textbf{d.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& 1 + 2t + t'\\y&=& 1 - 2t + 2t'\\z&=& - 1 - t'\end{array}\right.$
\end{tabularx}} \normalsize

\medskip 	 	 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item La droite (D) et le plan (P) sont sécants au point A$(- 8~;~3~;~2)$. 
		\item La droite (D) et le plan (P) sont perpendiculaires. 
		\item La droite (D) est une droite du plan (P). 
		\item La droite (D) et le plan (P) sont strictement parallèles.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont orthogonales. 
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont parallèles. 
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont sécantes. 
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont confondues.
	\end{enumerate}		 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les plans (P) et (S) sont parallèles. 
		\item La droite $(\Delta)$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&t\\y&=&- 2 - t\\z &=& -3-t \end{array}\right.$ est la droite d'intersection des plans  (P) et (S). 
		\item Le point M appartient à l'intersection des plans (P) et (S). 
		\item Les plans (P) et (S) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
 
\pagebreak
 \section{Métropole 2013}
 
 Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. 

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.\index{complexes}

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Proposition 1 :} Dans le plan muni d'un repère orthonormé, l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie l'égalité $|z - \text{i}| = |z + 1|$ est une droite. 

\medskip

\item \textbf{Proposition 2 :} Le nombre complexe $\left(1 + \text{i}\sqrt{3}\right)^4$ est un nombre réel. 

\medskip

\item Soit ABCDEFGH un cube.\\

\parbox{0.5\linewidth}{ 
\textbf{Proposition 3 :} Les droites (EC) et (BG) sont orthogonales.} \hfill  
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(5.6,5.6)
\psframe(0.6,0.6)(3.7,3.7)%ABFE
\psline(3.7,0.6)(5,2.1)(5,5.2)(3.7,3.7)%BCGF
\psline(5,5.2)(1.9,5.2)(0.6,3.7)%GHE
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt](0.6,0.6)(1.9,2.1)(5,2.1)%ADC
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt](1.9,2.1)(1.9,5.2)%DH
\uput[dl](0.6,0.6){A} \uput[dr](3.7,0.6){B} \uput[r](5,2.1){C} 
\uput[l](1.7,2.1){D} \uput[l](0.6,3.7){E} \uput[r](3.7,3.7){F} 
\uput[ur](5,5.2){G} \uput[ul](1.9,5.2){H} 
\end{pspicture}}

\medskip

\item L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. Soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x + y + 3z + 4 = 0$. On note S le point de coordonnées $(1\,, -2\,, - 2)$.
 
\textbf{Proposition 4 :} La droite qui passe par S et qui est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$ a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l @{\;=\;} l}
x&2 + t\\
y& - 1 + t\\
z&1 + 3t
\end{array}\right.$, $t \in \textbf{R}$.  
\end{enumerate}


\section{Polynésie 2013}

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est exacte. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $z_1 = \sqrt{6} \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{4}}$ et $z_2 = \sqrt{2} \text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{3}}$. La forme exponentielle de $\text{i} \dfrac{z_1}{z_2}$ est :

\begin{tabularx}{1.0\linewidth}{XXXX}
\textbf{a.} $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{19\pi}{12}}$ & 
\textbf{b.} $\sqrt{12} \text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{12}}$ & 
\textbf{c.} $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{7\pi}{12}}$ & 
\textbf{d.} $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{13\pi}{12}}$
\end{tabularx}

\item L'équation $- z = \overline z$, d'inconnue complexe $z$, admet :
	\begin{enumerate}
		\item une solution
		\item deux solutions
		\item une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite.
		\item une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur un cercle.
	\end{enumerate}
\item Dans un repère de l'espace, on considère les trois points $A(1~;~2~;~3)$, $B(-1~;~5~;~4)$ et $C(-1~;~0~;~4)$. La droite parallèle à la droite $(AB)$ passant par le point $C$ a pour représentation paramétrique :

\begin{tabularx}{1.0\linewidth}{XX}
\textbf{a.} $\begin{cases}
      x = -2t-1 \\ y=3t \\ z=t+4
    \end{cases}, t\in \mathbb{R}$ & 
\textbf{b.} $\begin{cases}
      x=-1 \\ y=7t \\ z=7t+4
    \end{cases}, t \in \mathbb{R}$ \\
\textbf{c.} $\begin{cases}
      x=-1-2t \\ y=5+3t \\ z=4+t
    \end{cases}, t \in \mathbb{R}$ &
\textbf{d.} $\begin{cases}
      x=2t \\ y=-3t \\ z=-t
    \end{cases}, t \in \mathbb{R}$
\end{tabularx}

\item Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $\mathscr P$ passant par le point $D(-1~;~2~;~3)$ et de vecteur normal $\vect{n}(3~;~-5~;~1)$, et la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\begin{cases}
x = t - 7 \\ y = t + 3 \\ z = 2t + 5
  \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.
  	\begin{enumerate}
  		\item La droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $\mathscr P$.
  		\item La droite $\Delta$ est parallèle au plan $\mathscr P$ et n'a pas de point commun avec le plan $\mathscr P$.
  		\item La droite $\Delta$ et le plan $\mathscr P$ sont sécants.
  		\item La droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathscr P$.
  	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Antilles-Guyanne 2013}

\begin{multicols}{2}
\textbf{Description de la figure dans l'espace muni du repère orthonormé $\left(A~;~\vect{AB}~;~\vect{AD}~;~\vect{AE}\right)$:}
\\
$ABCDEFGH$ désigne un cube de côté 1.

On appelle $\mathcal{P}$ le plan $(AFH)$.

Le point $I$ est le milieu du segment $[AE]$,

le point $J$ est le milieu du segment $[BC]$,

le point $K$ est le milieu du segment $[HF]$,

le point $L$ est le point d'intersection de la droite $(EC)$ et du plan $\mathcal{P}$.

\smallskip

\begin{center}

\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture}(0,0)(8,7)
\pspolygon[linewidth=0pt,linecolor=white,hatchcolor=lightgray,fillstyle=hlines,hatchangle=75.0,hatchsep=0.1](1,1)(5.04,5.26)(3.32,6.58)
\psline(1,1)(5.04,1.26)
\psline(5.04,1.26)(7.36,2.84)
\psline[linestyle=dashed](7.36,2.84)(3.32,2.58)
\psline[linestyle=dashed](3.32,2.58)(1,1)
\psline(1,1)(1,5)
\psline(1,5)(5.04,5.26)
\psline(5.04,5.26)(7.36,6.84)
\psline(3.32,6.58)(7.36,6.84)
\psline(3.32,6.58)(1,5)
\psline[linestyle=dashed](3.32,2.58)(3.32,6.58)
\psline(7.36,2.84)(7.36,6.84)
\psline(5.04,5.26)(5.04,1.26)
\psline(5.04,5.26)(1,1)
\psline[linestyle=dashed](1,1)(3.32,6.58)
\psline(3.32,6.58)(5.04,5.26)
\psline[linestyle=dashed](1,5)(7.36,2.84)
\psline[linestyle=dashed](6.2,2.05)(1,3)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,1)
\rput[bl](0.72,0.66){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.04,1.26)
\rput[bl](5.1,1){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.32,2.58)
\rput[bl](3.4,2.7){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,5)
\rput[bl](0.74,5.12){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.36,2.84)
\rput[bl](7.54,2.7){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.04,5.26)
\rput[bl](5.24,5){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.32,6.58)
\rput[bl](3.12,6.8){$H$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.36,6.84)
\rput[bl](7.48,6.84){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,3)
\rput[bl](0.7,3.02){$I$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.2,2.05)
\rput[bl](6.4,1.7){$J$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4.18,5.92)
\rput[bl](4.26,5.96){$K$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.12,4.28)
\rput[bl](3.06,4.46){$L$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture}

\end{center}

\end{multicols}

\medskip

\emph{Ceci est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont strictement parallèles.
		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont non coplanaires.
		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont sécantes.
		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont confondues.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le produit scalaire $\vect{AF}\cdot\vect{BG}$ est égal à 0.
		\item Le produit scalaire $\vect{AF}\cdot\vect{BG}$ est égal à $(-1)$.
		\item Le produit scalaire $\vect{AF}\cdot\vect{BG}$ est égal à 1.
		\item Le produit scalaire $\vect{AF}\cdot\vect{BG}$ est égal à 2.
	\end{enumerate}
\item Dans le repère orthonormé $\left(A~;~\vect{AB}~;~\vect{AD}~;~\vect{AE}\right)$:
	\begin{enumerate}
		\item Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x + y + z - 1=0$.
		\item Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x- y + z=0$.
		\item Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $- x + y + z=0$.
		\item Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x + y - z = 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\vect{EG}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
		\item $\vect{EL}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
		\item $\vect{IJ}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
		\item $\vect{DI}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $\vect{AL}=\frac12\vect{AH} + \frac12\vect{AF}$.
		\item $\vect{AL}=\frac13\vect{AK}$.
		\item $\vect{ID}=\frac12\vect{IJ}$.
		\item $\vect{AL}=\frac13\vect{AB}+\frac13\vect{AD}+\frac23\vect{AE}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Amérique Du Nord 2013}

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
 
On considère les points A(0~;~4~;~1), B (1~;~3~;~0), C$(2~;~-1~;~- 2)$ et D $(7~;~- 1~;~4)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. 
\item Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur  
$\vect{u}(2~;~- 1~;~3)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC). 
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). 
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. 
		\item Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC).
	\end{enumerate} 
\item Soit $\mathcal{P}_{1}$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $\mathcal{P}_{2}$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants. 
		\item Vérifier que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-4t-2\\ 
y &=&t\\ 
z &=& 3t + 2
\end{array}\right., \:\: t \in \R$. 
		\item La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak

\section{Asie 2013}

\emph{Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.\\ 
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d'elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip
 
Dans les questions 1. et 2., le plan est rapporté au repère orthonormé direct \Ouv.\index{complexes} 

On considère les points A, B, C, D et E d'affixes respectives : 

\[a = 2 + 2\text{i},\quad  b = - \sqrt{3} + \text{i},\quad c = 1 + \text{i}\sqrt{3},\quad d = - 1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\quad \text{et}\quad e = - 1 + \left(2 + \sqrt{3} \right)\text{i}.\] 

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 1} : les points A, B et C sont alignés. 
\item \textbf{Affirmation 2} : les points B, C et D appartiennent à un même cercle de centre E. 
\item Dans cette question, l'espace est muni d'un repère \Oijk.
 
On considère les points I(1~;~0~;~0), J(0~;~1~;~0) et K(0~;~0~;~1).  

\textbf{Affirmation 3} : la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 2 - t \\
y &=& 6 - 2 t\\
z &=&-2 + t
\end{array}\right.$  où $t \in \R$, coupe le plan  (IJK) au point E$\left(- \dfrac{1}{2}~;~1~;~\dfrac{1}{2} \right)$.
\item Dans le cube ABCDEFGH, le point T est le milieu du segment [HF].

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,7.4)
\psline(2.1,1)(6.2,1)(5.6,5)(1.5,5)(2.6,6.9)(6.8,6.9)(5.6,5)%ABFEHGF
\psline(6.2,1)(7.4,3)(6.8,6.9)%BCG
\psline(0,5.42)(1.5,5)
\psline(7.4,3)(8.6,2.7)
\psline(2.1,1)(1.5,5)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](1.5,5)(7.4,3)%EC
\psline(4.8,7.6)(4.1,6)
\psline(2.1,1)(1.8,0.4)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](4.1,6)(2.1,1)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](2.1,1)(3.3,3)(7.4,3)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](3.3,3)(2.6,6.9)
\uput[l](2.1,1){A} \uput[dr](6.2,1){B} \uput[ur](7.4,3){C} 
\uput[ur](3.3,3){D} \uput[ul](1.5,5){E} \uput[ul](5.6,5){F} 
\uput[ur](6.8,6.9){G} \uput[ul](2.6,6.9){H} \uput[ul](4.1,6){T} 
\end{pspicture}
\end{center} 

\textbf{Affirmation 4} : les droites (AT) et (EC) sont orthogonales
\end{enumerate}

\pagebreak

\section{Centre Etranger 2013}

\emph{Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.}
\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère 
\begin{itemize}
\item les points A $(12~;~0~;~0)$, B $( 0~;~-15~;~0)$, C $( 0~;~0~;~20)$, D $(2~;~7~;~- 6)$, E $(7~;~3~;~-3)$;
\item le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne : $2x + y - 2z - 5 = 0 $
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Affirmation 1}

Une équation cartésienne du plan parallèle à $\mathscr{P}$ et passant par le point A est :
 
\[2x + y + 2z - 24 = 0\]

\textbf{Affirmation 2}

Une représentation paramétrique de la droite (AC) est : $\left\{\begin{array}{*{3}{l}}x&=&9 - 3t\\y&=&0\\
z&=&5 + 5t\end{array}\right.,~t\in\mathbb{R}$.

\textbf{Affirmation 3}

La droite (DE) et le plan $\mathscr{P}$ ont au moins un point commun.

\textbf{Affirmation 4}

La droite (DE) est orthogonale au plan (ABC).


\section{Antilles Guyanne Septembre 2013}

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\textbf{Restitution organisée de connaissances}

\medskip
 
Soit $\Delta$ une droite de vecteur directeur $\vect{v}$ et soit P un plan.
 
On considère deux droites sécantes et contenues dans P : la droite D$_{1}$ de vecteur directeur $\vect{u_{1}}$ et la droite D$_{2}$ de vecteur directeur $\vect{u_{2}}$.
 
Montrer que $\Delta$ est orthogonale à toute droite de P si et seulement si $\Delta$ est orthogonale à D$_{1}$ et à D$_{2}$.

\bigskip

\index{géométrie dans l'espace}
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les trois points 

\[\text{A}(0~;~- 1~;~1),\quad  \text{B}(4~;~-3~;~0)\:\: \text{et}\:\: \text{C}(- 1~;~-2~;~-1).\]
 
On appelle P le plan passant par A, B et C.
 
 
On appelle $\Delta$ la droite ayant pour représentation paramétrique  $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& t\\y &=& 3t - 1\\z &=& -2t + 8
\end{array}\right.$ avec $t$ appartenant à $\R$.
  
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 1} : $\Delta$ est orthogonale à toute droite du plan P. 
\item \textbf{Affirmation 2} : les droites $\Delta$ et (AB) sont coplanaires. 
\item \textbf{Affirmation 3} : Le plan P a pour équation cartésienne $x + 3y - 2z + 5 = 0$. 
\item On appelle D la droite passant par l'origine et de vecteur directeur $\vect{u}(11~;~- 1~;~4)$.
 
\textbf{Affirmation 4} : La droite D est strictement parallèle au plan d'équation $x + 3y - 2z + 5 = 0$. 
\end{enumerate}

\section{Métropole Septembre 2013}

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.}

\medskip
 
Pour chaque question, trois réponses sont proposées et une seule d'entre elles est exacte.
 
\textbf{Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie et justifiera son choix.}

\medskip
 
li est attribué un point par réponse correcte et convenablement justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

\index{géométrie dans l'espace}

\medskip
 
Pour les questions 1 et 2, l'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. 
 
 ,  
La droite $\mathcal{D}$ est définie par la représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x	&=	&5 - 2t\\
y	&=	& 1 + 3t\\
z	&=	&4
\end{array}\right.,\: t \in \R.$

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne $3x + 2y + z - 6 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item La droite $\mathcal{D}$ est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$. 
		\item La droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$. 
		\item La droite $\mathcal{D}$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate} 
\item On note $\mathcal{D}'$ la droite qui passe par le point A de coordonnées $(3~;~1~;~1)$ et a pour vecteur directeur $\vect{u} = 2\vect{i} - \vect{j} + 2\vect{k}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont parallèles. 
		\item Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont sécantes. 
		\item Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ne sont pas coplanaires.
	\end{enumerate}
	 
\hspace{-0.8cm}Pour les questions 3 et 4, le plan est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O.

\medskip
 
\item Soit $\mathcal{E}$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z + \text{i}| = |z - \text{i}|$.
	\begin{enumerate}
		\item $\mathcal{E}$ est l'axe des abscisses. 
		\item $\mathcal{E}$ est l'axe des ordonnées. 
		\item $\mathcal{E}$ est le cercle ayant pour centre O et pour rayon 1.
	\end{enumerate} 
\item On désigne par B et C deux points du plan dont les affixes respectives $b$ et $c$ vérifient l'égalité $\dfrac{c}{b} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\dfrac{\pi}{4}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Le triangle OBC est isocèle en O. 
		\item Les points O, B, C sont alignés. 
		\item Le triangle OBC est isocèle et rectangle en B.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\pagebreak
\section{Amérique du sud Novembre 2013}
On considère le cube ABCDEFGH, d'arête de longueur 1, représenté ci-dessous et on munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.\index{géométrie dans l'espace} 

\begin{figure}
\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(10,10.2)
\pspolygon(0.9,1.3)(7,0.4)(9.2,3)(9.2,8.9)(3.2,9.9)(0.9,7.4)%BCDHEF
\psline(0.9,7.4)(7,6.4)(9.2,8.9)%FGH
\psline(7,6.4)(7,0.4)%GC
\psline(3.2,9.9)(7,6.4)(0.9,1.3)%EGB
\psline[linestyle=dashed](0.9,1.3)(3.2,9.9)%GBE
\psline[linestyle=dashed](0.9,7.4)(9.2,3)%FD
\psline[linestyle=dashed](0.9,1.3)(3,4.2)(3.2,9.9)%BAE
\psline[linestyle=dashed](3,4.2)(9.2,3)%AD
\uput[dl](0.9,1.3){B} \uput[dr](7,0.4){C} \uput[r](9.2,3){D} \uput[ul](3,4.2){A} 
\uput[ul](0.9,7.4){F} \uput[dr](7,6.4){G} \uput[ur](9.2,8.9){H} \uput[ul](3.2,9.9){E} 
\uput[u](3.6,5.95){K}\psdots(3.6,5.95)  
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD). 
\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\- 1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BGE) et déterminer une équation du plan (BGE). 
\item Montrer que la droite (FD) est perpendiculaire au plan (BGE) en un point K de coordonnées K$\left(\frac{2}{3}~;~\frac{1}{3}~;~\frac{2}{3}\right)$. 
\item Quelle est la nature du triangle BEG ? Déterminer son aire. 
\item En déduire le volume du tétraèdre BEGD. 
\end{enumerate}

\end{document}