\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Annales}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Les lois continues}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{Exercices}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav


\section{Pondichéry 2014}


\begin{exoi}
Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La durée de vie, exprimée en années, d'un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif. 

On sait que $P(X \leqslant 2) = 0,15$.

Déterminer la valeur exacte du réel $\lambda$.

\medskip

\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice on prendra $0,081$ pour valeur de $\lambda$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P(X \geqslant 3)$. 
		\item Montrer que pour tous réels positifs $t$ et $h,\: P_{X \geqslant t}(X \geqslant t + h) = P(X \geqslant  h)$. 
		\item Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu'il fonctionne encore 2 ans ? 
		\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et donner une interprétation de ce résultat.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à\:} \boldmath $10^{-3}$\unboldmath
  
L'entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1\,\%. Afin de vérifier cette affirmation 800 moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux. 

Le résultat de ce test remet-il en question l'annonce de l'entreprise A ? Justifier. On pourra s'aider d'un intervalle de fluctuation. 
\end{enumerate}
\end{exoi}


\section{Nouvelle Calédonie Mars 2014}

\begin{exoi}
\textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\textbf{Restitution organisée des connaissances}

\medskip
 
L'objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant :
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{m{1.5cm}|X}
&Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel $\alpha$ appartenant à l'intervalle ]0~;~ 1[, il existe un unique réel strictement positif $\chi_{\alpha}$ tel que $P\left(- \chi_{\alpha} \leqslant X \leqslant \chi_{\alpha}\right) = 1 - \alpha$.
\end{tabularx} 

\medskip

Soit $f$  la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par 

\[f(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\text{e}^{- \frac{t^2}{2}}.\]
 
Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[H(x) = P(- x \leqslant X \leqslant x) = \displaystyle\int_{- x}^{x} f(t)\:\text{d}t.\]

\begin{enumerate}
\item Que représente la fonction $f$ pour la loi normale centrée réduite ? 
\item Préciser $H(0)$ et la limite de $H(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. 
\item À l'aide de considérations graphiques, montrer que pour tout nombre réel positif $x,\: H(x) = 2\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\:\text{d}t$. 
\item En déduire que la dérivée $H'$ de la fonction $H$ sur $[0~;~+ \infty[$ est la fonction $2f$ et dresser le tableau de variations de $H$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
\item Démontrer alors le théorème énoncé. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Un laboratoire se fournit en pipettes auprès de deux entreprises, notées A et B.
 
60\,\% des pipettes viennent de l'entreprise A et 4,6\,\% des pipettes de cette entreprise possèdent un défaut.
 
Dans le stock total du laboratoire, 5\,\% des pièces présentent un défaut. On choisit au hasard une pipette dans le stock du laboratoire et on note :

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{description}
\item[ ] $A$ l'évènement : \og La pipette est fournie par l'entreprise A \fg{} ;
\item[ ] $B$ l'évènement : \og La pipette est fournie par l'entreprise B \fg{} ; 
\item[ ] $D$ l'évènement : \og La pipette a un défaut \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La pipette choisie au hasard présente un défaut ; quelle est la probabilité qu'elle vienne de l'entreprise A ? 
\item Montrer que $p(B \cap D) = {0,0224}$. 
\item Parmi les pipettes venant de l'entreprise B, quel pourcentage de pipettes présente un défaut ? 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Une pipette est dite conforme si sa contenance est comprise, au sens large entre 98 millilitres (mL) et 102 mL.
 
Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque pipette prise au hasard dans le stock d'un laboratoire associe sa contenance (en millilitres).

On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et écart type $\sigma$ tels que $\mu = 100$ et $\sigma^2 = {1,0424}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est alors la probabilité, à $10^{-4}$ près, pour qu'une pipette prise au hasard soit conforme ? On pourra s'aider de la table ci-dessous ou utiliser une calculatrice.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Contenance $x$ (en mL)& 95 &96 &97 &98 &99\\ \hline 
$P(X \leqslant x)$ $\left(\text{arrondi à }\:10^{- 5}\right)$&{0,00000} &{0,00004} &{0,00165} &{0,02506} &{0,16368}\\ \hline\hline 
Contenance $x$ (en mL)&100 &101 &102 &103 &104\\ \hline
$P(X \leqslant x)$ $\left(\text{arrondi à }\:10^{- 5}\right)$&0,5 &{0,83632} &{0,97494} &{0,99835} 
&{0,99996}\\ \hline  
\end{tabularx}
\end{center}
 
Pour la suite, on admet que la probabilité pour qu'une pipette soit non-conforme est $p = 0,05$. 
\item On prélève dans le stock du laboratoire des échantillons de pipettes de taille $n$, où $n$ est un  entier naturel supérieur ou égal à $100$. On suppose que le stock est assez important pour considérer ces tirages comme indépendants.
 
Soit $Y_{n}$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille $n$ associe le nombre de pipettes non-conformes de l'échantillon. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y_{n}$ ? 
		\item Vérifier que $n \geqslant 30,\: np \geqslant 5$ et $n(1 - p) \geqslant 5$. 
		\item Donner en fonction de $n$ l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence des pipettes non-conformes dans un échantillon.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{exoi}
\section{Liban 2013}


L'entreprise \emph{Fructidoux} fabrique des compotes qu'elle conditionne en petits pots de 50~grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination \og compote allégée \fg. 

La législation impose alors que la teneur en sucre, c'est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme.
 
L'entreprise possède deux chaînes de fabrication F$_{1}$ et F$_{2}$.

\medskip
 
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
La chaîne de production F$_{2}$ semble plus fiable que la chaîne de production F$_{1}$. Elle est cependant moins rapide.
 
Ainsi, dans la production totale, 70\,\% des petits pots proviennent de la chaîne F$_{1}$ et 30\,\% de la chaîne F$_{2}$.
 
La chaîne F$_{1}$ produit 5\,\% de compotes non conformes et la chaîne F$_{2}$ en produit 1\,\%.
 
On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les évènements :
 
$E$ : \og Le petit pot provient de la chaîne F$_{2}$ \fg 

$C$ : \og Le petit pot est conforme. \fg

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre\index{arbre de probabilités} pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement : \og Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production F$_{1}$. \fg 
\item Déterminer la probabilité de l'évènement $C$. 
\item Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité de l'évènement $E$ sachant que l'évènement $C$ est réalisé.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 

On note $X$ la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F$_{1}$, associe sa teneur en sucre.
 
On suppose que $X$ suit la loi normale\index{loi normale} d'espérance $m_{1} = 0,17$ et d'écart-type $\sigma_{1} = 0,006$. 

Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$\alpha$& $\beta$&$P(\alpha \leqslant X \leqslant \beta)$\\ \hline  
0,13 &0,15 &{0,0004}\\ \hline 
0,14 &0,16 &{0,0478}\\ \hline 
0,15 &0,17 &{0,4996} \\ \hline
0,16 &0,18 &{0,9044}\\ \hline 
0,17 &0,19 &{0,4996}\\ \hline 
0,18 &0,20 &{0,0478}\\ \hline 
0,19 &0,21 &{0,0004} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F$_{1}$ soit conforme. 
\item On note $Y$ la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F$_{2}$, associe sa teneur en sucre.
 
On suppose que $Y$ suit la loi normale\index{loi normale} d'espérance $m_{2} = 0,17$ et d'écart-type $\sigma_{2}$.
 
On suppose de plus que la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F$_{2}$ soit conforme est égale à $0,99$.
 
Soit Z la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{Y - m_{2}}{\sigma_{2}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle loi la variable aléatoire $Z$ suit-elle ? 
		\item Déterminer, en fonction de $\sigma_{2}$ l'intervalle auquel appartient $Z$ lorsque $Y$ appartient à l'intervalle [0,16~;~0,18]. 
		\item En déduire une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\sigma_{2}$.
		 
On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoire $Z$ suit la loi normale\index{loi normale} d'espérance $0$ et d'écart-type $1$.
	\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$\beta$&$P(- \beta  \leqslant Z \leqslant \beta)$\\ \hline 
{2,4324} &0,985\\ \hline 
{2,4573} &0,986\\ \hline 
{2,4838} &0,987\\ \hline 
{2,5121} &0,988\\ \hline 
{2,5427} &0,989\\ \hline 
{2,5758} &0,990\\ \hline 
{2,6121} &0,991\\ \hline 
{2,6521} &0,992\\ \hline
{2,6968} &0,993\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\end{enumerate} 


\section{Amérique du nord 2013}

\begin{center}
\emph{Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres}\end{center}
 
Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400~grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385~grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385~grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385~grammes est commercialisable.
 
La masse d'un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale\index{loi normale} d'espérance $\mu = 400$ et d'écart-type $\sigma = 11$.

\medskip
 
\emph{Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\emph{On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.}

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&380&385&390&395&400&405&410&415&420\\ \hline
$P(X \leqslant x)$&0,035&0,086&0,182&0,325&0,5&0,675&0,818&0,914&0,965\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(390 \leqslant X \leqslant 410)$. 
\item Calculer la probabilité\index{probabilité} $p$ qu'un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable. 
\item Le fabricant trouve cette probabilité $p$ trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de $\sigma$ sans modifier celle de $\mu$.
 
Pour quelle valeur de $\sigma$ la probabilité qu'un pain soit commercialisable est-elle égale à 96\,\% ? On arrondira le résultat au dixième.
 
On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque $Z$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale\index{loi normale} d'espérance $0$ et d'écart-type 1, on a $P(Z \leqslant  -1,751) \approx 0,040$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d'obtenir 96\,\% de pains commercialisables. 

Afin d'évaluer l'efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300~pains fabriqués.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille $300$. 
\item Parmi les $300$~pains de l'échantillon, $283$ sont commercialisables. 

Au regard de l'intervalle de fluctuation\index{intervalle de fluctuation} obtenu à la question 1, peut-on décider que l'objectif a été atteint ? 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip 

Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle\index{loi exponentielle} de paramètre $\lambda$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30~jours est de $0,913$. En déduire la valeur de $\lambda$ arrondie au millième.

\medskip
 
Dans toute la suite on prendra $\lambda = 0,003$.

\medskip
 
\item Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90~jours, sachant qu'elle a fonctionné sans dérèglement 60~jours ? 
\item Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu'il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ? 
\end{enumerate}


\section{Polynésie 2013}

\begin{exoi}
\emph{Les $3$ parties peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

Thomas possède un lecteur MP3 sur lequel il a stocké plusieurs milliers de morceaux musicaux.

L'ensemble des morceaux musicaux qu'il possède se divise en trois genres distincts selon la répartition suivante :
\begin{center}
30~\% de musique classique, 45~\% de variété, le reste étant du jazz.
\end{center}

Thomas a utilisé deux qualités d'encodage pour stocker ses morceaux musicaux : un encodage de haute qualité et un encodage standard. On sait que : 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] les $\dfrac{5}{6}$ des morceaux de musique classique sont encodés en haute qualité.
\item[$\bullet$] les $\dfrac{5}{9}$ des morceaux de variété sont encodés en qualité standard.
\end{itemize}

\medskip

On considérera les évènements suivants :

\begin{description}
\item[$C$ :] \og Le morceau écouté est un morceau de musique classique \fg{} ;
\item[$V$ :] \og Le morceau écouté est un morceau de variété \fg{} ;
\item[$J$ :] \og Le morceau écouté est un morceau de jazz \fg{} ;
\item[$H$ :] \og Le morceau écouté est encodé en haute qualité \fg{} ;
\item[$S$ :] \og Le morceau écouté est encodé en qualité standard \fg.
\end{description}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

Thomas décide d'écouter un morceau au hasard parmi tous les morceaux stockés sur son MP3 en utilisant la fonction \og lecture aléatoire \fg{}.

\emph{On pourra s'aider d'un arbre de probabilités\index{arbre de probabilités}.}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un morceau de musique classique encodé en haute qualité ?
\item On sait que $P(H)=\dfrac{13}{20}$.
	\begin{enumerate}
		\item Les évènements $C$ et $H$ sont-ils indépendants ?
		\item Calculer $P(J \cap H)$ et $P_J(H)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

Pendant un long trajet en train, Thomas écoute, en utilisant la fonction \og lecture aléatoire \fg{} de son MP3, 60 morceaux de musique.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95~\% de la proportion de morceaux de musique classique dans un échantillon de taille 60.
\item Thomas a comptabilisé qu'il avait écouté 12 morceaux de musique classique pendant son voyage. Peut-on penser que la fonction \og lecture aléatoire \fg{} du lecteur MP3 de Thomas est défectueuse ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 3}

\medskip

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque chanson stocké sur le lecteur MP3, associe sa durée exprimée en secondes et on établit que $X$ suit la loi normale\index{loi normale} d'espérance $200$ et d'écart-type $20$.

\medskip

\emph{On pourra utiliser le tableau fourni en annexe dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.}

\medskip

On écoute un morceau musical au hasard.
\begin{enumerate}
\item Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P(180 \leqslant X \leqslant 220)$.
\item Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité\index{probabilité} que le morceau écouté dure plus de 4 minutes.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\section{Centres Etrangers 2013}
\begin{exoi}

Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des  circuits hydrauliques.

Les quatre parties A, B, C, D sont indépendantes.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La durée de vie d'une vanne, exprimée en heures, est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle\index{loi exponentielle} de paramètre $\lambda = \numprint{0,0002} $.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la durée de vie moyenne d'une vanne ? 

\item Calculer la probabilité, à $0,001$ près, que la durée de vie d'une vanne soit supérieure à {6000} heures.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie B}

\parbox{8cm}{ Avec trois vannes identiques $V_{1}$, $V_{2}$ et $V_{3}$, on fabrique le circuit hydraulique ci-contre.\\
Le circuit est en état de marche si $V_{1}$ est en état d arche ou si $V_{2}$ et $V_{3}$ le sont simultanément.}\hfill\parbox{10cm}{\psset{unit=0.8}
\begin{pspicture}(-1,-2)(10,3)
%\psgrid
\psline(0,0)(2,0)
\psline(2,0)(4,1)
\psframe(4,0.5)(5,1.5)
\psline(5,1)(8,0)
\psline(2,0)(3,-1)
\psframe(3,-1.5)(4,-0.5)
\psline(4,-1)(5,-1)
\psframe(5,-1.5)(6,-0.5)
\psline(6,-1)(8,0)
\psline(8,0)(10,0)
\uput[u](4.5,0.7){$V_{1}$}
\uput[d](3.5,-0.7){$V_{2}$}\uput[d](5.5,-0.7){$V_{3}$}
\end{pspicture}}

On assimile à une expérience aléatoire le fait que chaque vanne est ou n'est pas en état de marche après \numprint{6000} heures. On note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $F_{1}$ l'évènement : \og la vanne $V_{1}$ est en état de marche après {6000} heures \fg.
\item[$\bullet~~$] $F_{2}$ l'évènement : \og la vanne $V_{2}$ est en état de marche après {6000} heures \fg.
\item[$\bullet~~$] $F_{3}$ l'évènement : \og la vanne $V_{3}$ est en état de marche après {6000} heures \fg.
\item[$\bullet~~$] $E$ : l'évènement : \og le circuit est en état de marche après {6000} heures \fg.
\end{itemize}

On admet que les évènements $F_{1}$, $F_{2}$ et $F_{3}$ sont deux à deux indépendants et ont chacun une  probabilité égale à $0,3$.

\parbox{8cm}{\begin{enumerate}
\item L'arbre probabiliste ci-contre représente une partie de la situation.

Reproduire cet arbre et placer les probabilités sur les branches. 
\item Démontrer que $P(E) = 0,363$. 

\item Sachant que le circuit est en état de marche après {6000} heures, calculer la probabilité que la vanne $V_{1}$ soit en état de marche à ce moment là. Arrondir au millième.

\end{enumerate}}\hfill
\parbox{8cm}{
\psset{nodesep=2mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\TR{}~[tnpos=r]{$F_1$}
\pstree
	{\TR{}~[tnpos=a]{$\overline{F_{1}}$}}
		{
			\pstree
				{\TR{}~[tnpos=r]{$F_{2}$}}
				{\TR{}~[tnpos=r]{$F_{3}$}
				\Tn
				}
				\Tn
		}
}
}
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

L'industriel affirme que seulement 2\,\% des vannes qu'il fabrique sont défectueuses. On suppose que cette affirmation est vraie, et l'on note $F$ la variable aléatoire égale à la fréquence de vannes défectueuses dans un échantillon aléatoire de $400$ vannes prises dans la production totale.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer l'intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la variable $F$, 

\item On choisit $400$ vannes au hasard dans la production, On assimile ce choix à un tirage aléatoire de $400$ vannes, avec remise, dans la production.

Parmi ces $400$ vannes, $10$ sont défectueuses.
 
Au vu de ce résultat peut-on remettre en cause. au seuil de 95\,\%, l'affirmation de l'industriel? 
\end{enumerate}
\bigskip
 \textbf{Partie D}

\medskip

\emph{Dans cette partie, les probabilités calculées seront arrondies au millième.}

L'industriel commercialise ses vannes auprès de nombreux clients, La demande mensuelle est une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale\index{loi normale} d'espérance $\mu = 800$ et d'écart-type $\sigma = 40$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(760\leqslant D \leqslant 840)$.
\item Déterminer $P(D\leqslant 880)$. 

\item L'industriel pense que s'il constitue un stock mensuel de $880$ vannes, il n'aura pas plus de 1\,\% de chance d'être en rupture de stock. A-t-il raison ? 
\end{enumerate}
\end{exoi}


\section{Antilles Guyanne 2013}

\begin{exoi}
\textbf{Partie A}

\smallskip

Soient $n$ un entier naturel, $p$ un nombre réel compris entre 0 et 1, et $X_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale\index{loi binomiale} de paramètres $n$ et $p$. On note $F_n = \frac{X_n}{n}$ et $f$ une valeur prise par $F_n$. On rappelle que, pour $n$ assez grand, l'intervalle $\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ contient la fréquence $f$ avec une probabilité\index{probabilité} au moins égale à {0,95}.

\medskip

En déduire que l'intervalle $\left[f - \frac{1}{\sqrt{n}}~;~f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ contient $p$ avec une probabilité au moins égale à {0,95}.

\medskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

On cherche à étudier le nombre d'étudiants connaissant la signification du sigle URSSAF. Pour cela, on les interroge en proposant un questionnaire à choix multiples. Chaque étudiant doit choisir parmi trois réponses possibles, notées $A$, $B$ et $C$, la bonne réponse étant la $A$.

On note $r$ la probabilité pour qu'un étudiant connaisse la bonne réponse. Tout étudiant connaissant la bonne réponse répond $A$, sinon il répond au hasard (de façon équiprobable).

\begin{enumerate}
\item On interroge un étudiant au hasard. On note:
	\begin{description}
		\item[$A$] l'évènement \og l'étudiant répond $A$\fg{},
		\item[$B$] l'évènement \og l'étudiant répond $B$\fg{},
		\item[$C$] l'évènement \og l'étudiant répond $C$\fg{},
		\item[$R$] l'évènement \og l'étudiant connait la réponse\fg{},
		\item[$\overline{R}$] l'évènement contraire de $R$.
	\end{description}
	\begin{enumerate}
		\item Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilité.
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est $P(A)=\frac13\left(1+2r\right)$.
		\item Exprimer en fonction de $r$ la probabilité qu'une personne ayant choisie $A$ connaisse la bonne réponse.
	\end{enumerate}
\item Pour estimer $r$, on interroge $400$ personnes et on note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de bonnes réponses. On admettra qu'interroger au hasard $400$ étudiants revient à effectuer un tirage avec remise de $400$ étudiants dans l'ensemble de tous les étudiants.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de $X$ et ses paramètres $n$ et $p$ en fonction de $r$.
		\item Dans un premier sondage, on constate que $240$ étudiants répondent $A$, parmi les $400$ interrogés.

Donner un intervalle de confiance au seuil de 95~\% de l'estimation de $p$.

En déduire un intervalle de confiance au seuil de 95~\% de $r$.
		\item Dans la suite, on suppose que $r = {0,4}$. Compte-tenu du grand nombre d'étudiants, on considérera que $X$ suit une loi normale\index{loi normale}.
			\begin{enumerate}
				\item Donner les paramètres de cette loi normale.
				\item Donner une valeur approchée de $P(X\leqslant 250)$ à $10^{-2}$ près.
				
On pourra s'aider de la table en annexe 1, qui donne une valeur approchée de $P(X\leqslant t)$ où $X$ est la variable aléatoire de la question \textbf{2. c}.
			\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}



\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\multicolumn{5}{|c|}{E12}&\multicolumn{7}{|c|}{=LOI.NORMALE(\$A12+E\$1;240;RACINE(96);VRAI)}\\
\hline
 & A & B & C & D & E & F & G & H & I & J & K \\ \hline
1 & t & 0 & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5 & 0,6 & 0,7 & 0,8 & 0,9 \\ \hline
2 & 235 & 0,305 & 0,309 & 0,312 & 0,316 & 0,319 & 0,323 & 0,327 & 0,330 & 0,334 & 0,338 \\ \hline
3 & 236 & 0,342 & 0,345 & 0,349 & 0,353 & 0,357 & 0,360 & 0,364 & 0,368 & 0,372 & 0,376 \\ \hline
4 & 237 & 0,380 & 0,384 & 0,388 & 0,391 & 0,395 & 0,399 & 0,403 & 0,407 & 0,411 & 0,415 \\ \hline
5 & 238 & 0,419 & 0,423 & 0,427 & 0,431 & 0,435 & 0,439 & 0,443 & 0,447 & 0,451 & 0,455 \\ \hline
6 & 239 & 0,459 & 0,463 & 0,467 & 0,472 & 0,476 & 0,480 & 0,484 & 0,488 & 0,492 & 0,496 \\ \hline
7 & 240 & 0,500 & 0,504 & 0,508 & 0,512 & 0,516 & 0,520 & 0,524 & 0,528 & 0,533 & 0,537 \\ \hline
8 & 241 & 0,541 & 0,545 & 0,549 & 0,553 & 0,557 & 0,561 & 0,565 & 0,569 & 0,573 & 0,577 \\ \hline
9 & 242 & 0,581 & 0,585 & 0,589 & 0,593 & 0,597 & 0,601 & 0,605 & 0,609 & 0,612 & 0,616 \\ \hline
10 & 243 & 0,620 & 0,624 & 0,628 & 0,632 & 0,636 & 0,640 & 0,643 & 0,647 & 0,651 & 0,655 \\ \hline
11 & 244 & 0,658 & 0,662 & 0,666 & 0,670 & 0,673 & 0,677 & 0,681 & 0,684 & 0,688 & 0,691 \\ \hline
12 & 245 & 0,695 & 0,699 & 0,702 & \fbox{\textbf{0,706}} & 0,709 & 0,713 & 0,716 & 0,720 & 0,723 & 0,726 \\ \hline
13 & 246 & 0,730 & 0,733 & 0,737 & 0,740 & 0,743 & 0,746 & 0,750 & 0,753 & 0,756 & 0,759 \\ \hline
14 & 247 & 0,763 & 0,766 & 0,769 & 0,772 & 0,775 & 0,778 & 0,781 & 0,784 & 0,787 & 0,790 \\ \hline
15 & 248 & 0,793 & 0,796 & 0,799 & 0,802 & 0,804 & 0,807 & 0,810 & 0,813 & 0,815 & 0,818 \\ \hline
16 & 249 & 0,821 & 0,823 & 0,826 & 0,829 & 0,831 & 0,834 & 0,836 & 0,839 & 0,841 & 0,844 \\ \hline
17 & 250 & 0,846 & 0,849 & 0,851 & 0,853 & 0,856 & 0,858 & 0,860 & 0,863 & 0,865 & 0,867 \\ \hline
18 & 251 & 0,869 & 0,871 & 0,874 & 0,876 & 0,878 & 0,880 & 0,882 & 0,884 & 0,886 & 0,888 \\ \hline
19 & 252 & 0,890 & 0,892 & 0,893 & 0,895 & 0,897 & 0,899 & 0,901 & 0,903 & 0,904 & 0,906 \\ \hline
20 & 253 & 0,908 & 0,909 & 0,911 & 0,913 & 0,914 & 0,916 & 0,917 & 0,919 & 0,921 & 0,922 \\ \hline
21 & 254 & 0,923 & 0,925 & 0,926 & 0,928 & 0,929 & 0,931 & 0,932 & 0,933 & 0,935 & 0,936 \\ \hline
22 & 255 & 0,937 & 0,938 & 0,940 & 0,941 & 0,942 & 0,943 & 0,944 & 0,945 & 0,947 & 0,948 \\ \hline
23 & 256 & 0,949 & 0,950 & 0,951 & 0,952 & 0,953 & 0,954 & 0,955 & 0,956 & 0,957 & 0,958 \\ \hline
24 & 257 & 0,959 & 0,960 & 0,960 & 0,961 & 0,962 & 0,963 & 0,964 & 0,965 & 0,965 & 0,966 \\ \hline
25 & 258 & 0,967 & 0,968 & 0,968 & 0,969 & 0,970 & 0,970 & 0,971 & 0,972 & 0,972 & 0,973 \\ \hline
26 & 259 & 0,974 & 0,974 & 0,975 & 0,976 & 0,976 & 0,977 & 0,977 & 0,978 & 0,978 & 0,979 \\ \hline
27 & 260 & 0,979 & 0,980 & 0,980 & 0,981 & 0,981 & 0,982 & 0,982 & 0,983 & 0,983 & 0,984 \\ \hline
\end{tabular}
\emph{Extrait d'une feuille de calcul}

\end{center}

Exemple d'utilisation: au croisement de la ligne 12 et de la colonne E  le nombre {0,706} correspond à $P(X\leqslant {245,3})$.


\section{Asie 2013}

\begin{exoi}
Dans cet exercice, les probabilités\index{probabilité} seront arrondies au centième. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80\,\% de ses boîtes chez le fournisseur A et 20\,\% chez le fournisseur B.

\medskip
 
10\,\% des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20\,\% de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.
 
On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item évènement A : \og la boîte provient du fournisseur A \fg{} ; 
\item évènement B : \og la boîte provient du fournisseur B \fg{} ; 
\item évènement S : \og la boîte présente des traces de pesticides \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire l'énoncé sous forme d'un arbre pondéré. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité de l'évènement $B \cap \overline{S}$ ? 
		\item Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à $0,88$.
	\end{enumerate} 
\item On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides. 

Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Le gérant d'un salon de thé achète $10$~boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de $10$~boîtes avec remise.
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui associe à ce prélèvement de $10$~boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale\index{loi binomiale} dont on précisera les paramètres. 
\item Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides. 
\item Calculer la probabilité qu'au moins $8$~boîtes ne présentent aucune trace de pesticides.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
À des fins publicitaires, le grossiste affiche sur ses plaquettes: \og 88\,\% de notre thé est garanti sans trace de pesticides \fg. 

Un inspecteur de la brigade de répression des fraudes souhaite étudier la validité de l'affirmation. À cette fin, il prélève $50$~boîtes au hasard dans le stock du grossiste et en trouve $12$ avec des traces de pesticides.

\medskip
 
On suppose que, dans le stock du grossiste, la proportion de boîtes sans trace de pesticides est bien égale à $0,88$.
 
On note $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $50$~boîtes, associe la fréquence des boîtes ne contenant aucune trace de pesticides.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F$ au seuil de 95\,\%. 
\item L'inspecteur de la brigade de répression peut-il décider, au seuil de 95\,\%, que la publicité est mensongère ? 
\end{enumerate}
 \end{exoi}
 
 \section{Antilles Guyanne Sept. 2013}
 
 \begin{exoi}
 \index{loi normale}

Une entreprise industrielle fabrique des pièces cylindriques en grande quantité. Pour toute pièce prélevée au hasard, on appelle $X$ la variable aléatoire qui lui associe sa longueur en millimètre et $Y$ la variable aléatoire qui lui associe son diamètre en millimètre.
 
On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu_{1} = 36$ et d'écart-type $\sigma_{1} = 0,2$ et que $Y$ suit 
la loi normale de moyenne $\mu_{2} = 6$ et d'écart-type $\sigma_{2} = 0,05$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une pièce est dite conforme pour la longueur si sa longueur est comprise entre $\mu_{1} - 3\sigma_{1}$ et $\mu_{1} + 3\sigma_{1}$. Quelle est une valeur approchée à $10^{- 3}$ près de la probabilité $p_{1}$ pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme pour la longueur ?

\medskip 
\parbox{0.65\linewidth}{\item Une pièce est dite conforme pour le diamètre si son diamètre est compris entre 5,88~mm et 6,12~mm. Le tableau donné ci-contre a été obtenu à l'aide d'un tableur. Il indique pour chacune des valeurs de $k$, la probabilité que $Y$ soit inférieure ou égal à cette valeur.
 
Déterminer à $10^{- 3}$ près la probabilité $p_{2}$ pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme pour le diamètre (on pourra s'aider du tableau ci-contre).}\hfill
\parbox{0.3\linewidth}{$\begin{array}{|c|c|}\hline 
k		& p(Y \leqslant k)\\ \hline 
5,8 	&{3,16712}\text{E}-05\\ \hline 
5,82 	&{0,000159109}\\ \hline 
5,84 	&{0,000687138}\\ \hline 
5,86 	&{0,00255513}\\ \hline 
5,88 	&{0,008197536}\\ \hline 
5,9 	&{0,022750132}\\ \hline 
5,92 	&{0,054799292}\\ \hline 
5,94 	&{0,11506967} \\ \hline
5,96 	&{0,211855399}\\ \hline 
5,98 	&{0,344578258}\\ \hline 
6 		&{0,5}\\ \hline 
6,02 	&{0,655421742}\\ \hline 
6,04 	&{0,788144601}\\ \hline 
6,06 	&{0,88493033}\\ \hline 
6,08 	&{0,945200708}\\ \hline 
6,1 	&{0,977249868}\\ \hline 
6,12 	&{0,991802464}\\ \hline 
6,14 	&{0,99744487}\\ \hline 
6,16 	&{0,999312862}\\ \hline 
6,18 	&{0,999840891}\\ \hline  
6,2 	&{0,999968329}\\ \hline
\end{array}$} 

\item On prélève une pièce au hasard. On appelle $L$ l'évènement \og la pièce est conforme pour la longueur \fg{} et $D$ l'évènement \og la pièce est conforme pour le diamètre \fg. On suppose que les évènements $L$ et $D$ sont indépendants.
	\begin{enumerate}
		\item Une pièce est acceptée si elle est conforme pour la longueur et pour le diamètre.
		 
Déterminer la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard ne soit pas acceptée (le résultat sera arrondi à $10^{-2}$). 
		\item Justifier que la probabilité qu'elle soit conforme pour le diamètre sachant qu'elle n'est pas conforme pour la longueur, est égale à $p_{2}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 \end{exoi}
 
 
 \section{Métropole Sept. 2013}
 
 \begin{exoi}
 Dans une usine, on utilise deux machines A et B pour fabriquer des pièces. 


\medskip

\begin{enumerate}
\item La machine A assure 40\,\% de la production et la machine B en assure 60\,\%.
 
On estime que 10\,\% des pièces issues de la machine A ont un défaut et que 9\,\% des pièces issues de la machine B ont un défaut.
 
On choisit une pièce au hasard et on considère les évènements suivants : 

\index{probabilité}

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $A$ : \og La pièce est produite par la machine A \fg
\item $B$ : \og La pièce est produite par la machine B \fg
\item $D$ : \og La pièce a un défaut \fg.
\item $\overline{D}$,  l'évènement contraire de l'évènement $D$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire la situation à l'aide d'un arbre pondéré. 
		\item Calculer la probabilité que la pièce choisie présente un défaut et ait été fabriquée par la machine A. 
		\item Démontrer que la probabilité $P(D)$ de l'évènement $D$ est égale à $0,094$. 
		\item On constate que la pièce choisie a un défaut.
		 
Quelle est la probabilité que cette pièce provienne de la machine A ?
	\end{enumerate} 
\item On estime que la machine A est convenablement réglée si 90\,\% des pièces qu'elle fabrique sont conformes.
 
On décide de contrôler cette machine en examinant $n$ pièces choisies au hasard ($n$ entier naturel) dans la production de la machine A. On assimile ces $n$ tirages à des tirages successifs indépendants et avec remise.
 
On note $X_{n}$ le nombre de pièces qui sont conformes dans l'échantillon de $n$ pièces, et  $F_{n} = \dfrac{X_{n}}{n}$ la proportion correspondante.
\index{loi binomiale}
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X_{n}$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. 
		\item Dans cette question, on prend $n = 150$.
		 
Déterminer l'intervalle de \index{fluctuation asymptotique}fluctuation asymptotique $I$ au seuil de 95\,\% de la variable aléatoire $F_{150}$. 
		\item Un test qualité permet de dénombrer $21$ pièces non conformes sur un échantillon de $150$ pièces produites.
		 
Cela remet-il en cause le réglage de la machine ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 \end{exoi}
 
\pagebreak
 \section{Nouvelle Calédonie Nov. 2013}
 
 \begin{exoi}
 \emph{Tous les résultats numériques devront être donnés sous forme décimale et arrondis au dix-millième} 

\medskip

Une usine fabrique des billes sphériques dont le diamètre est exprimé en millimètres.
 
Une bille est dite hors norme lorsque son diamètre est inférieur à 9~mm ou supérieur à 11~mm.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque bille choisie au hasard dans la production associe son diamètre exprimé en mm.
 
On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale \index{loi normale} d'espérance $10$ et d'écart-type $0,4$. 

Montrer qu'une valeur approchée à {0,0001} près de la probabilité qu'une bille soit hors norme est {0,0124}. On pourra utiliser la table de valeurs donnée en annexe. 
\item On met en place un contrôle de production tel que 98\,\% des billes hors norme sont écartés et 99\,\% des billes correctes sont conservées.
 
On choisit une bille au hasard dans la production. On note $N$ l'évènement : \og la bille choisie est aux normes \fg, $A$ l'évènement : \og la bille choisie est acceptée à l'issue du contrôle \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre pondéré qui réunit les données de l'énoncé. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $A$. 
		\item Quelle est la probabilité pour qu'une bille acceptée soit hors norme ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Ce contrôle de production se révélant trop coûteux pour l'entreprise, il est abandonné : dorénavant, toutes les billes produites sont donc conservées, et elles sont conditionnées par sacs de 100 billes. 

On considère que la probabilité qu'une bille soit hors norme est de {0,0124}.
 
On admettra que prendre au hasard un sac de $100$~billes revient à effectuer un tirage avec remise de $100$~billes dans l'ensemble des billes fabriquées.
 
On appelle $Y$ la variable aléatoire qui à tout sac de $100$~billes associe le nombre de billes hors norme de ce sac.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y$ ? 
\item Quels sont l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $Y$ ? 
\item Quelle est la probabilité pour qu'un sac de $100$~billes contienne exactement deux billes hors norme ? 
\item Quelle est la probabilité pour qu'un sac de $100$~billes contienne au plus une bille hors norme ? 
\end{enumerate}
 \end{exoi}
 
 
 \begin{center}

\vspace{2cm}

\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&A&B\\ \hline
1&$d$	&$P(X < d)$\\ \hline
2&0		&3,06E-138\\ \hline 
3&1		&2,08E-112\\ \hline  
4&2		&2,75E-89\\ \hline 
5&3		&7,16E-69\\ \hline 
6&4		&3,67E-51\\ \hline 
7&5		&3,73E-36\\ \hline
8&6		&7,62E-24\\ \hline
9&7		&3,19E-14\\ \hline 
10&8	&2,87E-07\\ \hline
11&9  	&0,00620967\\ \hline 
12&10	&0,5\\ \hline 
13&11	&0,99379034\\ \hline 
14&12	& 0,99999971\\ \hline 
15&13 	&1\\ \hline 
16&14	& 1\\ \hline 
17&15	&1\\ \hline 
18&16	&1 \\ \hline
19&17	&1\\ \hline 
20&18	&1\\ \hline 
21&19 	&1\\ \hline 
22&20	&1\\ \hline 
23&21	&1\\ \hline 
24&22	&1\\ \hline 
25&	&\\ \hline 
\end{tabularx}

\emph{Copie d'écran d'une feuille de calcul} 
\end{center}


\section{Amérique du Sud nov 2013}

\begin{exoi}
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de 10\,\%. L'étude a également permis de prouver que 30\,\% des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme, seront victimes d'un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion n'atteint plus que 8\,\% pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.\index{\probabilité}

\medskip
 
On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les évènements :
 
$M$ : \og La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme \fg

$C$ : \og La personne est victime d'un accident cardiaque au cours de sa vie \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $P(M \cap C) = 0,03$. 
		\item Calculer $P(C)$.
	\end{enumerate} 
\item On choisit au hasard une victime d'un accident cardiaque. Quelle est la probabilité qu'elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 

La sécurité sociale décide de lancer une enquête de santé publique, sur ce problème de malformation cardiaque de type anévrisme, sur un échantillon de $400$~personnes, prises au hasard dans la population française.
 
On note $X$ la variable aléatoire comptabilisant le nombre de personnes de l'échantillon présentant une malformation cardiaque de type anévrisme.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Définir la loi de la variable aléatoire $X$. 
\item Déterminer $P(X = 35)$. 
\item Déterminer la probabilité que $30$ personnes de ce groupe, au moins, présentent une malformation cardiaque de type anévrisme.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la variable aléatoire $F$, définie par $F = \dfrac{X}{400},\:X$ étant la variable aléatoire de 
la \textbf{partie B}.
 
Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F$ au seuil de $95$\,\%. 
\item Dans l'échantillon considéré, $60$~personnes présentent une malformation cardiaque de type anévrisme.
 
Qu'en pensez-vous ? 
\end{enumerate}
\end{exoi}



\end{document}