\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\typedoc}{Exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Le Yam's menteur}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 6}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha




 \textbf{Matériel :} 1 gobelet + 5 dés \\
 

\Cadre[ \textbf{Règles : }]{
Le joueur qui entame un tour lance les 5 dés sous le gobelet.\\
Il regarde (ou non) ce qu'il a obtenu, et \textbf{annonce une main qu'il prétend \textit{au moins} avoir} à son voisin
(jusqu'à 5 dés en détails, mais pas forcément autant et \textit{il peut évidemment mentir}).\\\\
Son voisin a alors deux choix : 
\begin{itemize}
 \item \textbf{Refuser le gobelet et annoncer \og Menteur \fg }\\
 On soulève alors le gobelet et s'il y a moins que l'annonce, le menteur perd, sinon, c'est l'autre. \\
 Le tour repart alors à zéro, à partir du perdant.
 \item \textbf{Accepter le gobelet et faire une annonce supérieure}.\\
 Avant de faire son annonce, il peut regarder (ou non) ce qu'il y a dessous, et relancer (ou pas) les dés qu'il veut. 
 S'il ne relance pas tous les dés, il doit mettre de côté ceux qu'il conserve et les montrer aux autres joueurs
 (mais ils font toujours partie  de sa main).
 \end{itemize}
Etc
}

\setlength{\arrayrulewidth}{0.5pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{center}
 \textbf{Figures remarquables dans l'ordre croissant :}
 \begin{tabular}{|>{\centering}p{2.3cm}|*{9}{>{\centering}p{1.3cm}|}}\hline
\textbf{Figures} & \textbf{Rien} & \textbf{Paire}  &  \textbf{Double-Paire}  & \textbf{Brelan} 
& \textbf{Full}  & \textbf{Suite} & \textbf{Carré}  & \textbf{Yams} & \textbf{Total} \tabularnewline\hline
\textbf{Nombres de telles figures} & $480$ & $3600$ & $1800$ & 
$1200$ & $300$ & $240$ & $150$ & $6$ & $7776$ \tabularnewline\hline
\textbf{Probabilités arrondies}  &  0.06  & 0.46  & 0.23 & 0.15 & 0.04 & 0.03 &    0.02  & 0.0008 & 1 \tabularnewline\hline
\end{tabular} 
\end{center}

\begin{center}
\textbf{Quelques probabilités utiles pour mesurer vos chances ou risques :}
\begin{tabular}{|*{6}{>{\centering}p{2.6cm}|}}\hline
 \textbf{Faire une \texttt{figure} mieux qu'un(e)} & \textbf{paire} gardée
 &  \textbf{double-paire} gardée
 &  \textbf{double-paire} en gardant une paire
 &  \textbf{brelan} gardé
 &  \textbf{full} en gardant le brelan   \tabularnewline\hline
 \textbf{On relance} & 3 dés & 1 dé & 3 dés & 2 dés  & 2 dés\tabularnewline\hline
 \textbf{Figure(s) possible(s)} & Double-Paire, Brelan, Full, Carré, Yams & 
 Full & Brelan, Full, Carré, Yams & Full, Carré, Yams & Carré, Yams \tabularnewline\hline
 \textbf{Probabilité} & $\dfrac{13}{18}$ & $\dfrac13$ & $ \dfrac49$ & $ \dfrac49$ & $\dfrac{11}{36}$ \tabularnewline\hline
 \textbf{Probabilité arrondie} & 0.72 & 0.33  & 0.44 & 0.44 & 0.31 \tabularnewline\hline
\end{tabular} 
\end{center}
Pensez également à la probabilité de simplement améliorer les dés ne constituant pas la figure ...
 
\newpage


\begin{ExoF} \hfill \textbf{Pour justifier le second tableau : évaluer les chances d'amélioration d'une main}
 \begin{enumerate}
  \item \textbf{J'ai un full et je veux améliorer cette main en conservant le brelan. }
  \begin{enumerate}
   \item Quelles sont les \textbf{figures plus fortes} que l'on peut envisager faire ?
   \item Que signifie \og ne pas obtenir de figure plus forte \fg sur les deux dés relancés ?
   \item On note $A$ l'événement \og la figure est améliorée \fg.\\
   Compléter l'arbre suivant, modélisant le fait d'obtenir une figure améliorée
   avec les deux dés relançés, sachant que j'ai déjà un full :
   \begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\Tdot~[tnpos=a]{Full}\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{\small $ $}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{A}$}\tbput{\small $ $}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{\small $ $}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{A}$}\tbput{\small $ $}
}
}


  \end{center}
   \item En déduire la probabilité de ne pas obtenir de figures plus fortes que le full en relançant
   deux dés.
   \item En déduire la probabilité d'améliorer un full en une figure plus forte.\\
    \textit{Ensuite, pour le détail, je peux chercher la probabilité d'obtenir un meilleur full, mais cela dépendra évidemment
  du full déjà présent. Ceux qui sont intéressés peuvent regarder l'exercice suivant.   }
  \end{enumerate}
\item \textbf{J'ai un brelan et je veux améliorer cette main en le conservant. }
  \begin{enumerate}
   \item Quelles sont les \textbf{figures plus fortes} que l'on peut envisager faire ?
   \item Que signifie \og ne pas obtenir de figure plus forte \fg sur les deux dés relancés ?
 \item Construire un arbre approprié afin de déterminer la probabilité de ne pas obtenir
 l'une de ces figures.
 \item En déduire la probabilité d'obtenir une meilleure figure qu'un brelan.
 \textit{Ensuite, pour le détail, je peux chercher la probabilité d'obtenir un meilleur brelan, mais cela dépendra évidemment
  des dés déjà présents. Voir l'exo 3.
 } 
 
 \end{enumerate}
\item \textbf{J'ai une paire et je veux améliorer cette main en la conservant. }
\begin{enumerate}
   \item Quelles sont les \textbf{figures plus fortes} que l'on peut envisager faire ?
   \item Que signifie \og ne pas obtenir de figure plus forte \fg sur les trois dés relancés ?
 \item Construire un arbre approprié afin de déterminer la probabilité de ne pas obtenir 
 l'une de ces figures.
 \item En déduire la probabilité d'obtenir une meilleure figure qu'une paire.
    \end{enumerate}
  \item S'inspirer des méthodes précédentes pour retrouver les dernières probabilités du deuxième tableau.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

%\newpage
\begin{ExoF} \textbf{Améliorer un full précis} 
  \begin{enumerate}
   \item Supposons que nous ayons le full le plus faible, à savoir celui des 1 par les 2 (ie $11122$).
   \begin{itemize}
    \item Quelles sont les paires possibles qui améliore mon full par les $1$ en un autre full par les 1 ?
    \item En déduire la probabilité d'obtenir un meilleur full  par les $1$.
  \item En déduire la probabilité d'améliorer le full $11122$  en conservant les trois $1$.
  \textit{Au final, la probabilité d'améliorer mon full $11122$ en conservant les trois $1$ est de 
  environ $ 0.41$ ce qui n'est pas si improbable que cela.}
   \end{itemize}
  \item Supposons que nous ayons le full des 5 par les 2 (ie $55522$).
     \begin{itemize}
    \item Quelles sont les paires possibles qui améliore mon full par les $5$ en un autre full par les 5 ?
    \item En déduire la probabilité d'obtenir un meilleur full  par les $5$.
    \item En déduire la probabilité d'améliorer le full $55522$  en conservant les trois $5$.\\
  \textit{Au final, la probabilité d'améliorer mon full $522$ en conservant les trois $5$ est de 
  environ $ 0.39$ ce qui n'est pas si improbable que cela.}
   \end{itemize}
  \item On peut faire cela pour chaque full, mais autant retenir que la probabilité d'améliorer un full est
  à peu près entre $0.3$ et $0.4$.
  \end{enumerate} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \textbf{Améliorer un brelan précis}
  \begin{itemize}
   \item Par exemple, pour le brelan le plus faible, à savoir $11123$ n'importe quel résultat améliorera
   ce brelan, sauf $23$ ou $32$. \\
   En déduire la probabilité d'améliorer ce brelan.\\
\textit{On trouve environ  $0.94$ il s'agit donc d'un événement quasi-certain.
}   
\item Par contre, si vous avez le brelan $11145$, on ne peut pas l'améliorer par un autre brelan de $1$.\\
   En déduire la probabilité d'améliorer ce brelan.
    \end{itemize} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}\hfill \textbf{Pour justifier les probabilités du premier tableau : dénombrer les cas possibles}\\
Avec mes amis, nous jouons souvent au yam's menteur (5 dés). \\
Il est établi entre nous que l'ordre décroissant de ce que l'on obtient avec les dés est :
\begin{multicols}{2}
 \begin{itemize}
 \item Yams : 5 dés identiques
 \item Carrés : 4 dés identiques
 \item Full : 3 dés identiques + 2 autres identiques
 \item Suite : 5 numéros qui se suivent
 \item Brelan : 3 dés identiques
 \item Double-paire : 2 fois 2 dés identiques
 \item Paire : 2 dés identiques
 \item Rien : Aucune des figures précédentes.
\end{itemize}
\end{multicols}
La puissance d'une figure devrait évidemment dépendre de sa probabilité d'apparition. \\
On cherche à savoir si notre choix est cohérent avec cette règle.\\

\textbf{Partie A : L'univers}\\
Il est évident que l'ordre des dés ne compte pas. Cependant, lorsqu'on en tient compte dans notre modélisation, les issues sont équiprobables, ce qui rend les calculs simples,
de plus on peut alors utiliser les arbres, très pratiques d'utilisation. \\
Nous allons donc commencer par tenir compte de l'ordre, puis \og l'enlever \fg (comme souvent en probabilité).
\\\\%\begin{enumerate}
 %\item 
Imaginer alors un arbre représentant la situation du jeu, afin de déterminer le nombre d'issues total.\\
%\\\\  %\item 

%\end{enumerate}
\textbf{Partie B : Dénombrement des issues}\\
Comme nous sommes dans un cas d'équiprobabilité, plutôt que d'étudier les probabilités de chacune des figures, nous allons \textbf{\textit{dénombrer}}
le nombre de cas favorables de chacune, cela évitera les fractions.
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Le Yams : 5 dés identiques}\\
Donner le nombre de yams possibles (ie le nombre de chemins dans l'arbre réalisant le yams).

 \item \textbf{Le carré : 4 dés identiques}
\begin{enumerate}
 \item Combien de branches de l'arbre imaginaire contiennent un carré de 1 et un 3 ?
 \item En déduire le nombre de carrés de 1 possibles.
 \item En déduire le nombre de carrés possibles.
\end{enumerate}

 \item \textbf{Le full : 3 dés identiques + 2 identiques}
\begin{enumerate}
 \item Combien de branches de l'arbre imaginaire contiennent un full de 6 par les 4 ?
   \item En déduire le nombre de full avec un brelan de 6 possibles.
 \item En déduire le nombre de full possibles.
\end{enumerate}

\item \textbf{La suite : 5 dés qui se suivent}
\begin{enumerate}
 \item Combien de branches de l'arbre imaginaire contiennent une petite suite (celles commençant au 1).
 \item En déduire le nombre de suites possibles (grandes et petites).
\end{enumerate}

\item \textbf{Le brelan : 3 dés identiques}
\begin{enumerate}
 \item Combien de branches de l'arbre contiennent un brelan de 5 avec un 2 et un 4 (avec le 2 et le 
 4 dans cet ordre).
 \item En déduire le nombre de brelans de 5 avec un 2 et n'importe quel dé différent 
 de 2 et 5 (le 2 et l'autre dé dans cet ordre).
 \item En déduire le nombre de brelans de 5.
 \item En déduire le nombre de brelans possibles.
\end{enumerate}

\item \textbf{La double-paire}\\
Il s'agit du cas le plus complexe à traiter, car il faut trouver le nombre de manières d'ordonner 3 faces différentes, 
dont \textit{deux} ayant des rôles particuliers
symétriques (les paires) parmi 5 dés. Nous calculerons donc le nombre de double-paires possibles par complémentarité, 
à la fin.

\item \textbf{La Paire}
\begin{enumerate}
 \item Combien de branches de l'arbre contiennent une paire de 4, un 3, un 5 et un 6 (avec le 
 3, 5 et 6 dans cet ordre).
 \item En déduire le nombre de paires de 4 avec un 3, un 5, et n'importe quel dé différent de 4, 3 et 5 (avec le même ordre que précédemment).
 \item En déduire le nombre de paires de 4 avec un 3, et n'importe quels dés distincts, différents de 4 et 3 (avec le même ordre que précédemment).
 \item En déduire le nombre de paires de 4.
 \item En déduire le nombre de paires possibles.
\end{enumerate}

\item \textbf{Rien}\\
Une rapide analyse de la situation permet de comprendre que l'on a rien lorsque l'on a des dés tous différents, 
et qu'il ne s'agit pas d'une suite.
Il s'agit donc de choisir un numéro de face à enlever parmi quatre possibles.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer le nombre manières de permuter les nombres 1, 3, 4, 5 et 6.
\item En déduire le nombre de \og rien \fg possibles.
\end{enumerate}

\item \textbf{Retour sur la double-paire}\\
Par complémentarité, trouver le nombre de double-paires possibles.\\
\end{enumerate}

\textbf{Partie C} : Conclusion
\begin{enumerate}
\item Déduire des questions précédentes les probabilités de chaque figure.
\item Avait-on des règles cohérentes avec les probabilités d'apparition des figures ?
\end{enumerate}

%\vspace{0.3cm}
\textbf{\textit{Réponses}} (dans l'ordre) : 6, 150, 300, 240, 1200, 3600, 480, 1800 pour 7776 cas. 
\end{ExoF}


\end{document}