\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\typedoc}{Exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{M\^eme le plan est complexe ! }  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 9}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\setcounter{NumLecon}{9}

%\geometry{tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,hmargin=1.5cm}
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\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\DocCha
%\begin{ExoF} \hfill (d'après Métropole 2012)\\
% Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv \textbf{d'unité graphique $2$ cm}.\\
%On appelle $f$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$ différente de $- 1$, 
%fait correspondre le  point $M'$ d'affixe $\dfrac{1}{z + 1}$. \\
%Le but de l'exercice est de déterminer l'image par $f$ de la droite $\mathcal{D}$ 
%d'équation $x = - \dfrac{1}{2}$. 

%\begin{enumerate}
%\item Soient A, B et C les points de $\mathscr D$ d'affixes respectives 
%\[z_{\text{A}} = - \dfrac{1}{2},\quad  z_{\text{B}} = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\quad \text{et} \quad  z_{\text{C}} = - \dfrac{1}{2}  - \dfrac{1}{2} \text{i}.\] 
%	\begin{enumerate}
%		\item Placer les trois points A, B et C sur une figure que l'on fera 
%		sur la copie. 
%		\item Calculer les affixes des points A$' = f(\text{A}),  \text{B}' = f(\text{B})$ et C$' = f$(C) et placer les points A', B'et C' sur la figure. 
%		\item Démontrer que les points A$'$, B$'$ et C$'$ ne sont pas alignés.
%	\end{enumerate} 
%\item Soit $g$ la transformation du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, fait correspondre le point $M_{1}$ d'affixe $z + 1$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item %Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g$. 
%		Montrer que le vecteur $\overrightarrow{MM_1}$ est indépendant du point $M$.
%		\item Sans donner d'explication, placer les points A$_{1}$, B$_{1}$ et C$_{1}$, 
%		images respectives par $g$ de A, B et C.
%		\item Montrer que $A_1$, $B_1$ et $C_1$ sont alignés sur une droite $\mathscr D_1$ dont on précisera l'équation.
%		et tracer cette droite. 
%		\item Montrer que tout point $N$ de $\mathscr D$ a son image par $g$ sur $\mathscr D_1$, 
%		et que tout point $N_1$ de $\mathscr D_1$ est l'image par $g$ d'un point $N$ de $\mathscr D$.\\
%		\textit{On dit que $\mathscr D_1$ est l'image de $\mathscr D$ par $g$.}
%		\item Démontrer que $\mathcal{D}_{1}$ est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z - 1| = |z|$.
%	\end{enumerate} 
%\item  Soit $h$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, associe le point $M_{2}$ d'affixe $\dfrac{1}{z}$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Justifier que $h\left(\text{A}_{1}\right) = \text{A}', h\left(\text{B}_{1}\right) = \text{B}'$ et $h \left(\text{C}_{1}\right) = \text{C}'$. 
%		\item Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul $z$, on a : 
%
%\[\left|\dfrac{1}{z} - 1\right| = 1 \iff  |z - 1| = |z|.\]
% 
%		\item En déduire que l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est incluse dans un cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.
%		 
%On admet que l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est le cercle $\mathcal{C}$ privé de O.
%	\end{enumerate} 
%\item  Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $\mathcal{D}$. 
%\end{enumerate}
%
%\end{ExoF}

\section{Considérations géométriques basiques}

\begin{ExoF}
 Représenter dans le plan complexe l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tel que :
 \begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
  \item Re$(z)=2$ (en bleu)
  \item Re$(z)=$Im$(z)$ (en rouge)
  \item Re$(z)=2$Im$(z)-1$ (en vert)
  \item Im$(z)=\left(\text{Re}(z)\right)^2$ (en noir)
  %\item $\dfrac{iz-1}{z-i}$ soit réel. 
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Soit $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ un repère orthonormal direct du plan 
et $a$ et $b$ deux réels. \\
Déterminer et représenter l'ensemble des points $M(a;b)$ du plan tels que le nombre complexe 
$z=2a+b+i(b^2-1)$ soit :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item un réel
\item un imaginaire pur
\item nul
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


%\begin{ExoF}
%On considère le complexe $z=x^2+y^2-2x-3+i(2x-1+y)$
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer et représenter l'ensemble $E$ des points $M$ d'affixe $z$ tel que $z$ soit un réel.
%\item Déterminer et représenter l'ensemble $F$ des points $M'$ d'affixe $z$ tel que $z$ soit un %imaginaire pur.
%\end{enumerate}
%\end{ExoF}


%\begin{ExoF}
%On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=1+2i$ et $z_B=2-i$. Déterminer l'affixe de %$C$ tel que $OABC$ soit un parallélogramme.
%\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_A=\dfrac{3}{2}i$, $z_B=2+\dfrac{1}{2}i$, $z_C=1-\dfrac{3}{2}i$ et $z_D=-1-\dfrac{1}{2}i$.
\begin{enumerate}
\item Placer les points sur un graphique puis déterminer l'affixe du milieu $I$ du segment $[AC]$.
\item Déterminer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$. Que peut-on en déduire ?
\item Déterminer l'affixe du point $E$ symétrique de $A$ par rapport à $B$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
La plan complexe est muni du repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$.
\begin{enumerate}
\item Placer \textbf{à la règle et au compas} les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives 
$2-i$ ; $2i$ et $-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3} }{2}i$
\item Déterminer les affixes des points $A'$ et $B'$ symétriques de $A$ et $B$ par rapport à $O$
\item Déterminer l'affixe du symétrique $C'$ de $C$ par rapport à l'axe réel, puis déterminer l'affixe du vecteur $ \overrightarrow{CC'}$
\end{enumerate} 
\end{ExoF}


\section{Module et argument}
\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item Pour tout nombre complexe $z$ on pose 
  \quad $P(z)=z^3-3z^3+3z+7$
  \begin{enumerate}
   \item Calculer $P(-1)$.
   \item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout nombre complexe $z$ on ait 
   \quad $P(z)=(z+1)(z^2+az+b)$
   \item Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z)=0$.
  \end{enumerate}
  \item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv, d'unité graphique 2 cm.\\
  On désigne par $A$, $B$, $C$ et $D$ les points d'affixes respectives :
  \begin{multicols}{4}
   $z_A=-1$ \\ $z_B=2+i\sqrt{3}$\\ $z_C=\overline{z_B}$ \\ $z_D=3$
  \end{multicols}
\item \begin{enumerate}
 \item Réaliser une figure.
 \item Calculer les distance $AB$, $BC$ et $CA$.  En déduire la nature du triangle $ABC$.
 \item Déterminer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{CD}$.
 \item Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CD}$.
 En déduire la nature du triangle $ADC$.
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Soit $A$ le point situé sur le cercle de centre $O$ et de rayon 2 d'ordonnée $1$.
 \begin{enumerate}
  \item Faire une figure et par considération géométrique, déterminer l'affixe $z_A$ de $A$.
  \item Tracer l'ensemble des points $M(z)$ tels que 
  \begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
   \item $\arg(z)=\arg(z_A) \quad [2\pi]$ (en vert)
   \item $\arg(z)=\arg(-z_A) \quad [2\pi]$ (en rouge)
   \item $\arg(z)=\arg(\overline{z_A}) \quad [2\pi]$  (en noir) 
   \item $\arg(z)=\arg(iz_A) \quad [2\pi]$ (en bleu)
   \item $\arg(z)=\arg(z_A) \quad [\pi]$ (en pointillés verts)
   \item $\arg(z)=\arg(z_A)+\arg(\overline{z_A}) \quad [2\pi]$ (en pointillés rouges)
   \item $|z|=|2z_A|$ (en pointillés noirs)
  \end{enumerate}
  \end{multicols}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Déterminer et représenter dans chaque cas l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe 
$z$ vérifie la condition donnée :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $M\in\mathscr C\Longleftrightarrow |z-2-i|=1$
\item $M\in\mathscr F \Longleftrightarrow |z|=|\overline{z}-2+i |$
\item $M\in\mathscr G\Longleftrightarrow \arg(z+2i)=\dfrac{\pi}{4}[2\pi]$
\item $ M\in\mathscr H\Longleftrightarrow |z-3|=|z-3i |$
\item $ M\in\mathscr K\Longleftrightarrow | \overline{z} -4+i|=1$
\item  $  M\in\mathscr L\Longleftrightarrow \arg( \overline{z}) =\arg(-z)[2\pi]$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


\section{Forme trigonométrique et exponentielle}

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument de $z=\dfrac{3}{2}-i \dfrac{\sqrt{3} }{2}$
\item Déterminer le module et une valeur approchée à $10^{-2}$ près d'un argument de $z'=-1+2i$. 
\item Placer alors dans le plan complexe les deux points $A(z)$ et $B(z')$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Déterminer une forme trigonométrique de $ \dfrac{1+i\sqrt{3}}{1+i}$ 
\end{ExoF}

%\newpage
\begin{ExoF}
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct 
$(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$, on considère l'application $f$ du plan dans 
lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z'=z^2-4z$
\begin{enumerate}
\item Soit $A$ et $B$ les points d'affixes \quad
$ z_A=1-i\qquad \qquad \text{et}\qquad \qquad z_B=3+i$
\begin{enumerate}
\item Calculer les affixes des points $A'$ et $B'$, images des points $A$ et $B$ par $f$.
\item On suppose que deux points ont la même image par $f$.\\
Démontrer qu'ils sont confondus ou que l'un est l'image de l'autre par une symétrie centrale que l'on précisera.
\end{enumerate}
\item Soit $I$ le point d'affixe $-3$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $OMIM'$ est un parallélogramme si, et seulement si, $z^2-3z+3=0$
\item Résoudre l'équation $z^2-3z+3=0$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Exprimer $(z'+4)$ en fonction de $(z-2)$.\\ 
En déduire une relation entre  $|z'+4|$ et $|z-2|$, puis entre $\arg(z'+4)$ et $\arg(z-2)$.
\item On considère les points $J$ et $K$ d'affixes respectives $z_J=2$ et $z_K=-4$.\\
Démontrer que tous les points $M$ du cercle $\mathscr C$ de centre $J$ et de rayon $2$ ont leur image $M'$ sur un même cercle que l'on déterminera.
\item Soit $E$ le point d'affixe $z_E=-4-3i$. Donner la forme trigonométrique $z_E+4$ et à l'aide du $3)(a)$ démontrer qu'il existe deux points dont l'image par $f$ est le point $E$. Préciser sous forme algébrique l'affixe de ces deux points.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :
 $ z_1=-\sqrt{3}+i \, \text{ et }\, z_2=e^{-i\frac{\pi}{6} }\times z_1^2$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Dans le plan complexe, placer les points $A\left(2e^{i\frac{\pi}3}\right)$, $B\left(-e^{i\frac{\pi}6}\right)$,
$C(-z_A \times z_B)$ et $D\left(-\dfrac{z_B}{z_A}\right)$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Déterminer les formes algébriques de chacun des nombres complexes suivants :
 \begin{multicols}{3}
  \begin{enumerate}
  \item $z_1=e^{i\frac{\pi}3}+e^{i\frac{\pi}6}$
  \item $z_2=2-i+3e^{i\pi}$
  \item $z_3=-2ie^{i\frac{\pi}3}$
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Soit les nombres complexes :
 $$z_1=\sqrt{2}+i\sqrt{6} \qquad\qquad z_2=2-2i \qquad\text{et}\qquad Z=\dfrac{z_1}{z_2}$$
 \begin{enumerate}
  \item Ecrire $Z$ sous forme algébrique.
  \item \begin{enumerate}
         \item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres $z_1$ et $z_2$.\\
         Les écrire alors sous forme exponentielle.
         \item En déduire le module et l'argument de $Z$.
         \item Déterminer les valeurs de $\cos\dfrac{7\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{7\pi}{12}$.
        \end{enumerate}
 \item Dans le plan complexe d'unité graphique 2 cm, placer dans l'ordre les points $B(z_2)$, $A(z_1)$ et $C(Z)$
 à la règle et au compas.
 \item Ecrire sous forme algébrique le nombre $Z^{2014}$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
On considère le nombre complexe \quad $ z=1-\sqrt{3}+i(1+ \sqrt{3})$
\begin{enumerate}
\item Ecrire $z^2$ sous forme algébrique
\item Déterminer le module et un argument de $z^2$
\item Indiquer le signe de la partie réelle de $z$ et celui de la partie imaginaire, puis, à l'aide des propriétés sur le module et l'argument, déterminer le module et un argument de $z$.
\item Déduire de ce qui précède $\cos \dfrac{7\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{7\pi}{12}$ puis $\cos \dfrac{\pi}{12}$ puis $\sin \dfrac{\pi}{12}$
\item Comparer avec les valeurs trouvées à l'exercice précédent.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\section{Interprétation graphique du module et de l'argument}


\begin{ExoF}
 Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv  .\\
 On désigne par $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $z_A=1$ et $z_B=-i$.\\
On appelle $C$ le point tel que le triangle ABC soit équilatéral direct, ie tel que 
$\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)=+\dfrac{\pi}{3}$.\\
Placer le point $C$ à la règle et au compas, puis déterminer son affixe exacte par le calcul. 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère les points $A$, $B$, $C$, $D$, $S$ et $T$ d'affixes respectives :
 $$a=-2+4i \qquad b=-4+2i \qquad c=4+2i \qquad d=-2+2i+6e^{i\dfrac{\pi}{2}} \qquad s=5\sqrt{2}e^{i\dfrac{3\pi}{4}} \qquad t=-2+2i$$
 \begin{enumerate}
  \item Placer ces points et compléter la figure au fur et à mesure de l'exercice.
  \item Pour chacune des questions suivantes, expliquer la méthode pour y répondre (mais il est inutile d'y répondre)
  \begin{enumerate}
   \item   Montrer que les points $A$, $B$ $C$ et $D$ sont cocycliques.
  \item Montrer que la droite $(ST)$ est la médiatrice du segment $[AB]$
  \item On considère les points $P$ et $Q$, milieux respectifs des segments $[AC]$ et $[BD]$.\\
  Déterminer $p$ et $q$ les affixes respectives des points $P$ et $Q$.
  \end{enumerate}
  \item On a calculé \quad  $\dfrac{t-p}{q-s}=-\dfrac12 i$ \quad et \quad $\dfrac{d-c}{b-a}=3$ \quad  
  Que peut-on en déduire ?
  \item Que représente le point $T$ pour le triangle $PQS$ ? Le démontrer. \quad \textit{On donne $p=1+3i$ et $t=-3-i$}.
  \item Déterminer l'affixe $r$ du point $R$ tel que $ABSR$ soit un parallélogramme.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier votre choix.\\
 On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct.
 \begin{enumerate}
  \item Soit $z$ une nombre complexe d'argument $\dfrac{\pi}3$.\hfill
  \textbf{Proposition :} $z^{100}$ est un nombre réel
  \item Soit $\mathscr F$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tel que $|z|=|1-z|$.\\
  \textbf{Proposition :} $\mathscr F$ est une droite parallèle à l'axe des réels.
  \item On considère l'ensemble $\mathscr G$ des points $M$ d'affixe $z=1-2e^{i\alpha}$ avec $\alpha \in[0;\pi]$\\
  \textbf{Proposition :} $\mathscr G$ est inclus dans un cercle de rayon 2.
  \item Avec les mêmes notations qu'au 3. \hfill 
  \textbf{Proposition :} Le point $A(1+2i)$ est un point de $\mathscr G$
  \item On donne l'équation $(E)$ suivante : $z^2-2z\cos\dfrac{\pi}7 +1=0$\\
  \textbf{Proposition : }$(E)$ admet deux solutions complexes de modules égaux à 1.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}




\begin{ExoF}
On désigne par $I$, $A$ et $B$ les points d’affixes respectives $z_I=1$, $a=2i$ et $b=3 + i$.
\begin{enumerate}
 \item Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.
 \item Calculer l’affixe $c$ du point $C$ image de $A$ par la symétrie de centre $I$.
 \item Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe $\dfrac{c-b}{a-b}$\\
En déduire le module et un argument de ce nombre ; ainsi qu’une interprétation
géométrique.
 \item Soit $D$ le point d’affixe $d$ telle que $d-c = a-b$, montrer que $ABCD$ est
un carré.
 \item Pour tout point $M$ du plan, on considère le vecteur 
 $\vec u =\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$
\begin{enumerate}
 \item Exprimer $\vec u$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{MI}$
% \item Montrer que le point $K$ défini par $\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC} + \overrightarrow{KD} = 2 \overrightarrow{AB}$
 %est le milieu du segment $[AD]$.
 \item Déterminer l’ensemble $\Gamma$ des points $M$ du plan tel que : $||\vec u||=2||\overrightarrow{AB}|| $.\\
Construire $\Gamma$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

%\begin{ExoF}
% Le plan complexe et rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv . On considère le point $A$ d'affixe $1+i$. 
% On associe, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, le point $M'$ d'affixe $z'=\dfrac{z-1-i}{z}$.\\
% Le point $M'$ est appelé le point image du point $M$.
% \begin{enumerate}
%  \item \begin{enumerate}
%         \item Déterminer, sous forme algébrique, l'affixe du point $B'$, image du point $B$ d'affixe $i$.
%         \item Montrer que, pour tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, l'affixe $z'$ du point $M'$ est telle que $z' \neq 1$.
%        \end{enumerate}
% \item Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle pour lesquelles l'affixe du 
% point $M'$ est un nombre réel.
% \end{enumerate}
%\end{ExoF}


\newpage
\section{Annales}

\begin{ExoF} Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. 
\hfill \textbf{Pondichery -2013}\\
On note i le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = - 1$.
On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$ et le point B d'affixe $z_{\text{B}} = \text{i}$.\\ 
À tout point $M$ d'affixe $z_{M} = x + \text{i}y$, avec $x$ et $y$ deux réels tels que $y \neq 0$, on 
associe le point $M'$ d'affixe $z_{M'} = - \text{i}z_{M}$.\\ 
On désigne par $I$ le milieu du segment [A$M$].\\
Le but de l'exercice est de montrer que pour tout point $M$ n'appartenant pas à (OA), la médiane (O$I$) du triangle OA$M$ est 
aussi une hauteur du triangle OB$M'$ (propriété 1) et que B$M' = 2 \text{O}I$ (propriété 2). 
\begin{enumerate}
\item Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend $z_{M} = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme algébrique de $z_{M}$. 
		\item Montrer que $z_{M'} = - \sqrt{3} - \text{i}$.
Déterminer le module et un argument de $z_{M'}$. 
		\item Placer les points A, B, $M, M'$ et $I$ dans le repère \Ouv{ }en prenant 2~cm pour unité graphique.
		 
Tracer la droite (O$I$) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l'aide du graphique.
	\end{enumerate} 
\item On revient au cas général en prenant $z_{M} = x + \text{i}y$ avec $y \neq 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du point $I$ en fonction de $x$ et $y$. 
		\item Déterminer l'affixe du point $M'$ en fonction de $x$ et $y$. 
		\item Écrire les coordonnées des points $I$, B et $M'$. 
		\item Montrer que la droite (O$I$) est une hauteur du triangle OB$M'$. 
		\item Montrer que B$M' = 2 \text{O}I$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\hfill \textbf{Extrait - Métropole 2013}\\
Pour chacune des deux propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. \\
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Proposition 1 :} Dans le plan muni d'un repère orthonormé, l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie l'égalité $|z - \text{i}| = |z + 1|$ est une droite. 
\item \textbf{Proposition 2 :} Le nombre complexe $\left(1 + \text{i}\sqrt{3}\right)^4$ est un nombre réel. 
\item  Soit $\mathcal{E}$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z + \text{i}| = |z - \text{i}|$.
	\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
		\item $\mathcal{E}$ est l'axe des abscisses. 
		\item $\mathcal{E}$ est l'axe des ordonnées. 
		\item $\mathcal{E}$ est le cercle ayant pour centre O et pour rayon 1.
	\end{enumerate} 	 
	\end{multicols}
\item On désigne par B et C deux points du plan dont les affixes respectives $b$ et $c$ vérifient l'égalité $\dfrac{c}{b} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\dfrac{\pi}{4}}$. 
	\begin{multicols}{3} 
	\begin{enumerate}
		\item Le triangle OBC est isocèle en O. 
		\item Les points O, B, C sont alignés. 
		\item Le triangle OBC est isocèle et rectangle en B.
	\end{enumerate} 
	\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.\hfill \textbf{Nouvelle Calédonie 2013}\\
On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes.\\
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Proposition} : Pour tout entier naturel $n :\: (1 + \text{i})^{4n} = (- 4)^n$. 
\item Soit (E) l'équation $(z - 4)\left(z^2 - 4z + 8\right) = 0$ où $z$ désigne un nombre complexe.
 
\textbf{Proposition} : Les points dont les affixes sont les solutions, dans $\C$, de (E) sont les sommets d'un triangle d'aire 8. 
\item \textbf{Proposition} : Pour tout nombre réel $\alpha,\: 1 + \text{e}^{2i\alpha} = 2\text{e}^{\text{i}\alpha} \cos(\alpha)$. 
\item Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{1}{2}(1 + \text{i})$ et $M_{n}$ le point d'affixe $\left(z_{\text{A}}\right)^n$ où $n$ désigne un entier  naturel supérieur ou égal à $2$.
 
\textbf{Proposition}: si $n - 1$ est divisible par 4, alors les points O, A et $M_{n}$ sont alignés. 
\item Soit j le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{2\pi}{3}$. 

\textbf{Proposition} : $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$. 
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
\hfill \textbf{Amérique du sud -2013}\\
On considère l'équation \qquad 
$(E) :\quad  z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0.$
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes. 
\item On considère la suite $\left(M_{n}\right)$ des points d'affixes $z_{n} = 2^n \text{e}^{\text{i}(- 1)^n\frac{\pi}{6}}$, définie pour $n \geqslant 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $z_{1}$ est une solution de $(E)$. 
		\item Écrire $z_{2}$ et $z_{3}$ sous forme algébrique. 
		\item Placer les points $M_{1},\: M_{2},\: M_{3}$ et $M_{4}$ sur la figure donnée en annexe et tracer, sur la figure donnée en annexe, les segments $\left[M_{1}, M_{2}\right],\: \left[M_{2}, M_{3}\right]$ et $\left[M_{3}, M_{4}\right]$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $z_{n} = 2^n \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{(- 1)^n \text{i}}{2}\right)$. 
\item Calculer les longueurs $M_{1}M_{2}$ et $M_{2}M_{3}$.

\medskip

Pour la suite de l'exercice, on admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $M_{n}M_{n+1} = 2^n \sqrt{3}$. 
\item On note $\ell_n = M_{1}M_{2} + M_{2}M_{3} + \cdots 	+ M_{n}M_{n+1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1,\: \ell_n = 2\sqrt{3}\left(2^n - 1\right)$. 
		\item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\ell_n \geqslant  {1000}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\begin{center}

\psset{unit=0.66cm}
\begin{pspicture}(-1,-9)(17,9)
\multido{\n=0+2}{9}{\psline[linestyle=dashed](\n,-9)(\n,9)}
\multido{\n=-8+2}{9}{\psline[linestyle=dashed](-0.5,\n)(17,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-0.9,-9)(17,9)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{ExoF}



\begin{ExoF} \hfill \textbf{Polynésie 2013}\\
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est exacte. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point. 
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\begin{enumerate}
\item Soit $z_1 = \sqrt{6} \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{4}}$ et $z_2 = \sqrt{2} \text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{3}}$. La forme exponentielle de $\text{i} \dfrac{z_1}{z_2}$ est :

  \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{XXXX}
    (a) $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{19\pi}{12}}$ & 
    (b) $\sqrt{12} \text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{12}}$ & 
    (c) $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{7\pi}{12}}$ & 
    (d) $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{13\pi}{12}}$
  \end{tabularx}

\item L'équation $- z = \overline z$, d'inconnue complexe $z$, admet :
  \begin{enumerate}
  \item une solution
  \item deux solutions
  \item une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite.
  \item une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur un cercle.
  \end{enumerate}

\item Dans un repère de l'espace, on considère les trois points $A(1~;~2~;~3)$, $B(-1~;~5~;~4)$ et $C(-1~;~0~;~4)$. La droite parallèle à la droite $(AB)$ passant par le point $C$ a pour représentation paramétrique :

  \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{XX}
    (a) $\begin{cases}
      x = -2t-1 \\ y=3t \\ z=t+4
    \end{cases}, t\in \mathbb{R}$ & 
    (b) $\begin{cases}
      x=-1 \\ y=7t \\ z=7t+4
    \end{cases}, t \in \mathbb{R}$ \\
    (c) $\begin{cases}
      x=-1-2t \\ y=5+3t \\ z=4+t
    \end{cases}, t \in \mathbb{R}$ &
    (d) $\begin{cases}
      x=2t \\ y=-3t \\ z=-t
    \end{cases}, t \in \mathbb{R}$
  \end{tabularx}

\item Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $\mathscr P$ passant par le point $D(-1~;~2~;~3)$ et de vecteur normal $\vect{n}(3~;~-5~;~1)$, et la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\begin{cases}
    x= t-7 \\ y= t+3 \\ z = 2t+5
  \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.
  \begin{enumerate}
  \item La droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $\mathscr P$.
  \item La droite $\Delta$ est parallèle au plan $\mathscr P$ et n'a pas de point commun avec le plan $\mathscr P$.
  \item La droite $\Delta$ et le plan $\mathscr P$ sont sécants.
  \item La droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathscr P$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill (Antilles-Guyanne 2013)\\
On considère la suite $\left(z_n\right)$ à termes complexes définie par $z_0 = 1 + \text{i}$ et, pour tout entier naturel $n$, par

\[z_{n+1} = \dfrac{z_n + \left|z_n\right|}{3}.\]

Pour tout entier naturel $n$, on pose: $z_n = a_n + \text{i}b_n$, où $a_n$ est la partie réelle de $z_n$ et $b_n$ est la partie imaginaire de $z_n$.

Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$.

\smallskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Donner $a_0$ et $b_0$.
\item Calculer $z_1$, puis en déduire que $a_1=\dfrac{1 + \sqrt{2}}{3}$ et $b_1 = \dfrac13$.
\item On considère l'algorithme\index{algorithme} suivant:
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{6cm}
Variables: $A$ et $B$ des nombres réels\\
\phantom{Variables:} $K$ et $N$ des nombres entiers\\
Initialisation: Affecter à $A$ la valeur 1\\
\phantom{Initialisation:} Affecter à $B$ la valeur 1\\
Traitement:\\
Entrer la valeur de N\\
Pour $K$ variant de 1 à $N$\\
\phantom{xxxx} Affecter à $A$ la valeur $\dfrac{A+\sqrt{A^2+B^2}}{3}$\\
\phantom{xxxx} Affecter à $B$ la valeur $\dfrac{B}{3}$\\
FinPour\\
Afficher A
\end{minipage}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item On exécute cet algorithme en saisissant $N=2$. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme (on arrondira les valeurs calculées à $10^{-4}$ près).
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$K$ & $A$ & $B$ \\\hline
1& & \\\hline
2& & \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Pour un nombre $N$ donné, à quoi correspond la valeur affichée par l'algorithme  par rapport à la situation étudiée dans cet exercice~?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.\\
En déduire l'expression de $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$, et l'expression de $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(b_n \right)$~? En déduire l'expression de $b_n$ en fonction de $n$, et déterminer  la limite de $\left(b_n \right)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item
On rappelle que pour tous nombres complexes $z$ et $z'$:
\[
\left|z + z'\right|\leqslant |z| + \left|z'\right|\qquad\text{(inégalité triangulaire)}.
\]
Montrer que pour tout entier naturel $n$,
\[
\left|z_{n+1}\right|\leqslant\dfrac{2\left|z_n\right|}{3}.
\]

		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n= \left|z_n\right|$.\\
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
\[
u_n\leqslant \left(\frac23\right)^n\sqrt{2}.
\]
En déduire que la suite\index{suite} $\left(u_n \right)$ converge vers une limite que l'on déterminera.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $\left|a_n\right|\leqslant u_n$. En déduire que la suite $\left(a_n \right)$ converge vers une limite que l'on déterminera.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\end{document}